随机误差-扬州大学物理试验教学中心课件.ppt

1、物理教学实验中心物理教学实验中心第一节物理实验课的目的和任务第一节物理实验课的目的和任务一、物理实验课的任务一、物理实验课的任务1、培养三基能力：实验基本知识、基本实验技、培养三基能力：实验基本知识、基本实验技能、基本实验方法能、基本实验方法2、自学能力、工作能力、总结能力、自学能力、工作能力、总结能力3、培养科学实验的素养；实事求是、不怕困难、培养科学实验的素养；实事求是、不怕困难、主动研究、相互合作、共同探索。养成实事求主动研究、相互合作、共同探索。养成实事求是的科学态度和严肃认真的工作作风。是的科学态度和严肃认真的工作作风。3二、物理实验课程的基本要求二、物理实验课程的基本要求1.1.基

2、本素质基本素质1）自觉遵守各项实验规则）自觉遵守各项实验规则准时、签名、预习、检查仪器、保持安静卫生；准时、签名、预习、检查仪器、保持安静卫生；2）完成规定的实验内容；）完成规定的实验内容；3）撰写合格的实验报告；）撰写合格的实验报告；4）借助的计算工具，进行数据处理；）借助的计算工具，进行数据处理；5）具有独立操作能力及团结协作精神。）具有独立操作能力及团结协作精神。4 2 2、基本实验技能和实验方法、基本实验技能和实验方法1）借助资料了解实验原理、仪器性能；）借助资料了解实验原理、仪器性能；2）掌握常用仪器的调节和使用方法掌握常用仪器的调节和使用方法（P292）零位调整、水平与铅直调整、光

3、路共轴调整、消视差调零位调整、水平与铅直调整、光路共轴调整、消视差调节、恢复仪器初态、先定性后定量原则、回路接线法、节、恢复仪器初态、先定性后定量原则、回路接线法、避免空程避免空程 误差等误差等3）了解常用的实验方法了解常用的实验方法（P283）比较、放大、转换、模拟、干涉、衍射、光谱法比较、放大、转换、模拟、干涉、衍射、光谱法 、光测法、光测法 4）掌握常用物理量的测量方法；）掌握常用物理量的测量方法；长度、时间、质量、温度、电压、电流、电阻、角度等长度、时间、质量、温度、电压、电流、电阻、角度等 5）理解误差的基本知识，具有数据处理能力。）理解误差的基本知识，具有数据处理能力。3 3、安全

4、问题、安全问题一、物理实验项目一、物理实验项目物理教学实验中心公共物理实验室，开设了基础实验、基本实验、物理教学实验中心公共物理实验室，开设了基础实验、基本实验、提高实验和综合设计性选修实验等四个模块实验，理科同学按阶梯式教提高实验和综合设计性选修实验等四个模块实验，理科同学按阶梯式教学法做学法做八个必修八个必修实验和实验和六个选做六个选做实验。实验。第二节第二节 物理实验课的基本程序物理实验课的基本程序n物体密度的测量物体密度的测量n伏安特性测电阻伏安特性测电阻n拉伸法测金属丝的杨氏拉伸法测金属丝的杨氏弹性模量弹性模量n直流电桥直流电桥n霍尔效应及磁场的测定霍尔效应及磁场的测定n迈克尔孙干涉

5、仪的使用迈克尔孙干涉仪的使用n示波器的使用示波器的使用n分光计的调节和使用光栅分光计的调节和使用光栅测波长测波长实验内容包含基本内容和扩展内容，若仅完成基本实验内容，实验内容包含基本内容和扩展内容，若仅完成基本实验内容，该次实验成绩最高分为该次实验成绩最高分为8080分。分。-实验地点：实验地点：江阳路北校区江阳路北校区1010号楼三楼物理实验室号楼三楼物理实验室6二、实验预习二、实验预习1）进实验室预习前先认真阅读教材和相关参考资料。）进实验室预习前先认真阅读教材和相关参考资料。并写出预习报告的并写出预习报告的一部分一部分：实验目的、原理、仪器实验目的、原理、仪器实验内容、操作步骤、计算公式

6、、数据表格、实验内容、操作步骤、计算公式、数据表格、注意事项、预习题的回答等注意事项、预习题的回答等可查阅相关实验课件和录象。可查阅相关实验课件和录象。熟悉即将使用的仪器的性能以及正确的操作规程。熟悉即将使用的仪器的性能以及正确的操作规程。用自己的语言归纳、总结，图文并茂，用自己的语言归纳、总结，图文并茂，不要照抄教材。不要照抄教材。7三、实验操作和数据记录三、实验操作和数据记录1）认真阅读并严格执行实验室的规章制度；）认真阅读并严格执行实验室的规章制度；2）仪器检查、布置、安装和调节。）仪器检查、布置、安装和调节。3）按实验步骤实验，）按实验步骤实验，定性观察、定量测量，先粗后细定性观察、定

7、量测量，先粗后细6）教师审核数据，认可签字。）教师审核数据，认可签字。4）记录原始数据）记录原始数据7）对不合理的和错误的实验结果，需补做或重做实验）对不合理的和错误的实验结果，需补做或重做实验(不可随便改数据不可随便改数据)，8）整理仪器，做好清洁工作。）整理仪器，做好清洁工作。8四、撰写实验报告的书写四、撰写实验报告的书写接在预习报告的基础上接在预习报告的基础上完成。完成。3）实验报告要求）实验报告要求文字通顺，字迹端正、数据完整、图表规范、结文字通顺，字迹端正、数据完整、图表规范、结果正确。果正确。1）数据处理与分析）数据处理与分析2）误差分析及问题讨论）误差分析及问题讨论用自己的语言简

8、单描述所观察到的实验现象，写出用自己的语言简单描述所观察到的实验现象，写出数据计算的主要过程、图表和实验结果。数据计算的主要过程、图表和实验结果。实事求实实事求实4）实验报告）实验报告应于实验后一周内交实验指导教师，抄袭应于实验后一周内交实验指导教师，抄袭他人报告者按不及格处理他人报告者按不及格处理,不得携带他人教材、实验数据。不得携带他人教材、实验数据。五、学生实验成绩五、学生实验成绩实实验验总总成成绩绩 平时成绩平时成绩（占总成绩（占总成绩70%70%）考试成绩考试成绩（占总绩的（占总绩的30%30%）实验预习、操作：教师在实验时实验预习、操作：教师在实验时给出，占平时成绩的给出，占平时成

9、绩的50%50%。实验报告：教师在批改实验报实验报告：教师在批改实验报告后给出，占平时成绩的告后给出，占平时成绩的50%50%。实验总成绩不及格者需重修实验总成绩不及格者需重修“大学物理实验大学物理实验”课程。课程。缺做实验、缺交实验报告以及缺做实验、缺交实验报告以及考考试试成绩低于成绩低于4040分总成绩不及格。分总成绩不及格。六、课程有关事宜六、课程有关事宜 1 1、实验项目、时间、地点（按排表），、实验项目、时间、地点（按排表），报告：一周内交。报告：一周内交。2 2、课代表：、课代表：1 1）情况及时沟通；）情况及时沟通；2 2）到教材科领：实验报告册）到教材科领：实验报告册1515本

10、本第三节测量与误差第三节测量与误差一、测量测量2 2、测量的分类测量的分类：（a a）直接测量：）直接测量：1 1、测量：将被测量与一个选作单位的同类量进行比测量：将被测量与一个选作单位的同类量进行比 较，其倍数即作被测量的测量值。较，其倍数即作被测量的测量值。测量值由测量值由数值数值和和单位单位两部分组成，缺一不可。两部分组成，缺一不可。读数：读数：11.6011.60cmcm直接用仪器测出被物理量的大小直接用仪器测出被物理量的大小教材中第五节适用于16课时的专业（b b）间接测量：）间接测量：物理量不能或不便于直接用仪器直接物理量不能或不便于直接用仪器直接测出，而是通过一定的函数关系计算出

11、来。测出，而是通过一定的函数关系计算出来。（C C）多次测量与单次测量）多次测量与单次测量2 2、测量误差：测量误差：真值绝对误差相对误差E绝对误差绝对误差=测量值真值测量值真值 x例如：测量例如：测量1 1米的长度时，误差为一个毫米；测量米的长度时，误差为一个毫米；测量1 1毫米的毫米的长度时，误差是长度时，误差是0.10.1毫米。二者的绝对误差和相对误差。毫米。二者的绝对误差和相对误差。mm11mm1.02%1.0mm1000mm11rE%10mm1mm1.02rE从绝对误差看从绝对误差看 后者偏离小，而从相对误差看后者偏离小，而从相对误差看 前者测量质量高前者测量质量高.为什么要用相对误

12、差？为什么要用相对误差？二、误差二、误差1 1、真值真值：被测量物理量所具有的、客观真实数值。：被测量物理量所具有的、客观真实数值。在这里应指出真值只是一个客观存在，具体的数值不在这里应指出真值只是一个客观存在，具体的数值不可知。可知。12三、误差的分类三、误差的分类1 1、系统误差：系统误差：在相同条件下，多次测量同一物理量时，若误差在相同条件下，多次测量同一物理量时，若误差的大小和正负总保持不变或按一定的规律变化的大小和正负总保持不变或按一定的规律变化.2 2、随机误差（随机误差（偶然误差偶然误差）：随机误差是指在相同条件下，多次随机误差是指在相同条件下，多次测量同一物理量，其测量误差绝对

13、值的大小和符号以不可预知的测量同一物理量，其测量误差绝对值的大小和符号以不可预知的方式变化。这种误差由实验中多种因素的微小变动而引起。方式变化。这种误差由实验中多种因素的微小变动而引起。来源主要有：来源主要有：理论公式的近似性理论公式的近似性；仪器结构的不完善仪器结构的不完善 ；环境条环境条件的改变件的改变 ；观测者的因素等。；观测者的因素等。但对一个量进行足够多次的测量，则会发现它们的随机误差但对一个量进行足够多次的测量，则会发现它们的随机误差是按一定的规律分布的，常见的分布有正态分布、均匀分布、是按一定的规律分布的，常见的分布有正态分布、均匀分布、T T分布等。分布等。特点：确定性特点：确

14、定性特点：不确定性特点：不确定性N N很大时，呈正态分布。均匀分布、很大时，呈正态分布。均匀分布、N N小于小于2020时，明显呈时，明显呈T T分分布等。布等。已定的系统误、已定的系统误、未知系统误差未知系统误差 13正态分布正态分布的概率密度函数曲线为：的概率密度函数曲线为：01lim1niinn正确分布的特点正确分布的特点多次测量的平均值误差小多次测量的平均值误差小(1)单峰性(2)对称性(3)有界性(4)抵偿性减少措施：减少措施：多次测量多次测量iix真值真值 ，测量值，测量值x xi i，误差，误差 ，n n次测量次测量x x1 1,x,x2 2,x,xn n,误差误差 n,21nx

15、xxnn )(2121niiniinxn1111由抵偿性，当由抵偿性，当 时，时，n01lim1niinn niinnnxxxxx11211)(算术平均值最接近算术平均值最接近真值真值,称为测量的称为测量的最最佳值佳值或或近真值近真值。时n证明证明3 3 、疏失误差：疏失误差：14测量误差分类小结测量误差分类小结分类分类特点特点来源来源处理方法处理方法系统系统误差误差确定性确定性方法环境仪方法环境仪器人员器人员已定系统误差：校正、改已定系统误差：校正、改进方法、控制环境、修正进方法、控制环境、修正等等未定系统误差：估计未定系统误差：估计随机随机误差误差随机性（服从统随机性（服从统计分布）计分布

16、）不可估计的不可估计的原因原因多次测量，统计方法进行多次测量，统计方法进行估计但不可修正估计但不可修正过失过失误差误差过失、错误过失、错误剔除剔除在大多数实际测量中：系统误差常常是测量结果误差的主要分量，在大多数实际测量中：系统误差常常是测量结果误差的主要分量，实验中要重视系统误差的分析估算。实验中要重视系统误差的分析估算。显微镜的回程差，螺旋测微计的零点读数，分显微镜的回程差，螺旋测微计的零点读数，分光计偏心差等光计偏心差等15第四节测量的不确定度和测量结果的表示第四节测量的不确定度和测量结果的表示一、测量的不确定度一、测量的不确定度U U 不确定度表示由于测量误差的存在而对被测量值不能不确

17、定度表示由于测量误差的存在而对被测量值不能肯定的程度，肯定的程度，是对被测量值的真值所处的量值范围的评是对被测量值的真值所处的量值范围的评定。定。“不确定度不确定度”反映了可能存在的误差分布范围，即反映了可能存在的误差分布范围，即随机误差分量随机误差分量与与未定系统误差分量未定系统误差分量的联合分布范围。它的联合分布范围。它是一个不为零的正值。是一个不为零的正值。它可近似理解为一定概率的误差限，误差一它可近似理解为一定概率的误差限，误差一般在之间，误差落在区间般在之间，误差落在区间 之外的概率非之外的概率非常小。常小。xU),(UU总不确定度总不确定度UB B类分量：类分量：根据经验或其它信息

18、进行估计，即用非统计根据经验或其它信息进行估计，即用非统计方法评定，记作方法评定，记作 .BA类分量：类分量：根据一列测量值的统计分布进行估计，根据一列测量值的统计分布进行估计，并可用实验标准偏差来表征，记作并可用实验标准偏差来表征，记作 .A 不确定度按计算方法分为两类，用统计方法对具有随机不确定度按计算方法分为两类，用统计方法对具有随机误差性质的测量值计算获得的误差性质的测量值计算获得的A A类分量类分量 ，以及用非统计方，以及用非统计方法计算获得的法计算获得的B B类分量类分量 。AB总不确定度为：总不确定度为：22BAU又称扩展不确定度又称扩展不确定度二、随机误差与不确定度的二、随机误

19、差与不确定度的A类分量类分量1、随机误差的分布和标准偏差随机误差的分布和标准偏差 多次独立测量得到的数据多次独立测量得到的数据一般可视为正态分布，测一般可视为正态分布，测量值的正态分布函数为：量值的正态分布函数为：221exp21)(SxSxf正态分布正态分布函数曲线为：函数曲线为：表示表示 x 出现概率最大的出现概率最大的值，在消除系统误差后，值，在消除系统误差后，为为真值。真值。S S称为标准偏差，反映测称为标准偏差，反映测量值的离散程度量值的离散程度,可用贝塞可用贝塞尔公式估算尔公式估算1)()(12nxxxSnii式中式中 称为残差。称为残差。iivxx)(S的物理意义可由置信概率表征

20、的物理意义可由置信概率表征182 2、置信概率置信概率定义定义:是概率函数，任一次测量值落在是概率函数，任一次测量值落在。区间的概率为区间的概率为x)(xf)(xSx)(xSx 到到我们称我们称p为置信概率为置信概率，称称SxSx,为为置信区间置信区间。当置信区间扩展为当置信区间扩展为 和和 时时其置信概率分别为：其置信概率分别为：SxSx2,2SxSx3,3683.0d)(xxfpsxsx954.0d)(22xxfpsxsx和和 997.0d)(33xxfpsxsx19nxsnnxxniixs)()1()(12)(由于实验的算术平均值比每次的实验值更可靠，由于实验的算术平均值比每次的实验值更

21、可靠，最最接近真值，因此我们更希望知道接近真值，因此我们更希望知道 对真值对真值的的离散程度。离散程度。理论推导得到平均值的标准偏差理论推导得到平均值的标准偏差)(xSx 的意义的意义:待测量物理量处于待测量物理量处于 区间内的区间内的概率为概率为0.683。)(xS)(xSx 3、平均值的标准偏差平均值的标准偏差20f(x)图图2 t2 t分布曲线分布曲线t 分布时，分布时，的置信的置信概率不是概率不是0.683。)(xSx 值得注意的是测量次数相当多时，测量值才近似为正态分值得注意的是测量次数相当多时，测量值才近似为正态分布布，上述结果才成立。在测量次数较少的情况下，测量值将，上述结果才成

22、立。在测量次数较少的情况下，测量值将呈呈 分布分布.t在物理实验中，建议置信概率采用在物理实验中，建议置信概率采用P P0.950.95的置信概率才是的置信概率才是0.6830.683而而)(683.0 xStxxnxStx)(683.0p对不同的置信概率有相应的因子对不同的置信概率有相应的因子pt)(xStxxp可导出置信参数可导出置信参数735.1835.2948.195.0nt214 4、不确定度的不确定度的A A类分量类分量1/95.0ntxAS由表由表1,当当P=0.95，n=6时，时，SntpA根根置信参数置信参数阈等阈等 和和 的值见的值见P 7 表表2。95.0tnt/95.0

23、三、不确定度的三、不确定度的B B类分量类分量 由于由于B类不确定度分量在测量范围内无法作统计评定，一般类不确定度分量在测量范围内无法作统计评定，一般可根据经验或其它非统计信息评估，可根据经验或其它非统计信息评估，可由仪器标定的最大允可由仪器标定的最大允差计算，差计算，ins仪B常用实验仪器的最大常用实验仪器的最大允差见允差见P 8 表表3。3insB即：即：一般科学计算器都具备统计功能一般科学计算器都具备统计功能,可以进行标准偏差可以进行标准偏差 的计的计算。大家在熟悉标准偏差及平均值的标准偏差的含义后算。大家在熟悉标准偏差及平均值的标准偏差的含义后,具体处理具体处理实验数据时实验数据时,可

24、以直接用计算器求得标准偏差。可以直接用计算器求得标准偏差。)(xS（1 1）生产厂家有仪器生产厂家有仪器铭牌铭牌或或说明书说明书中给出。中给出。（2 2）由生产厂家给出仪器准确度级别，由所用仪由生产厂家给出仪器准确度级别，由所用仪器的量程和级别算出。器的量程和级别算出。例：例：某电压表的级别为某电压表的级别为0.50.5级级,表明该电压表的最大相表明该电压表的最大相对误差为对误差为0.5%0.5%，故，故 在量程为在量程为15V15V时，最大允差为时，最大允差为1515*0.5%=0.075(V)0.5%=0.075(V)量程为量程为75V75V时时,最大允差为最大允差为7575*0.5%=0

25、.375(V)0.5%=0.375(V)最大允差最大允差 的来源：的来源：仪最大允差：最大允差：正确使用条件下，测量所得的最大误差。正确使用条件下，测量所得的最大误差。（3 3）取仪器的最小精度。取仪器的最小精度。例例:米尺的最小分度值为米尺的最小分度值为1mm,1mm,若用米尺进行单次测量若用米尺进行单次测量,其仪器误差为其仪器误差为1mm 1mm 一般仪器误差概率密度遵从均匀分布的规律，各一般仪器误差概率密度遵从均匀分布的规律，各种误差出现的概率相同，在区间外出现的概率为零。种误差出现的概率相同，在区间外出现的概率为零。23四、测量结果的表示四、测量结果的表示1、测量结果的表示测量结果的表

26、示 若用不确定度若用不确定度表征测量结表征测量结果的可靠程度，则测量结果写果的可靠程度，则测量结果写成下列标准形式成下列标准形式 22BAU2、直接测量的不确定度计算过程直接测量的不确定度计算过程（1 1）单次测量）单次测量Uxx%100 xUEr合成不确定度合成不确定度相对不相对不确定度确定度U极限误差极限误差的取法的取法a.仪器标定的最大允差仪器标定的最大允差b.b.估计一个极限误差估计一个极限误差两者中取数两者中取数值较大的作值较大的作为为 值。值。根据不同仪器、测量对象、环境条件、仪器灵敏阈等根据不同仪器、测量对象、环境条件、仪器灵敏阈等24（2 2）多次测量：）多次测量：（a）求测量

27、数据的算术平均值：）求测量数据的算术平均值：nxxnii1（b）修正已知的系统误差，得到测量值（如螺旋测微器必）修正已知的系统误差，得到测量值（如螺旋测微器必 须消除零误差）须消除零误差）（c）用贝塞尔公式计算标准差：）用贝塞尔公式计算标准差：1)()(12nxxxSnii（d）标准差乘以置信参数）标准差乘以置信参数xAS若测量次数若测量次数 n=6 取取 nt95.0195.0nt（e）根据仪器标定的最大允差）根据仪器标定的最大允差 确定确定 ins仪3insB25（f）由）由 、合成不确定度：合成不确定度：AB22BAU（g）计算相对不确定度；）计算相对不确定度；%100 xUErUxx（

28、h）给出测量结果：）给出测量结果：%100 xUEr例例P9P9例例1 1(1)间接测量的最佳估计值间接测量的最佳估计值(2)不确定度的传递不确定度的传递.),(zyxFN 3 3、间接测量不确定度的计算间接测量不确定度的计算 zyx,.),(zyxFN zyx,为直接测得量为直接测得量为为各直接测得量的最佳估计值各直接测得量的最佳估计值则间接测得量的则间接测得量的最佳估计值最佳估计值为为若各直接测得若各直接测得量的结果为：量的结果为：)(yUyy)(xUxx)(zUzz)()()()()()()(222222zUyUxUNUzFyFxF则则222222)()ln()()ln()()ln(zy

29、xNrUzFUyFUxFNUE上式适用于上式适用于N是和差形式的函数，是和差形式的函数，下式适用于下式适用于N是积商形式的函数。是积商形式的函数。利用以上公式可以计算得出利用以上公式可以计算得出P10表表4的不确定度传递公式。的不确定度传递公式。28)()()(1)(1)()()()()(2222222222YUXUYUXUYUXUNUYNXNYXN)2(YXN)1()()()()()()()(22222222YUXXUYYUXUNUYNXN292)(2)()()()()()()()()()(22222222222222YYUXXUYYUXXUYXYUXXUYYXYUXXUYNNUrE说明：间

30、接测量量为幂指数 其不确定度的简便式为：dbazyAxN 222)()()()(zudyubxuaNNUEczcycxrrENNU)(rENNU)(例例1 1：用一级螺旋测微计测一个小钢球的直径，测得数据如下用一级螺旋测微计测一个小钢球的直径，测得数据如下 d（mm）9.345 9.344 9.343 9.348 9.347 9.343 螺旋测微计的初始读数为螺旋测微计的初始读数为0，试求小钢球的体积？，试求小钢球的体积？解：解：1.计算小钢球的直径的平均值：计算小钢球的直径的平均值：)(345.9mmd 2.2.求得直径的标准偏差求得直径的标准偏差 S=0.0021mm6.6.所以小钢球的直

31、径结果表达式为所以小钢球的直径结果表达式为%04.00033.0%100%100)(004.0345.9345.9031.0dUrdEmmd0.004mmins4.4.一级螺旋测微计的仪器最大允差一级螺旋测微计的仪器最大允差)(0031.00023.00021.02222mmUBAd5.5.用方和根合成，得直径的总不确定度用方和根合成，得直径的总不确定度 3.3.n=6 时，取时，取 ，则，则1/95.0ntmmSA0021.0计算小钢球的体积：计算小钢球的体积：)(3.427345.93361415.336mmdV小钢球体积测量结果为小钢球体积测量结果为：%1)(44273rEmmV代入不确

32、定度合成公式（表代入不确定度合成公式（表3 3）%101.00099.03)3()(2dUdUVUrddVVE)(43.4270099.0)(3mmVUVUVV例例2 2：用游标尺测量一空心圆柱体尺寸，测得其外径为用游标尺测量一空心圆柱体尺寸，测得其外径为D D2 2=3.300cm内径为内径为D D1 1=1.504cm ，高为，高为h=4.810cm。试计算其体积？。试计算其体积？解：游标卡尺的最大允差为解：游标卡尺的最大允差为 )(002.0cmins故，空心圆柱体的外径为故，空心圆柱体的外径为 内径为内径为 高度为高度为 )(002.0300.32cmD0.002cm1.5041D 0

33、.002cm4.810h方法一：方法一：1.1.空心圆柱体的体积为：空心圆柱体的体积为：hDDV)(212242.2.计算出计算出空心圆柱体的体积的最佳估计值空心圆柱体的体积的最佳估计值hDDV)(212243.3.根据公式根据公式)()()()()()()(222222zUyUxUNUzFyFxF计算出计算出%)(10042424221222221222212121VEDDhDhDhVDVDVrhDDVhDDVVUUUUUUUUU4.4.写出结果表达式：写出结果表达式：%100VEVVVrVUU方法二：方法二：1.1.空心圆柱体的体积为两个圆柱体的体积之差空心圆柱体的体积为两个圆柱体的体积之

34、差 ：hDhDV2142242.2.计算出计算出空心圆柱体的体积的最佳估计值空心圆柱体的体积的最佳估计值:hDhDVVV212221443.3.分别计算分别计算V V1 1 和和 V V2 2的不确定度，再根据方和根合成的不确定度，再根据方和根合成方式计算总体积的方式计算总体积的V V的不确定度的不确定度U UV V：2221VVVUUU4.4.写出结果表达式：写出结果表达式：%100VUrVVEUVV第四节第四节 有效数字及其运算有效数字及其运算一、有效数字的基本概念一、有效数字的基本概念1 1、定义：能够正确的表示测量和实验结果的数字。、定义：能够正确的表示测量和实验结果的数字。2 2、构

35、成：可靠的几位数、构成：可靠的几位数+可疑的一位数可疑的一位数（1）游标卡尺游标卡尺读数读数:2.522cm:2.522cm（2）螺螺旋测微器旋测微器读数读数:1.977mm:1.977mm读数读数:5.652mm:5.652mm(3)(3)电表电表读数为读数为:44.8:44.8格格2、读取有效数字的几点读取有效数字的几点注意事项：注意事项：（1）数字间及数字后的数字间及数字后的“0”皆为有效数字。皆为有效数字。（2）数字前的数字前的“0”不是有效数字。不是有效数字。例例:3.0145 3.0145 五位有效数字五位有效数字0.0005 0.0005 一位有效数字一位有效数字1.0000 1

36、.0000 五位有效数字五位有效数字三、有效数字的运算规则三、有效数字的运算规则1、有效数字的运算最终结果只保留一位存疑数字，其有效数字的运算最终结果只保留一位存疑数字，其后的数字按后的数字按“四舍六入五凑偶四舍六入五凑偶”的法则处理。的法则处理。45.345.3350350=45.3=45.34 4例：例：9.999.994545=9.99=9.994 48.838.8305010501=8.83=8.831 10.02310.0231251251=0.02313=0.02313注意：注意：对参与运算的数和中间运算过程都可不作修约，对参与运算的数和中间运算过程都可不作修约，只在最后结果表示前

37、再作修约。只在最后结果表示前再作修约。传统的要求是中间过程传统的要求是中间过程可多保留一位，可多保留一位，计算工具先进计算工具先进二、数值书写规则二、数值书写规则科学计数法科学计数法m182500kmm251082500.11082500.1g)00001.000832.0(g310)01.032.8(2、两个量相两个量相加加（或相（或相减减）时，应按照各个量中存疑时，应按照各个量中存疑数字所在数位最前的一个数字所在数位最前的一个为准来进行计算。为准来进行计算。30.4+4.325 _ 34.7253、几个量相几个量相乘乘（或（或相相除除）的积（或商），）的积（或商），一般来说其有效数字一般来

38、说其有效数字与和数中有效数字最与和数中有效数字最少的相同。少的相同。1.25017.257632.405304571021.25017.224.734.2、合成不确定度的取舍合成不确定度的取舍、保留两位有效数字（四舍六入五凑偶）、保留两位有效数字（四舍六入五凑偶）AB保留一位有效数字（只进不舍）保留一位有效数字（只进不舍）U3、一个数的一个数的乘方乘方、开方开方的有效数字与该数的有效数的有效数字与该数的有效数字位数相同。字位数相同。4、绝对准确的数字绝对准确的数字在运算中不考虑其有效数字。在运算中不考虑其有效数字。334221krVmvE例例:5.1253.300.200.42例例:46091

39、2.5、计算器计算器定函数位数的简要方法：定函数位数的简要方法：设对某测量值设对某测量值x取一函数（正弦、正切、自然对数、常用取一函数（正弦、正切、自然对数、常用对数等），而对数等），而x有效位数已知，则可通过改变有效位数已知，则可通过改变x的末位数的一的末位数的一个单位，并观察函数值的变化，以决定原来函数值的位数。个单位，并观察函数值的变化，以决定原来函数值的位数。xxsin,620求例：例：34393.0720sin由于34339.0520sin3437.0)(3436596946.0620sin由计算器显示故6、公式中的某些公式中的某些常数常数，运算时只须考虑其它量的有效，运算时只须考虑

40、其它量的有效数字位数。数字位数。例例:2Rs式中式中的取值由的取值由R来决定来决定,若若R为为3位有效数字位有效数字,则在运算则在运算中中应取比应取比R多一位有效数字多一位有效数字,应取应取3.142。7、测量测量结果结果的有效数字表示的有效数字表示（1）测量结果的不确定度，一般只保留一位有效数测量结果的不确定度，一般只保留一位有效数字，其余数字的取舍采用只进不舍的原则。字，其余数字的取舍采用只进不舍的原则。（2）结果的最后一位与不确定度的位数对齐，而舍去结果的最后一位与不确定度的位数对齐，而舍去其它多余的数字。其它多余的数字。cmcmUA2.013.0cmUAAA)2.06.18(cmA56

41、.18例例:cmB512.cmB020.UBUBBcm)1.05.12(有效数字读取及其运算：有效数字读取及其运算：要抓两头放中间要抓两头放中间43例例3 3：用量程为用量程为750mV，满偏，满偏150150格，格，0.5级的指针式电压表测量级的指针式电压表测量某元件两端电压，测得的数据如下某元件两端电压，测得的数据如下,试给出结果。试给出结果。1234567V（格）2.520.548.675.2110.5132.5145.6 解：解：设电压表已校准，已定系统误差为设电压表已校准，已定系统误差为0。单次测量单次测量 0.5级的电压表的最大允差为级的电压表的最大允差为3.75(mV)=0.5%

42、750=insmVU4不确定度不确定度 测量的电压值测量的电压值格测得格数150750mVVV（格）2.520.548.675.2110.5132.5145.6原始读数原始读数有效数运算有效数运算正确结果正确结果错误结果错误结果V（mV）12.5102.5 243.0376.0552.5662.5728.0V（mV）12 102243376552.5662.5728.0V（mV）12 10224337655266272844数据处理：数据处理：将实验中测量得到的实验原始数据，经过将实验中测量得到的实验原始数据，经过科学的加工，得到一定的科学结论的过程。科学的加工，得到一定的科学结论的过程。一、

43、列表法一、列表法记录、处理数据原则：简明、齐全、有条理、原则：简明、齐全、有条理、反映有效数字反映有效数字。P20二二、图示法和图解法、图示法和图解法1、图示法：图示法：用实验中的数据画出实验的图线。用实验中的数据画出实验的图线。特点：形象、直观地表示两个变量之间的关系。特点：形象、直观地表示两个变量之间的关系。对物理规律已确定的，可进行验证；对物理规律已确定的，可进行验证；对物理规律未确定的，可通过图线找出经验公式。对物理规律未确定的，可通过图线找出经验公式。第五节第五节 数据处理的基本方法数据处理的基本方法452.作图的基本步骤：作图的基本步骤：（1）图纸的选择：直角坐标、半对数等）图纸的

44、选择：直角坐标、半对数等 （2）坐标的分度和单位（以直角坐标为例）：）坐标的分度和单位（以直角坐标为例）：自变量自变量横坐标，因变量横坐标，因变量纵坐标；纵坐标；均匀标出坐标分度且能与原数据有效数字相符；均匀标出坐标分度且能与原数据有效数字相符；坐标分度一般为坐标分度一般为1、2、5，不用，不用3、7、9；坐标分度值不一定从坐标分度值不一定从0开始。开始。（5）标写图名。一般在图纸上部附近空旷位置写出简标写图名。一般在图纸上部附近空旷位置写出简洁完整的图名，下部标明班级、姓名和日期。洁完整的图名，下部标明班级、姓名和日期。（3）标点：用）标点：用“+”或或“”标点，在同一图上不同的图标点，在同

45、一图上不同的图线用不同符号区别。线用不同符号区别。（4）连线：无论是曲线还是直线，应光滑（校正曲线）连线：无论是曲线还是直线，应光滑（校正曲线除外）。实验点均匀的分布在线的两侧。除外）。实验点均匀的分布在线的两侧。图线范例图线范例1 1：图名：二极管的伏安特性曲线图名：二极管的伏安特性曲线2.002.001.001.003.003.004.004.005.005.00U（V V）0.40.40.20.20.60.60.80.81.01.01.21.2（A A）I I班级班级:土木土木 04010401作图者：李明作图者：李明日期：日期：20002000年年4 4月月3 3日日0.000.003

46、10校正曲线：将相邻的两数据点之间以直线相连，整个图校正曲线：将相邻的两数据点之间以直线相连，整个图线为一折线。线为一折线。图线范例图线范例2 2：图解法：图解法：根据已经作好的图线，应用解析的方法，求出对应的函根据已经作好的图线，应用解析的方法，求出对应的函数和有关参量。数和有关参量。(1)求直线的斜率和截距求直线的斜率和截距若需实验求出的函数图线为直线方程若需实验求出的函数图线为直线方程 y=bx+a，由实验数由实验数据据 x,y 作出该图线：作出该图线：取直线上靠近两端的两点取直线上靠近两端的两点P1(x1,y1)和和P2(x2,y2)，由此实验数据可得到本，由此实验数据可得到本函数的两

47、个参数函数的两个参数b和和a，其中，其中1221121212xxyxyxxxyyab4、图解法举例图解法举例：49(2)(2)内插法内插法:从曲线上直接读取没有进行测量的对应于某从曲线上直接读取没有进行测量的对应于某 x x 的的y y值值。(3)外推法外推法:在一定条件下也可从曲线延伸部分读取原测量数据范在一定条件下也可从曲线延伸部分读取原测量数据范围以外的量值。围以外的量值。例如，在动力学法测量材料杨氏模量实验中，所检测共振频率例如，在动力学法测量材料杨氏模量实验中，所检测共振频率随悬挂点到节点的距离增大而增大。若要测量试样棒的基频共振随悬挂点到节点的距离增大而增大。若要测量试样棒的基频共

48、振频率，只有将悬丝挂在节点处，而在节点处的振动幅度几乎为零，频率，只有将悬丝挂在节点处，而在节点处的振动幅度几乎为零，很难检测，所以要想测得试样棒的基频共振频率需要采取内插法很难检测，所以要想测得试样棒的基频共振频率需要采取内插法测量。测量。具体地说就是先使用已测数据绘制出曲线，再将曲线按原规具体地说就是先使用已测数据绘制出曲线，再将曲线按原规律延长到待求值范围，在延长线部分求出所要的值。外延法只适律延长到待求值范围，在延长线部分求出所要的值。外延法只适用于在所研究范围内没有突变的情况，否则不能使用。用于在所研究范围内没有突变的情况，否则不能使用。一般在这些范围很难测量，为了求得这个数，采用作

49、图外一般在这些范围很难测量，为了求得这个数，采用作图外推求值的方法。推求值的方法。例：例：（1 1）naxy 式中式中a、n均为未知常数。均为未知常数。将该式两边取对数，将该式两边取对数，axnylglglg将该式两边取对数，将该式两边取对数，Alnxyln1（2 2）xAey均为未知常数。均为未知常数。式中式中,An，由此可得由此可得 为纵坐标作图，即得一直线。由图线为纵坐标作图，即得一直线。由图线ylgxlg以以为横坐标，为横坐标，求得求得 为斜率，截距为为斜率，截距为aklgka10。(4)曲线改成直线曲线改成直线由于直线比较容易精确地绘制由于直线比较容易精确地绘制,因此当实验图线不是直

50、线时因此当实验图线不是直线时,可以通过坐标变换可以通过坐标变换,设法将某些曲线图形变为直线图形设法将某些曲线图形变为直线图形三、逐差法处理数据三、逐差法处理数据 由误差理论可知：算术平均值最接近于真值，因此由误差理论可知：算术平均值最接近于真值，因此实验中应进行多次测量。但是，在下例中多次测量并不实验中应进行多次测量。但是，在下例中多次测量并不能达到好的效果。能达到好的效果。例：例：测量弹簧的劲度系数，将弹簧挂在装有竖直标尺的测量弹簧的劲度系数，将弹簧挂在装有竖直标尺的支架上，先记下弹簧端点在标尺上的读数支架上，先记下弹簧端点在标尺上的读数x0，然而依次，然而依次加上加上1N,2N,7N的力，