随机过程的基本概念和基本类型课件.ppt

1、 第2章 随机过程的基本 概念和基本类型2.1 基本概念在概率论中，我们研究了随机变量，在概率论中，我们研究了随机变量，n维随机向量。维随机向量。在极限定理中，我们研究了无穷多个随机变量在极限定理中，我们研究了无穷多个随机变量，但局限但局限在它们相互独立的情形。在它们相互独立的情形。将上述情形加以推广，将上述情形加以推广，即研究即研究一族无穷多个、相互有关的随机变量，一族无穷多个、相互有关的随机变量，这就是随机过程。这就是随机过程。定义定义2.12.1：设设),(P是一概率空间，是一概率空间，对每一个参数对每一个参数Tt，),(tX是一定义在概率空间是一定义在概率空间),(P 上的随机上的随机

2、变量，变量，则称随机变量族则称随机变量族);,(TttXXT 为该概率为该概率空间上的一随机过程。空间上的一随机过程。T称为参数集。称为参数集。随机过程的两种描述方法：随机过程的两种描述方法：用映射表示用映射表示,TXRTtX :),(),(X T即即是一定义在是一定义在上的二元单值函数，上的二元单值函数，,Tt),(tX固定固定是一定义在样本空间是一定义在样本空间 上的函数，上的函数，即为一随机变量；即为一随机变量；对于固定的对于固定的,0 ),(0 tX是一个是一个关于参数关于参数Tt 的函数，的函数，或称随机或称随机过程的一次实现。过程的一次实现。记号记号通常称为样本函数，通常称为样本函

3、数，),(tX有时记为有时记为)(tX或简记为或简记为).(tX参数参数T一般表示时间或空间。一般表示时间或空间。参数常用的一般有：参数常用的一般有：(1)(2),2,1,0 T,baT (3),2,1,00 NT时间时间此时称之为随机序列或此时称之为随机序列或0)(.nnX，随机序列写为随机序列写为序列序列.,1,0,nXn或或.,0 可以取可以取或或可以取可以取其中其中ba当参数取可列集时，当参数取可列集时，一般称随机过程为随机序列。一般称随机过程为随机序列。随机过程随机过程);(TttX 可能取值的全体所构成的集合可能取值的全体所构成的集合称为此随机过程的状态空间，记作称为此随机过程的状

4、态空间，记作S.S中的元素中的元素称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般的称为状态。状态空间可以由复数、实数或更一般的抽象空间构成。抽象空间构成。同同的的类类：的的不不同同过过程程可可以以分分成成不不和和根根据据ST参数空间分类：参数空间分类：0|2,1,0ttTT如如连续参数连续参数如如离散参数离散参数状态空间分类：状态空间分类：取值是连续的取值是连续的连续状态连续状态取值是离散的取值是离散的离散状态离散状态SS随机过程分为以下四类：随机过程分为以下四类：(1)离散参数离散型随机过程；离散参数离散型随机过程；(2)连续参数离散型随机过程；连续参数离散型随机过程；(3)连续参数连续型随机过

5、程；连续参数连续型随机过程；(4)离散参数连续型随机过程。离散参数连续型随机过程。以随机过程的统计特征或概率特征的分类，一般有以随机过程的统计特征或概率特征的分类，一般有：独立增量过程；独立增量过程；Markov过程；过程；二阶矩过程；二阶矩过程；平稳过程；平稳过程；更新过程；更新过程；Poission过程；过程；维纳过程。维纳过程。鞅；鞅；随机过程举例随机过程举例例例2.1.)()(,1机游动机游动就是直线上的随就是直线上的随时刻在路上的位置，则时刻在路上的位置，则他在他在记记以以相同）相同）后退一步（假设其步长后退一步（假设其步长以概率以概率前进一步，前进一步，概率概率一醉汉在路上行走，以

6、一醉汉在路上行走，以随机游动：随机游动：tXttXpp 例例2.2 抛掷一枚硬币，样本空间为抛掷一枚硬币，样本空间为,THS 定义：定义：时时当当出出现现，时时当当出出现现T2H,cos)(tttX),(t,2/1 TPHP其中其中是一是一则则),(,)(ttX随机过程。随机过程。例例2.3 运动。运动。则它是平面上的则它是平面上的位置，位置，为粒子在平面坐标上的为粒子在平面坐标上的碰撞的结果。记碰撞的结果。记动。同时分子大量随机动。同时分子大量随机运运来称为来称为则的运动，这种运动后则的运动，这种运动后子不断进行无规子不断进行无规漂浮在液面上的微小粒漂浮在液面上的微小粒注意到注意到英国植物学

7、家英国植物学家运动：运动：BrowntYtXBrownBrownBrown)(),(2.2 有限维分布与有限维分布与Kolmogvrov定理定理一、随机过程的分布函数一、随机过程的分布函数 1.一维分布函数一维分布函数是一随机过程，称是一随机过程，称设设)(tX)(),()(xtXPxtFxFt .)(的一维分布函数的一维分布函数称为称为tX ,0),(xtf若若 xtdyytfxtFxF-),(),()(使得使得.)(),(的的一一维维概概率率密密度度为为则则称称tXxtf 2.二维分布函数二维分布函数),()(),(2121TtttXtX 设设二二维维随随机机向向量量)(,)(),(),(

8、2211212121,21xtXxtXPxxttFxxFtt .),(2121为为二二维维概概率率密密度度则则称称xxttf的分布函数。的分布函数。称为二维随机向量称为二维随机向量)(),(21tXtX,0),(2121 xxttf若若),(),(212121,21xxttFxxFtt 21-212112),(dydyyyttfxx 3.n维分布函数维分布函数.),;,(11维维概概率率密密度度为为则则称称nxxttfnn的联合分布函数为的联合分布函数为维随机向量维随机向量)(,),(),(21ntXtXtXn),;,(),(111,1nnnttxxttFxxFn)(,)(11nnxtXxtX

9、P ,0),;,(11 nnxxttf若若),;,(),(111,1nnnttxxttFxxFn nxxnndydyyyttfn1-111),;,(.)(,),(),(21维分布函数维分布函数的的维随机向量维随机向量称为称为ntXtXtXnn 4.有限维分布族有限维分布族),(1,1nttxxFn)(,)(11nnxtXxtXP :维分布函数的全体维分布函数的全体，一维、二维，一维、二维，n 称为有限维分布族称为有限维分布族1,),(11,1 nTttxxFnnttn，5.有限维分布族的性质有限维分布族的性质(1)对称性对称性),;,(),(1111,nnnnjjjjjjjjttxxttFxx

10、F)(,)(11nnjjjjxtXxtXP ),;,(11nnxxttF (2)相容性相容性有有对于对于nm ),(1,11 mttttxxFnjmjmjj),(1,1mttxxFmjj 注注1：随机过程的统计特性完全由它的有限维分：随机过程的统计特性完全由它的有限维分 布族决定。布族决定。注注2：有限维分布族与有限维特征函数族相互唯有限维分布族与有限维特征函数族相互唯 一确定。一确定。问题：问题：一个随机过程一个随机过程是否描述了该过程的全部概率特性？是否描述了该过程的全部概率特性？);(TttX 的有限维分布族，的有限维分布族，定理：定理：（Kolmogorov存在性定理）存在性定理）设分

11、布函数族设分布函数族1,),(11,1 nTttxxFnnttn，满足以上提到的对称性和相容性满足以上提到的对称性和相容性，则必有一随机过程则必有一随机过程，);(TttX 1,),(11,1 nTttxxFnnttn，使使恰好是恰好是);(TttX 的有限维分布族，即：的有限维分布族，即：),(1,1nttxxFn)(,)(11nnxtXxtXP 定理说明定理说明：);(TttX);(TttX 的有限维分布族包含了的有限维分布族包含了的所有概率信息。的所有概率信息。例例2.4 对应随机变量对应随机变量一个确定的一个确定的任取一球后放回，对每任取一球后放回，对每袋中袋中红球，每隔单位时间从红球

12、，每隔单位时间从袋中有一个白球，两个袋中有一个白球，两个t 时取得白球时取得白球如果对如果对时取得红球时取得红球如果对如果对tetttXt3)(.维分布函数族维分布函数族试求这个随机过程的一试求这个随机过程的一例例2.5 是相同的。是相同的。设出现正面反面的概率设出现正面反面的概率出现反面出现反面，出现正面出现正面义一个随机过程义一个随机过程利用抛掷硬币的试验定利用抛掷硬币的试验定RttttX 2,cos)(.).1;()21;()()2()()1(11xFxFtXtX和和的以为分布函数的以为分布函数写出写出）；）；的所有样本函数（实现的所有样本函数（实现写出写出特特征征。来来刻刻画画随随机机

13、过过程程的的概概率率征征了了用用随随机机过过程程的的某某些些特特能能的的。因因此此，人人们们想想到到可可全全部部有有限限维维分分布布族族是是不不中中，要要知知道道随随机机过过程程的的题题完完整整描描述述，但但在在实实际际问问是是随随机机过过程程概概率率特特征征的的有有限限维维分分布布族族定定理理说说明明，随随机机过过程程的的Kolmogorov二、随机过程的数字特征二、随机过程的数字特征1.均值函数均值函数随机过程随机过程);(TttX（假设是存在的）（假设是存在的）的均值函数定义为：的均值函数定义为：)()()(tXEtmtX 的的摆摆动动中中心心。）在在时时刻刻平平均均，它它表表示示随随机

14、机过过程程的的函函数数值值的的的的所所有有样样本本函函数数在在时时刻刻是是注注：ttXttXtm()()(2.方差函数方差函数随机过程随机过程);(TttX 的的方差方差函数定义为：函数定义为：)()()()()(22tmtXEttXEtXDX 的偏离程度。的偏离程度。对于均值对于均值在各个时刻在各个时刻表示表示）均方差函数均方差函数：注注)()()(1tmttXtDt 3.(自自)协方差函数协方差函数是二阶矩过程。是二阶矩过程。称称若若：注注)(,)(,22tXtXETt 的的二二阶阶中中心心混混合合矩矩，的的状状态态，)()(,)(2121tXtXTtttX)()()()(),(22112

15、1tmtXtmtXEttX 协协方方差差函函数数。的的自自协协方方差差函函数数，简简称称)(tX时，时，当当21tt ),()()(tttXVartXDX 2)()(tmtXE 2)()(tXEtXE 22)()(tXEtXE 4.(自自)相关函数相关函数的的二二阶阶原原点点混混合合矩矩，的的状状态态，)()(,)(2121tXtXTtttX)()(),(2121tXtXEttRX 关函数。关函数。的自相关函数，简称相的自相关函数，简称相)(tX时，时，当当：注注0)()(1 tmtXE),(),(2121ttttRXX )()(-),(),(2212121tmtmttRttXX ：注注时的线

16、性相关程度。时的线性相关程度。和和时刻时刻在在反映了随机过程反映了随机过程及及：注注212121)(),(),(3tttXttRttXX 们的线性关系。们的线性关系。或互相关函数来描述它或互相关函数来描述它，要引进互协方差函数，要引进互协方差函数对两个随机过程的关系对两个随机过程的关系：注注45.(互互)协方差函数协方差函数则则称称是是两两个个二二阶阶矩矩过过程程，设设)()(TttYTttX )()()()(),(221121tmtYtmtXEttYXXY 的的互互协协方方差差函函数数。，)()(tYtX)()(),()(tYEtmtXEtmYX 其中：其中：6.互相关函数互相关函数)()(

17、),(2121tYtXEttRXY 的的互互相相关关函函数数。，)()(tYtX)()(-),(),(212121tmtmttRttYXXYXY 注：注：7.互不相关互不相关0),(21 ttXY 若若互互不不相相关关。，称称)()(tYtX互不相关，则互不相关，则注：若注：若)(),(tYtX)()(),(2121tmtmttRYXXY)()()()(2121tYEtXEtYtXE 即即8.特征函数特征函数)()(exp),;,(112121nnnnXtXutXuiEtttuuu 1,),;,(212121 nTttttttuuunnnX 称称为随机过程为随机过程);(TttX 的有限维特征

18、函数族。的有限维特征函数族。记：记：例例2.6.321.5)(5)(2cos)(）方差函数）方差函数）协方差函数；（）协方差函数；（）均值函数；（）均值函数；（求：求：，是随机变量，且是随机变量，且，其中，其中设随机过程设随机过程 UDUEUtUtX例例2.7 数。数。试求它们的互协方差函试求它们的互协方差函随机变量，且随机变量，且是是其中其中，设有两个随机过程设有两个随机过程.5)(,)()(32 UDUUttYUttX作业作业1 为多少？为多少？及及则则且且立立相互独相互独若若数数的均值函数和自相关函的均值函数和自相关函，试求随机过程试求随机过程是两个随机变量是两个随机变量设设),()()

19、,2,0(),4,1(,.),(3)(,21ttRtmUBNABATtBAttXBAXX 2.3 随机过程的基本类型随机过程的基本类型 一、严平稳过程一、严平稳过程定义定义1：),2,1,)(nnTttX（若对若对，设随机过程设随机过程相同的分布函数，即相同的分布函数，即有有和和时，时，当，当和任意实数和任意实数)(,),()(,),(,1111 nnnntXtXtXtXTttTtt),;,(11nnxxttF)(,)(11nnxtXxtXP )(,)(11nnxtXxtXP ),;,(11nnxxttF .)(称为严平稳过程称为严平稳过程，则则TttX:T平稳过程的参数平稳过程的参数 ,2,

20、1,0,2,1,0),(),0tt如如可以是离散的，可以是离散的，如如可以是连续的，可以是连续的，二、严平稳过程的特点二、严平稳过程的特点无关；无关；与与的一维概率密度的一维概率密度严平稳过程严平稳过程txtftX);()(.1而与时间的起点无关。而与时间的起点无关。有关，有关，仅与仅与二维概率密度二维概率密度212121),;,(ttxxttf 矩矩若严平稳过程存在二阶若严平稳过程存在二阶.2）均值函数为常数：）均值函数为常数：（1mtXEtm )()(),)(2 tXE即即则则.),()(),(2212121的函数的函数仅是时间差仅是时间差相关函数相关函数自自协方差函数协方差函数）（ttt

21、tRttXX 三、宽平稳过程三、宽平稳过程(简称平稳过程简称平稳过程)定义定义2：如如果果它它满满足足：，设设随随机机过过程程,)(TttX 是二阶矩过程；是二阶矩过程；）（)(1tX)(2 tXE即所以二阶矩存在即所以二阶矩存在）均值函数为常数：）均值函数为常数：（2;)()(mtXEtm 即即.),()(),(3212121ttttRttXX 仅依赖于时间差仅依赖于时间差相关函数相关函数自自协方差函数协方差函数）（.)(平稳过程平稳过程为宽平稳过程，或二阶为宽平稳过程，或二阶则称则称tX.)(为平稳时间序列为平稳时间序列为整数集时，称为整数集时，称当当tXT注注1：平平稳稳过过程程。严严平

22、平稳稳过过程程不不一一定定是是宽宽.一定是宽平稳过程一定是宽平稳过程过程存在二阶矩，则它过程存在二阶矩，则它平稳平稳定是二阶矩过程。若严定是二阶矩过程。若严因为：严平稳过程不一因为：严平稳过程不一注注2：严严平平稳稳过过程程。宽宽平平稳稳过过程程也也不不一一定定是是间间而而推推移移。随随时时能能保保证证其其有有限限维维分分布布不不推推移移而而改改变变，这这当当然然不不间间的的证证一一阶阶矩矩二二阶阶矩矩不不随随时时因因为为：宽宽平平稳稳过过程程只只保保例例2.8 的的平平稳稳性性。试试讨讨论论且且均均值值和和方方差差分分别别为为其其中中机机变变量量序序列列是是相相互互独独立立同同分分布布的的随

23、随设设)(,)(,0)(,2,1,0,)(2tXtXDtXETtX 例例2.9.0)(.)(1,0,2,1,2sin)(时时，讨讨论论其其平平稳稳性性当当的的平平稳稳性性列列变变量量，试试讨讨论论随随机机序序上上服服从从均均匀匀分分布布的的随随机机是是其其中中设设随随机机序序列列 ttXtXTTtttX 四、平稳过程相关函数的性质四、平稳过程相关函数的性质性质性质1：0)()0(2 tXERX性质性质2：)0()(XXRR 许瓦兹不等式：许瓦兹不等式：柯西柯西-2|)(|XYE)(22EYEX)(|)(|22EYEXXYE 或或结论：结论：.0)()(时取得最大值时取得最大值在在相关函数相关函

24、数自自 XR性质性质3：.)(为偶函数为偶函数 XR)()-(XXRR 即即性质性质4：.)(是是非非负负定定的的 XR都都有有实实数数个个不不全全为为零零的的和和任任意意即即对对任任意意数数组组nnaaanTtt,211 0)(11 jiXninjjittRaa注：注：性性，是是平平稳稳过过程程最最本本质质的的特特自自相相关关函函数数的的非非负负定定性性.程程的的自自相相关关函函数数该该函函数数必必定定是是某某平平稳稳过过么么只只要要具具有有非非负负定定性性，那那因因为为，任任一一连连续续函函数数，定义：定义：是两个平稳过程，是两个平稳过程，与与设设),(),(TttYTttX ，如如果果对

25、对任任意意的的Ttt,)()()(XYRtYtXE 有有.)()(平稳相关平稳相关与与则称则称tYtX注：注：.)(时，它们才是平稳相关时，它们才是平稳相关仅依赖仅依赖或互协方差函数或互协方差函数互相关函数互相关函数两个平稳过程当它们的两个平稳过程当它们的 性质性质5：)0()0(YXXYRR)()(YXXYRR 性质性质6：性质性质7：)0()0(|)(|2YXXYRRR 性质性质8：)0()0(|)(|2YXXYRRR 性质性质9：其其相相关关函函数数为为也也是是平平稳稳过过程程是是平平稳稳相相关关的的，则则其其和和与与若若平平稳稳过过程程,)()()()()(tYtXtZtYtX )()

26、()()()(YXXYYXZRRRRR 例例2.10：，称，称的函数，的函数，是一周期为是一周期为设设,0)(TUTtS.)()(它它的的平平稳稳性性试试讨讨论论为为随随机机相相位位周周期期过过程程，tStX 五、独立增量过程五、独立增量过程 定义定义1若若对对任任意意正正整整是是一一随随机机过过程程设设,)(TttX,1211nnnttttTttNnn ，及及数数随随机机过过程程的的增增量量：)(-)()(-)()(-)(12312 nntXtXtXtXtXtX，为为独独立立增增量量过过程程。是是相相互互独独立立的的，则则称称)(tX例例2.11：，是是相相互互独独立立的的随随机机序序列列设

27、设,2,1,0),(nnX.,2,1,0),(,)()(0是一独立增量过程是一独立增量过程则则令令 iiYnXiYin有有若对任何若对任何Ttt 21,)()()()(2211tXhtXdtXhtX 平平稳稳独独立立增增量量过过程程。和和平平稳稳增增量量的的过过程程称称为为兼兼有有独独立立增增量量为为平平稳稳增增量量过过程程则则称称.),(TttX 定义定义2对对任任意意的的若若二二阶阶矩矩过过程程),(TttX 有有，Ttttttttt 43214321,0)()()()(3412 tXtXtXtXE为正交增量过程。为正交增量过程。则称则称),(TttX 六、遍历性定理六、遍历性定理.,2,

28、1,0,)(;)(,2,1,0,)1(2 nmXEXEXnXnnnn变变量量序序列列，为为独独立立同同分分布布随随机机其其中中.)(,2,1,0,)2(2 YEYnYYn是随机变量是随机变量其中其中而言，由大数定律知，而言，由大数定律知，对对)1(.).(110samXnnii 中，中，但在但在)2(YYnnii 101。，随随机机性性没没有有任任何何改改变变即即经经过过对对时时间间的的平平均均后后。研研究究中中的的一一个个重重要要课课题题程程历历性性问问题题。这这是是平平稳稳过过问问题题称称为为平平稳稳过过程程的的遍遍一一以以等等于于过过程程的的均均值值？这这过过程程对对时时间间的的平平均均

29、值值可可稳稳题题：在在何何种种条条件件下下，平平于于是是自自然然产产生生这这样样的的问问。或或相相关关函函数数和和它它的的协协方方差差函函数数均均值值重重要要的的是是确确定定它它的的对对于于平平稳稳过过程程)()(,2,1,0,RmnXn 由由大大数数定定律律知知，可可以以用用的的值值中中时时刻刻次次观观察察记记第第以以作作大大量量观观察察，就就必必须须对对随随机机过过程程，为为估估计计由由于于.,2,1,0)(.,2,1,0,)(njtjtXnXmmXEjnn 差差。同样，为了估计协方。同样，为了估计协方来估计来估计mtXnmnkk 1)(1)()()(1)(),(1mtXmtXnknkk

30、也可以用也可以用。对对于于一一和和来来估估计计我我们们希希望望由由这这一一次次观观察察径径本本路路一一次次观观察察，获获得得一一条条样样做做到到。容容易易做做到到的的是是作作很很难难程程作作多多次次观观察察一一般般来来说说来来估估计计。然然而而对对随随机机过过)(,m历历性性定定理理。较较好好的的估估计计，这这就就是是遍遍的的和和从从一一次次观观察察中中得得到到加加上上一一些些条条件件，就就可可以以只只要要但但是是对对于于平平稳稳过过程程能能的的般般的的随随机机过过程程这这是是不不可可)(,m 定义定义1:为为一一平平稳稳过过程程，若若设设),(ttXmdttXTLimXTTT )(21时时，

31、或或当当参参数数空空间间ZT mkXNLimXNNkN )(121限限，即即限限是是指指均均方方意意义义下下的的极极的的极极的的均均值值有有遍遍历历性性。这这里里则则称称),(ttX0|)(21|2 mdttXTELimTTT 定义定义2:为为一一平平稳稳过过程程，若若设设),(ttX时时，或或当当参参数数空空间间ZT )()()()(21)(dtmtXmtXTLimTTT)()()()(121)(mkXmkXNLimNNkN.),(限限限限是是指指均均方方意意义义下下的的极极这这里里的的极极的的协协方方差差有有遍遍历历性性则则称称 ttX程程有有遍遍历历性性。遍遍历历性性，则则称称此此随随机

32、机过过具具有有的的均均值值和和协协方方差差函函数数都都或或随随机机序序列列若若随随机机过过程程)(例如，相应的例如，相应的上上的积分和求和就限制在的积分和求和就限制在相应相应时时非负整数非负整数只取非负实数只取非负实数上述的定义中，如果上述的定义中，如果.),0,)(tmdttXTLimXTT 0)(1mkXNLimXNkN 0)(11或或 例例2.12:,21)1(,),(,)(XPXtXtX是随机变量是随机变量设设.)(的的均均值值是是否否具具有有遍遍历历性性试试判判定定tX 例例2.13:.,)cos()(相互独立相互独立与与是常数是常数其中其中正弦波正弦波 AttAtX 其它其它010

33、2)(xxxfA.,2,0有遍历性有遍历性判定该随机过程是否具判定该随机过程是否具 U 定理定理2.2:(均值遍历性定理均值遍历性定理)性性的的充充分分必必要要条条件件是是均均值值具具有有遍遍历历则则协协方方差差，是是平平稳稳序序列列，其其均均值值为为,2,1,0,),(,2,1,0,)1(nXmnXnn 0)(11-0 NNXNLim 是是具具有有遍遍历历性性的的充充要要条条件件值值是是平平稳稳过过程程，则则它它的的均均设设),()2(ttX0)()2-1(120 dTTLimTT 推论推论2.1:。则均值遍历性定理成立则均值遍历性定理成立）若若,|(|-d 推论推论2.2:,0(）（）对对

34、于于平平稳稳序序列列而而言言，若若 。则均值遍历性定理成立则均值遍历性定理成立|(|(2-1）T证明：证明：时时，由由于于当当T20 dTTT 20(2-11）dTT 20|(|1）dT 0|(|1）0 定理定理2.2:(协方差函数遍历性定理协方差函数遍历性定理)性性的的充充分分必必要要条条件件是是则则协协方方差差函函数数具具有有遍遍历历其其均均值值函函数数为为是是平平稳稳过过程程设设,0,),(ttX0)()()2-1(1121201 dBTTLimTT（其中其中).()()()()(111tXtXtXtXEB ）一般了解一般了解及定理及定理（定理（定理.2.21.2 作业作业1:是是否否为为宽宽平平稳稳过过程程。判判别别独独立立同同分分布布于于为为相相互互为为常常数数，设设)(),0(,0,sincos)(2tXNBAttBtAtX 作业作业2:书第二章书第二章 习题习题2.6.作业作业3:。方差函数不具有遍历性方差函数不具有遍历性对均值具有遍历性，协对均值具有遍历性，协试证试证量，且量，且为零的不相关的随机变为零的不相关的随机变是均值是均值为常数，为常数，设设)(:),()(,-,sincos)(22tXBEAEBAttBtAtX