高考数学(理科)总复习 112 离散型随机变量及其分布列、均值与方差课件.pptx

1、考点一考点一 离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列考点考点清单清单考向基础考向基础1.离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,xi,xn,X取每一个值xi(i=1,2,n)的概率P(X=xi)=pi,则下表称为随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.Xx1x2x1xnPp1p2p1pn2.离散型随机变量的分布列的性质离散型随机变量的分布列的性质根据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下性质:(1)pi0,i=1,2,n;(2)p1+p2+pi+pn=1;(3)P(xiXxj)=pi+pi+1+pj(ij且i,jN*).【温

2、馨提示】【温馨提示】分布列的性质(2)的作用:可以用来检查所写出的分布列是否有误,还可以求分布列中的某些参数.3.常见的离散型随机变量的概率分布模型常见的离散型随机变量的概率分布模型(1)两点分布若随机变量X的分布列为则称X服从两点分布.(2)超几何分布在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件X=k发生的概率为P(X=k)=(k=0,1,2,m),其中m=minM,n,且nN,MN,n、M、NN*,称分布列CCCkn kMN MnNX01mP0n 0MN MnNCCC1n 1MN MnNC CCmn mMN MnNC CC为超几何分布列.例例1(2018广东深圳南山入学摸

3、底考试,5)一个摊主在一旅游景点设摊,在不透明口袋中装入除颜色外无差别的2个白球和3个红球.游客向摊主付2元进行1次游戏.游戏规则如下:游客从口袋中随机摸出2个小球,若摸出的小球同色,则游客获得3元奖励;若异色,则游客获得1元奖励.则摊主从每次游戏中获得的利润X(单位:元)的期望是()A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5考向一考向一 求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列考向突破考向突破X-11P2535解析解析游客摸出的2个小球同色的概率为=,所以摊主从每次游戏中获得的利润的分布列为222325CCC25因此EX=-1+1=0.2.2535答案答案A例例2某大学志愿者协会有6名

4、男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到希望小学进行支教活动(每名同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列.考向二考向二 超几何分布列的求解超几何分布列的求解解析解析(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)=.所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).P(X=0)=,P(X=1)

5、=.P(X=2)=,P(X=3)=.随机变量X的分布列为12033737310CCCCC49604960346310CCCkk0346310CCC161246310CCC122146310CCC3103046310CCC130考向基础考向基础1.均值与方差的定义均值与方差的定义若离散型随机变量X的分布列为考点二考点二 离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量的均值与方差XX1x2xixnPP1p2pipn(1)均值称EX=x1p1+x2p2+xipi+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.(2)方差称DX=(xi-EX)2pi为随机变量X的方差,它刻画了随

6、机变量X与其均值EX的平均偏离程度,其算术平方根为随机变量X的标准差.1ni2.均值与方差的性质均值与方差的性质(1)E(aX+b)=aE(X)+b.(2)D(aX+b)=a2D(X).(a,b为实数)3.两点分布的均值、方差两点分布的均值、方差若X服从两点分布,则EX=p,DX=p(1-p).例例离散型随机变量的分布列如下表,若E=1,则D的值为.012P0.2ab考向考向 求离散型随机变量的均值与方差求离散型随机变量的均值与方差考向突破考向突破解析解析E=1,结合离散型随机变量的分布列,得解得a=0.6,b=0.2,D=(0-1)20.2+(1-1)20.6+(2-1)20.2=0.4.2

7、1,0.21,abab答案答案0.4方法方法1 离散型随机变量的分布列、期望与方差的求法离散型随机变量的分布列、期望与方差的求法1.求离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列,应按下述三个步骤进行应按下述三个步骤进行方法技巧方法技巧说明说明:求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率,在求解时,要注意计数原理、排列组合及常见概率模型.2.期望与方差的一般计算步骤期望与方差的一般计算步骤(1)理解X的意义,写出X的所有可能取值;(2)求X取各个值的概率,写出分布列;(3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.例例1(2018河南安阳一模,19)某公司为了准确把

8、握市场,做好产品计划,特对某产品做了市场调查:先销售该产品50天,统计发现每天的销售量x分布在50,100)内,且销售量x的分布频率f(x)=(1)求a的值并估计销售量的平均数;(2)若销售量大于或等于70,则称该日畅销,其余为滞销.在畅销日中用分层抽样的方法随机抽取8天,再从这8天中随机抽取3天进行统计,设这3天来自X个组,求随机变量X的分布列及数学期望(将频率视为概率).0.5,1010(1),10,1010(1),.20nnxnnnanxnn为偶数为奇数解题导引解题导引解析解析(1)由题意知解得5n9,n可取5,6,7,8,9,结合f(x)=得+=1,则a=0.15.可知销售量分布在50

9、,60),60,70),70,80),80,90),90,100)内的频率分别是0.1,0.1,0.2,0.3,0.3,销售量的平均数为550.1+650.1+750.2+850.3+950.3=81.(2)销售量分布在70,80),80,90),90,100)内的频率之比为2 3 3,所以1050,10(1)100,nn0.5,1010(1),10,1010(1),20nnxnnnanxnn为偶数为奇数60.51080.510520a720a920a在各组抽取的天数分别为2,3,3.X的所有可能取值为1,2,3,P(X=1)=,P(X=3)=,P(X=2)=1-=.X的分布列为382C256

10、128382 3 3C 1856928128928914X123P128914928数学期望EX=1+2+3=.128914928167方法方法2 利用期望与方差进行决策的方法利用期望与方差进行决策的方法(1)当我们希望实际的平均水平较理想时,则先求随机变量1,2的期望,当E(1)=E(2)时,不应误认为它们一样好,需要用D(1),D(2)来比较这两个随机变量的偏离程度,偏离程度小的更好.(2)当我们希望比较稳定时,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或者接近.(3)当对平均水平或者稳定性没有明确要求时,一般先计算期望,若相等,则由方差来确定哪一个更好;若E(1)与E(2)比较接近,且期望较大者的

11、方差较小,显然该变量更好;若E(1)与E(2)比较接近且方差相差不大,应根据不同选择给出不同的结论,即是选择较理想的平均水平还是选择较稳定.例例2(2016课标,19,12分)某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,

12、n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列;(2)若要求P(Xn)0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?解题导引解题导引(1)(2)由(1)即可求解n的最小值;(3)解析解析(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2.可知X的所有可能取值为16、17、18、19、20、21、22,P(X=16)=0.20.2=0.04;P(X=17)=20.20.4=0.16;P(X=18)=20.20.2+0.40.4=0.

13、24;P(X=19)=20.20.2+20.40.2=0.24;P(X=20)=20.20.4+0.20.2=0.2;P(X=21)=20.20.2=0.08;P(X=22)=0.20.2=0.04.(4分)所以X的分布列为X16171819202122(2)由(1)知P(X18)=0.44,P(X19)=0.68,故n的最小值为19.(8分)(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,EY=192000.68+(19200+500)0.2+(19200+2500)0.08+(19200+3500)0.04=4040.(10分)当n=20时,EY=202000.88+(20200+500)0.08+(20200+2500)0.04=4080.可知当n=19时所需费用的期望值小于n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.(12分)谢谢