2020福建省高三数学文科3月底质量检查测试含答案.pdf

1、 文科数学参考答案及评分细则 第 1 页（共 9 页） 2020 年福建省高三毕业班质量检查测试 文科数学参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题 的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的 内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数 的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查

2、基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。 1B 2B 3C 4D 5D 6A 7C 8C 9A 10B 11D 12C 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算。每小题 5 分，满分 20 分。 132 144 1515 16 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17本小题主要考查递推数列、等差数列、数列求和等基础知识，考查推理论证能力、运 算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查逻辑推理、数学运算等核 心素养，体现基础性、综合性满分 12 分 解： （1）因为 +12+1+12+1 2 nnnnnnnnn bbaaa

3、aaaa ， 2 分 由题意知 2+1 22 nnn aaa ，可得 2+1 22 nnn aaa ， 3 分 即 +1 2 nn bb，所以 n b是等差数列 4 分 又 121 4baa， 5 分 所以4+212 +2 n bnn，n N 6 分 （2）由（1）知22 n bn， 当2n时， 121121nnnnn aaaaaaaa ， 8 分 即 1121nn aabbb ， 即24621 n ann n （） 9 分 又当1n 时， 1 2a ，满足（） ，所以+1 n an n，n N 10 分 所以 1111 = 11 n an nnn ， 11 分 文科数学参考答案及评分细则 第

4、 2 页（共 9 页） 所以 12 111 n n S aaa 11111 1 223+1nn = 1 n n 12 分 18本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，三棱锥的体积及 空间点面距离等基础知识； 考查空间想象能力、 推理论证能力； 考查化归与转化思想、 函数与方程思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综 合性满分 12 分 解法一： （1）因为ADBC，90D，3BC ，1ADDC， 依题意得， 1 90ADCD， 1 1DC ， 1 分 因为 1 2 2D B ，所以 222 11 BCDCDB，故 1 90BDC，即 11 CDBD，

5、 3 分 又因为 11 CDAD， 111 ADBDD，所以 1 CD 平面 1 ABD 5 分 又因为 1 CD 平面 1 ACD，所以平面 1 ACD 平面 1 ABD 6 分 （2）因为ADBC，90D，3BC ，1ADDC，所以ABC的面积为 3 2 ， 设 1 D到面ABC的距离h，则三棱锥 1 DABC的体积为 1 13 32 DABC Vh ， 故要使 1 DABC V 取到最大值，需且仅需h取到最大值 7 分 取AC的中点M，连结 1 D M，依题意知 11 1ADDC， 1 90ADC， 所以 1 DMAC， 1 2 2 D M ，且 1 hD M 因为平面 1 ACD平面A

6、BCAC， 1 DMAC， 1 D M 平面 1 ACD， 所以当平面 1 ACD 平面ABC时， 1 D M 平面ABC， 1 D Mh， 故当且仅当平面 1 ACD 平面ABC时， 1 DABC V 取得最大值 8 分 此时 1 1322 3224 DABC V ， 9 分 设B到平面 1 ACD的距离为d，可得 11 11 = 326 DABCB ACD d VVd ， 11 分 故 2 64 d ，解得 3 2 2 d ， 故B到平面 1 ACD的距离为 3 2 2 12 分 文科数学参考答案及评分细则 第 3 页（共 9 页） 解法二： （1）同解法一. （2）因为ADBC，90D，

7、3BC ，1ADDC，所以ABC的面积为 3 2 ， 设 1 D到面ABC的距离h，则三棱锥 1 DABC的体积为 1 13 32 DABC Vh ， 故要使 1 DABC V 取到最大值，须且仅需h取到最大值 7 分 取AC的中点M，连结 1 D M，依题意知 11 1ADDC， 1 90ADC， 所以 1 DMAC， 1 2 2 D M ，且 1 hD M 因为平面 1 ACD平面ABCAC， 1 DMAC， 1 D M 平面 1 ACD， 所以当平面 1 ACD 平面ABC时， 1 D M 平面ABC， 1 D Mh， 故当且仅当平面 1 ACD 平面ABC时， 1 DABC V 取得最

8、大值 8 分 过点B作BNAC，垂足为N, 因为平面 1 ACD 平面ABC，平面 1 ACD平面ABCAC，BN 平面ABC， 所以BN 平面 1 ACD，所以B到平面 1 ACD的距离为BN 9 分 在ACD中，90D，1ADDC，所以2AC ， 10 分 在ABC中， 1 2 ABC SAC BN ，所以 13 2 22 BN， 所以 3 2 2 BN ，即B到平面 1 ACD的距离为 3 2 2 12 分 19.本小题主要考查频率分布直方图、回归分析等基础知识，考查数据处理能力、运算求解 能力、应用意识，考查统计与概率思想，考查数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运 算、数据分析等核心素

9、养，体现综合性、应用性满分 12 分 解： （1）由频率分布直方图可得 2018 年这 50 户家庭人均年纯收入的平均值为 25000.0435000.1245000.3255000.2865000.1675000.08 =5140（元） 6 分 （2）依题意，可得： 123456 3.5 6 x ， 7 分 故 67182 342 66 3.5 x y y x ， 8 分 所以 66 11 662 222 11 ()()6 76027182420 24 14916253663.517.5 ()6 iiii ii ii ii xxyyx yxy b xxxx ， 9 分 文科数学参考答案及评分

10、细则 第 4 页（共 9 页） 34224 3.5258aybx， 所以y关于x的线性回归方程为24258yx 10 分 令13x ，得 2020 年 1 月该家庭人均月纯收入为 13 24 13258570y（元） ， 令24x ，得 2020 年 12 月该家庭人均月纯收入为 24 2424258834y（元） ， 11 分 由题意知，该家庭的人均月纯收入的估计值成等差数列， 所以，2020 年该家庭人均年纯收入的估计值为 (570834) 12 84248000 2 S ， 综上，预测该家庭能在 2020 年实现小康生活. 12 分 20本小题主要考查抛物线的标准方程、圆的几何性质、直线

11、与圆的位置关系、直线与抛 物线的位置关系等基础知识， 考查推理论证能力、 运算求解能力， 考查数形结合思想、 函数与方程思想、特殊与一般思想，考查数学运算，逻辑推理等核心素养，体现综合 性、创新性满分 12 分 解法一： （1）由题意得，,0 2 p F 1 分 依题意，当圆M过F时，因为QA为直径，所以90QFA，即FAx轴 设 11 ,A x y，所以 1 2 p x ，又 2 11 2ypx，解得 1 yp，故不妨设, 2 p Ap ， 2 分 因为 1 4 222 QAF pp SFQFA ，又06p，得 2 2 4 QAF p Sp ， 3 分 由题意得， 2 1 23 4 pp，即

12、 2 8120pp，解得2p 或6p （舍去）. 4 分 故 2 :4C yx. 5 分 （2）设直线: l xa，l被圆M所截得的弦长为t 因为4,0Q，所以点M到: l xa的距离为 1 4 2 x da ， 6 分 又圆M的半径 2 2 11 4 22 xyAQ r ，7 分 根据垂径定理有 2 22 2 t rd ， 8 分 得 2 22 2 11 1 44 242 xyxt a ， 文科数学参考答案及评分细则 第 5 页（共 9 页） 化简得， 222 111 16444txya xa ， 9 分 把 2 11 4yx代入上式得， 22 1 43164tx aaa，其中 1 0x ，

13、 10 分 故当且仅当3a 时，无论 1 x取何值，恒有2 3t 11 分 所以存在直线:3l x 被圆M所截得的弦长恒为2 3 12 分 解法二： （1）同解法一. （2）假设存在满足条件的直线: l xa，因为4,0Q， 取0,0A时，则圆M为 2 2 24xy，直线: l xa被圆M截得的弦长为 2 2 2 22a； 取4,4A时，则圆M为 22 424xy，直线: l xa被圆M截得的弦长为 2 2 2 24a； 则 22 22 2 22=2 24aa，解得3a ， 所以，如果满足条件的直线l存在，只能是:3l x ，且被动圆M截得的弦长为2 3 8 分 下面证明直线:3l x 被动圆

14、M截得的弦长恒为2 3 因为点M到:3l x 的距离为 1 4 3 2 x d 9 分 1 2 2 x ， 圆M的半径 2 2 11 4 22 xyAQ r ， 10 分 又因为 2 11 4yx，所以 2 2 11 11 44416 = 22 xxxx r ， 所以直线:3l x 被动圆M截得的弦长等于 2 2 22111 4162 22=2 3 42 xxx rd 综上，存在直线:3l x 被圆M所截得的弦长恒为2 3 12 分 21本小题主要考查函数的零点、函数的单调性、导数及其应用、不等式等基础知识，考 查推理论证能力、 运算求解能力、 创新意识等， 考查分类与整合思想、 数形结合思想

15、， 考查数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养，体现综合性、应用性与创新性满 文科数学参考答案及评分细则 第 6 页（共 9 页） 分 12 分 解法一：（1）因为2a ， ln2lnf xxaxx， 当 2 0ex时，ln20x ， 3ln+2f xxx， 3 ( )1fx x ， 1 分 当0,3x时， 0fx， f x单调递减；当 2 3,ex时， 0fx ， f x单调递 增；所以当=3x时， f x取得最小值， 所以 3 =3ln3+50f xf. 2 分 当 2 xe时，ln20x ， ln2f xxx， 1 ( )10fx x ， f x单调递增； 所以 22 e=4+e0f x

16、f. 4 分 综上， 0f x ，因此， f x没有零点，即 f x的零点个数为 0 5 分 （2）要证 12 ,3,9x x， 12 2ln3f xf x， 只要证3,9x， maxmin 2ln3f xf x即可 6 分 因为当 3,9x 时， lnln3,ln9xaaa 当2ln9a 时， 3ln +,3,e, ln,e ,9 . a a x xa x f x xxa x 7 分 因为当 3,eax ， =3ln +f xx xa ， 3 =+1 0fx x ， f x单调递增， 当 e ,9 a x ， =ln +f xx xa ， 1 =+10fx x ， f x单调递增， 又 3l

17、neelnee aaaa aa ， 所以 f x在3,9上单调递增， 8 分 所以 min 33ln33f xfa ， max 92ln39f xfa ， 所以 maxmin =ln3+622+ln3f xf xa 9 分 当 ln9a 时， 3lnf xxxa， 3 =+1 0fx x ， f x在3,9上单调递增， 所以 min 33ln33f xfa ， max 96ln39f xfa ， 所以 maxmin =63ln3f xf x 又因为2+ln363ln34ln340， 所以 maxmin =63ln32+ln3f xf x 11 分 因此， 12 ,3,9x x时， 12 2+l

18、n3f xf x. 12 分 文科数学参考答案及评分细则 第 7 页（共 9 页） 解法二：（1）设 2lng xxx，则 2 1gx x 1 分 所以当0,2x时， 0g x， g x单调递减； 当2 +x，时， 0g x， g x单调递增 所以当2x 时， g x取得最小值，所以 2ln220g xg. 3 分 又ln20x，所以 ln22ln0f xxxx， 4 分 因此， f x没有零点，即 f x的零点个数为 0 5 分 （2）要证 12 ,3,9x x， 12 2ln3f xf x， 只要证3,9x， maxmin 2ln3f xf x即可 6 分 因为 ln2lnf xxaxx，

19、 当ln0xa，即eax 时， lnf xxxa， 1 ( )10fx x ， 所以 f x在e , a 上单调递增； 当ln0xa，即0eax时， 3ln+f xxx a， 3 ( )1fx x ， 当3eax，时， 0fx， f x在3ea ，上单调递增； 又当eax 时，3lneelnee aaaa aa ， 所以 f x在3 ，上单调递增 因此 ln2lnf xxaxx在3,9上单调递增， 所以 min 3ln32ln33f xfa， max 9ln92ln99f xfa， maxmin = 2ln3ln362ln3f xf xaa， 8 分 当2ln9a 时， maxmin =2ln

20、3ln362ln3ln3+622+ln3f xf xaaa 9 分 当ln9a时， maxmin =2ln3ln362ln363ln3f xf xaa 又因为2+ln363ln34ln340， 所以 maxmin =63ln32+ln3f xf x 11 分 因此， 12 ,3,9x x时， 12 2+ln3f xf x 12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答。如果多做，则按所做如果多做，则按所做 的第一题计分。的第一题计分。 文科数学参考答案及评分细则 第 8 页（共 9 页） 22选修4 4 ：坐标系

21、与参数方程 本小题主要考查参数方程、极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结 合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，考查直观想象、数学运算等核心素养， 体现基础性、综合性满分 10 分 解： （1）因为 1 C的参数方程为 cos , sin x y （为参数） ， 所以 22 1: 1Cxy 2 分 因为 2 C的极坐标方程为 2 2 12 = 3+sin ，由 222 xy，siny得， 22 2: 1 43 xy C 5 分 （2）如图，设l的倾斜角为，依题意0 2 ， 则P在 1 C中的参数角 2 ，故sin ,cosP， 所以可设l的参数方程 sincos cossin

22、xt yt ， （t为参数） 6 分 把l的参数方程代入 22 1 43 xy ，得 222 sin32 sincoscos90tt， 所以 2 1 2 2 cos9 = sin3 t t 8 分 则 22 1 2 22 cos99cos | | | sin3sin3 PAPBt t ， 又 7 | |= 3 PAPB，所以 2 2 9cos7 = sin33 ，所以 3 sin 2 ， 故 3 ，即直线l的倾斜角为 3 10 分 23选修：不等式选讲 本小题主要考查绝对值不等式、均值不等式等基础知识，考查运算求解能力、推理论 证能力, 考查函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想，考查数

23、学运算、逻 辑推理等核心素养，体现基础性、综合性满分 10 分 解法一： （1）由题意得， 12f xxx ， 当1x时，原不等式可化为1+25xx ，即1x-， 1分 故11x 2 分 当12x时，原不等式可化为1+25xx ，即xR， 45 文科数学参考答案及评分细则 第 9 页（共 9 页） 故12x 3 分 当2x时，原不等式可化为1+25xx ，即x4， 故24x 4 分 综上不等式的解集为1,4 5 分 （2）因为 +2+22f xxaxbxaxbab， 6 分 当且仅当20xaxb时，取到最小值2ab，即22ab 7 分 因为0ab ，故22ab， 2121 abab ， 所以 21121121 22 22 ab ababab 8 分