拉格朗日方程课件.ppt
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- 拉格朗日 方程 课件
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1、 动力学普遍方程动力学普遍方程 拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程拉格朗日方程引引 言言 将达朗伯原理和虚位移原理结合起来推导出将达朗伯原理和虚位移原理结合起来推导出动力学普遍方程和拉格朗日方程。动力学普遍方动力学普遍方程和拉格朗日方程。动力学普遍方程中系统的运动是直角坐标来描述的,而拉格朗程中系统的运动是直角坐标来描述的,而拉格朗日方程是用广义坐标来描述系统的运动,两者都日方程是用广义坐标来描述系统的运动,两者都是用来解决非自由质点系的动力学问题,它是用是用来解决非自由质点系的动力学问题,它是用分析的方法解决动力学问题的出发点,因此它是分析的方法解决动力学问题的出发点,因此它是分析力学的基
2、础。对于解决复杂的非自由质点系分析力学的基础。对于解决复杂的非自由质点系的动力学问题,应用拉格朗日方程往往要比用动的动力学问题,应用拉格朗日方程往往要比用动力学普遍方程简便得多。力学普遍方程简便得多。1.1动 力 学 普 遍 方 程 设由设由n个质点组成的质点系,由达朗伯原理知,个质点组成的质点系,由达朗伯原理知,在质点系运动的任一瞬时,任一质点在质点系运动的任一瞬时,任一质点 上作用的主上作用的主动力动力 ,约束反力,约束反力 及其惯性力及其惯性力 三者构三者构成形式上的平衡力系,即成形式上的平衡力系,即iMiFNiFiiIiamF0IiNiiFFF),2,1(ni 对该质点系应用虚位移原理
3、,为此,取质点系对该质点系应用虚位移原理,为此,取质点系的任何一组虚位移的任何一组虚位移 ,则得,则得),2,1(niri 0)(1niiIiNiirFFF设该质点受的是理想约束,则有设该质点受的是理想约束,则有0iNirF故故0)(1iIiniirFF1.1动 力 学 普 遍 方 程即即0)(1iiiniiramF将上式写成解析式,则有将上式写成解析式,则有0)()()(1niiiiZiiiiyiiiixizzmFyymFxxmF 以上两式是由达朗伯原理和虚位移原理相结合以上两式是由达朗伯原理和虚位移原理相结合而得到的结果,称为而得到的结果,称为动力学普遍方程动力学普遍方程,也称,也称达朗达
4、朗伯伯拉格朗日方程拉格朗日方程。动力学普遍方程可以叙述如。动力学普遍方程可以叙述如下:下:在理想约束条件下,在任一瞬时作用在质点系在理想约束条件下,在任一瞬时作用在质点系上所有的主动力和虚加的惯性力,在该瞬时质点系上所有的主动力和虚加的惯性力,在该瞬时质点系所处位置的任何虚位移上的元功之和等于零所处位置的任何虚位移上的元功之和等于零。1.1动 力 学 普 遍 方 程 例1 图示滑轮系统中,动滑轮上悬挂着重为 的重物,绳子绕过定滑轮后,挂着重为 的重物,设滑轮和绳子的重量不计,求重为 的重物下降的加速度。2Q1Q2Q2Q1Q 解:以系统为研究对象,系统具有理想约束,系统所受的主动力为 、,假想加
5、上惯性力 、。1Q2Q2IF1IF1a2a1IF2IF其中111agQFI222agQFI 给系统以虚位移 和 ,由动力学普遍方程,得1s2s1s2s0)()(11112222sagQQsagQQ由运动学关系2121ss2121aa 代入上式得1.1动 力 学 普 遍 方 程0)41()21(212212sQQgaQQgQQQQa121224)2(202s 例2 有两个半径皆为r的轮子,中心用连杆相连,在倾角为 的斜面上作纯滚动,如图。设轮重皆为P,对轮心的转动惯量皆为J,连杆重量为Q,求连杆运动的加速度。解:以系统为研究对象,系统具有理想约束,系统所受的主动力有它们的重力。假想加上惯性力,如
6、图。PPQaIPIPIQIMIM其中agPPIraJMIagQQI1.1动 力 学 普 遍 方 程PPQaIPIPIQIMIM 给连杆以平行斜面移动的虚位移 ,则轮子有相应的转动虚位移 ,根据动力学普遍方程srss0sin)2(2)2(sQPMsQPIII即0sin)2(2)2(2sQPsarJsQPga0sgJgrQPrQPa2)2(sin)2(221.2拉 格 朗 日 方 程 一、拉格朗日方程一、拉格朗日方程 设有设有n个知点组成的知点系,受完整的理想约束,个知点组成的知点系,受完整的理想约束,具有具有N个自由度,其个自由度,其 位置可由位置可由N个广义坐标个广义坐标 来确定。则有来确定。
7、则有kkkQqTqTdtd)(),2,1(Nk 是广义坐标对是广义坐标对式中式中2121iinivmT为质点系的动能;为质点系的动能;kq 时间的变化率,称为时间的变化率,称为广义速度广义速度;是对应广义坐标是对应广义坐标kQ 的广义力。的广义力。kq这就是这就是拉格朗日方程拉格朗日方程,简称简称拉氏方程拉氏方程。它是由它是由N个二个二阶常微分方程组成的方程组。将此微分方程组积分,阶常微分方程组成的方程组。将此微分方程组积分,就可以得出以就可以得出以广义坐标表示的质点的运动方程。广义坐标表示的质点的运动方程。1.2拉 格 朗 日 方 程 二、保守系统的拉格朗日方程二、保守系统的拉格朗日方程 在
8、上述条件下,如果质点系所受的主动力都是在上述条件下,如果质点系所受的主动力都是有势力,就得到保守系统的拉格朗日方程有势力,就得到保守系统的拉格朗日方程0)(kkqLqLdtd),2,1(Nk 式中式中 为质点系动能和势能之差,称为为质点系动能和势能之差,称为拉格拉格朗日函数。朗日函数。VTL这就是这就是保守系统的拉格朗日方程保守系统的拉格朗日方程。三、应用拉格朗日方程解题的步骤三、应用拉格朗日方程解题的步骤 1、确定研究对象,(一般以整个系统)判断系、确定研究对象,(一般以整个系统)判断系统的自由度数目,选取合适的广义坐标。统的自由度数目,选取合适的广义坐标。2、分析系统的运动,写出用广义坐标
9、及广义速、分析系统的运动,写出用广义坐标及广义速度表示的系统的动能。(速度及角速度均为绝对的)度表示的系统的动能。(速度及角速度均为绝对的)1.2拉 格 朗 日 方 程 3、计算对应每个广义坐标的广义力、计算对应每个广义坐标的广义力 ;当主;当主动力为有势力时,需要写出用广义坐标表示的势能动力为有势力时,需要写出用广义坐标表示的势能及拉格朗日函数及拉格朗日函数 。jQVTL 4、计算诸导数:、计算诸导数:kqTkqTj)(kqTdtd或或kqLkqL)(kqLdtd 5、写出拉格朗日方程并加以整理,得到、写出拉格朗日方程并加以整理,得到N个二个二阶常微分方程。由阶常微分方程。由2 N个初始条件
10、,解得运动方程。个初始条件,解得运动方程。1.2拉 格 朗 日 方 程 例例3 在水平面内运动的行星齿在水平面内运动的行星齿轮机构如图。已知动齿轮半径为轮机构如图。已知动齿轮半径为r,重为重为P,可视为均质圆盘;曲柄,可视为均质圆盘;曲柄OA重重Q,可视为均质杆;定齿轮半径,可视为均质杆;定齿轮半径为为R。今在曲柄上作用一不变的力。今在曲柄上作用一不变的力偶,其矩为偶,其矩为M,使机构运动。求曲,使机构运动。求曲柄的运动方程。柄的运动方程。OMrRA 解:以整个系统为研究对象,系统具有一个自由度,取曲柄转角 为广义坐标。由运动学关系知,动齿轮的角速度 与曲柄的角速度 的关系为rRr 则系统的动
11、能为1.2拉 格 朗 日 方 程OMrRA22222222)(92(121)21(21)(21)(3121RrPQgrgPRrgPRrgQT 给曲柄以虚位移 ,则对应的广义力为MMWQ求诸导数2)(92(61RrPQgT 2)(92(61)(RrPQgTdtd0T1.2拉 格 朗 日 方 程QTTdtd)(由,得MRrPQg 2)(92(61即2)(92(6RrPQMg 积分得曲柄的运动方程为0022)(92(3ttRrPQMg式中,、分别为初始转角和初始角速度。001.2拉 格 朗 日 方 程RRABCk 例例4 如图轮如图轮A的质量为的质量为 ,在水平面上只滚动不,在水平面上只滚动不滑动,
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