第六讲-公理化思想及构成公理化体系的要求课件.ppt
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- 关 键 词:
- 第六 公理化 思想 构成 体系 要求 课件
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1、Euclid(about 325 BC-about 265 BC)v欧几欧几里得里得(Euclid of Alexandria;约约公元前公元前 330 公元前公元前 275)v欧几欧几里得里得的的几几何原何原本本是用公理方法建是用公理方法建立立演绎数学体演绎数学体系的最系的最早典早典范范。公理化方法公理化方法使数学丰富的理论建立在最简单明使数学丰富的理论建立在最简单明了的、不容怀疑的事实基础之上,容易明辨是了的、不容怀疑的事实基础之上,容易明辨是非。比如,几何学的正确性归结于诸如非。比如,几何学的正确性归结于诸如“等量等量加等量,总量仍相等加等量,总量仍相等”等公理体系的正确性。等公理体系的
2、正确性。公理化方法公理化方法也是数学逻辑严密性的一种表现。也是数学逻辑严密性的一种表现。在人类的每一个认识领域,当经验知识积累到在人类的每一个认识领域,当经验知识积累到相当数量时,就需要进行综合、整理,使之条相当数量时,就需要进行综合、整理,使之条理化、系列化,从而形成新的概念理论以更新理化、系列化,从而形成新的概念理论以更新系统,以实现认识从感性阶段到理性阶段的飞系统,以实现认识从感性阶段到理性阶段的飞跃。从理性认识的初级水平发展到高级水平,跃。从理性认识的初级水平发展到高级水平,又表现为抽象程度更高的公理化体系。又表现为抽象程度更高的公理化体系。定定义义公公设设、公理、公理命題定定义义命題
3、定定义义命題命題命題v希希尔尔伯特伯特(David Hilbert;1862 1943)18991899年年发发表著名的表著名的几几何基何基础础一一书书。引入了引入了 20 20 条条公理和公理和 6 6 个个不加不加解释解释的定的定义义,建立起新的建立起新的几几何公理何公理体系体系。v6 个个不加解不加解释释的定的定义义包括:包括:点点、线线、面、面、通通过过、在、在 之之间间、相等、相等 20 条条公理分成公理分成 5 組:組:关联关联公理公理(I.1 8)、)、順序公理順序公理(II.1 4)、)、合同公理合同公理(III.1 5)、)、平行公理平行公理(IV.)、)、联系联系公理公理(
4、V.1 2)希希尔尔伯特伯特同同时时提出提出选择选择公理公理体系体系的原則:的原則:相容性相容性、独独立性立性、完完备备性性v书书中有部分的定中有部分的定义义不清晰,不清晰,阅读后阅读后反而反而令人更迷惘。令人更迷惘。v在在论证过程论证过程之中,之中,欧几欧几里得里得使用了一些使用了一些公理系公理系统统未有提及的假設。未有提及的假設。对对第第 5 公公设设的的怀疑怀疑。第五公设(平行公设)第五公设(平行公设)v第五公设:第五公设:若一直线落在两直线上所构成的同若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角,那么把两直线无限延长,旁内角和小于两直角,那么把两直线无限延长,它们将在同旁内角和小于
5、两直角的一侧相交。它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。v在欧氏几何的所有公设中,唯独这条公设显得在欧氏几何的所有公设中,唯独这条公设显得比较特殊,它的叙述不像其它公设那样简洁、比较特殊,它的叙述不像其它公设那样简洁、明了,当时就有人怀疑它不像是一个公设而更明了,当时就有人怀疑它不像是一个公设而更像是一个定理,并产生了从其它公设和定理推像是一个定理,并产生了从其它公设和定理推出这条公设的想法。欧几里得本人对这条公设出这条公设的想法。欧几里得本人对这条公设似乎也心存犹豫,并竭力推迟它的应用,一直似乎也心存犹豫,并竭力推迟它的应用,一直到卷到卷命题命题29才不得不使用它。才不得不使用它。对第五公
6、设的证明对第五公设的证明v历史上第一个宣称证明了第五公设的是古希历史上第一个宣称证明了第五公设的是古希腊天文学家托勒密(约公元腊天文学家托勒密(约公元150),后来普),后来普洛克鲁斯指出托勒密的洛克鲁斯指出托勒密的“证明证明”无意中假定无意中假定了过直线外一点只能作一条直线与已知直线了过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行。平行。v替代公设:过直线外一点有且只有一条直线替代公设:过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。与已知直线平行。几何原理中的家丑几何原理中的家丑v从公元前从公元前3世纪到世纪到18世纪,证明第五公设的世纪,证明第五公设的努力始终没有中断。但每一种努力始终没有中断。但
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