高中物理竞赛专题之电磁场综合专题课件.ppt

1、一、电流或运动电荷的磁场一、电流或运动电荷的磁场、运动电荷的磁场、运动电荷的磁场200 4r rr rq qB B 2、电流元的磁场、电流元的磁场2004)(r rr rl lI Id dr rB Bd d 3、稳恒电流的磁场、稳恒电流的磁场 B BB Bd牢记：长直电流、圆电流、长直螺线管、螺绕环、牢记：长直电流、圆电流、长直螺线管、螺绕环、无限大面电流、无限长柱面无限大面电流、无限长柱面/体电流。体电流。二、磁场的基本性质二、磁场的基本性质、磁场的高斯定理与安培环路定理、磁场的高斯定理与安培环路定理0 S SS Sd dB B L LI Il ld dH H2 2、磁场的物质方程、磁场的物

2、质方程M MB BH H 0H HM Mm m H HH HB Br r 0m mr r 13 3、磁场的能量、磁场的能量B BH Hd dV VW WV Vm m 21对密绕线圈对密绕线圈221L LI IW W 4 4、电磁波的能流密度、电磁波的能流密度EHS 三、磁场对电流的作用力三、磁场对电流的作用力、洛仑兹力、洛仑兹力B Bq qf fm m v2、安培力、安培力 B Bl lI IF FF Fdd在均匀磁场中在均匀磁场中B Br rI IB Bl lI IF F 起末起末3、磁力矩（匀场中）、磁力矩（匀场中）B Be eN NI IS SM M n3、磁力（矩）的功、磁力（矩）的功

3、 IA应特别注意霍耳电势的产生机理及其应用应特别注意霍耳电势的产生机理及其应用三、电磁感应规律三、电磁感应规律、变化的电场激发磁场、变化的电场激发磁场 S Si iS Sd dt tD Dl ld dH Hd dj j位位移移电电流流密密度度其其中中 d dj jt tD D、变化的磁场激发感生电场、变化的磁场激发感生电场S Sd dt tB Bl ld dE Es si i d dt tB Bd d 感应电动势感应电动势 1 1、动生电动势：、动生电动势：d dt td dm mi i l ld dB B)(、感生电动势：、感生电动势：l ld dE Ei ii i 、自感电动势：、自感电动

4、势：d dt td dI IL LL L I IL LL L(计算计算)、互感电动势：、互感电动势：dtdtdIdIM MM M 221121I II IM M 稳恒磁场典型问题及示例稳恒磁场典型问题及示例稳恒磁场考题大致可分为以下几种类型稳恒磁场考题大致可分为以下几种类型(1)(1)磁感应强度的计算；磁感应强度的计算；(2)(2)磁场对截流导体的力和力矩的计算；磁场对截流导体的力和力矩的计算；(4)(4)洛仑兹力的计算；洛仑兹力的计算；(5)(5)磁场强度和磁化强度的计算。磁场强度和磁化强度的计算。(3)(3)磁场力的功的计算；磁场力的功的计算；一、磁感应强度的计算一、磁感应强度的计算对于运

5、动点电荷：对于运动点电荷：200 4rrqB 注意矢量叉注意矢量叉积的运算积的运算对于连续带电体：对于连续带电体：方法方法204rrlIdBdBQ0 用毕用毕萨定律萨定律方法方法典型带载流体的磁强典型带载流体的磁强 磁场叠加原理磁场叠加原理熟记长直电流、圆电流、长直螺线管、螺绕环、无熟记长直电流、圆电流、长直螺线管、螺绕环、无限大面电流、无限长柱面限大面电流、无限长柱面/体电流的磁场分布。体电流的磁场分布。内内I Il ld dE EL L0方法方法利用环路定理求特殊对称分布带电体的场强利用环路定理求特殊对称分布带电体的场强例例1 两根长直导线沿半径方向引到铁环上两根长直导线沿半径方向引到铁环

6、上A、B 两点，两点，并与很远的电源相连，如图所示。求：环中心的磁感并与很远的电源相连，如图所示。求：环中心的磁感应强度。应强度。ABIIOABIOIl21l21 BI10dl 40r2=1l1解：解：=I1I2R2R1l2l10=B=B1B2 BI20dl 40r2=2l2I l=I21l21其他几种变化：其他几种变化：AoB0:0 BO处处环环心心IOR 11200RBIOR 11200RB1IIabco200 B12IIoab00 B12abcdoII00 B例例2 半径为半径为R的木球上绕有细导线，所绕线圈很紧密，的木球上绕有细导线，所绕线圈很紧密，相邻的线圈彼此平行地靠着，以单层盖住

7、半个球面，相邻的线圈彼此平行地靠着，以单层盖住半个球面，共有共有N 匝。如图所示。设导线中通有电流匝。如图所示。设导线中通有电流 I。求：在。求：在球心球心O处的磁感应强度。处的磁感应强度。2R解：解：=yRcosqRsinq=xxyxyqdqoRq qNdNd=22Iy2()+0Bd=x23 2y2Nd=q qNdI 0cosq q R22=Bq qNdI 0cosq q R2 0=NI 0R4思考：若变为旋转带电球面（体）呢？思考：若变为旋转带电球面（体）呢？变变1 在一圆锥台的侧面均匀绕有在一圆锥台的侧面均匀绕有N 匝导线匝导线,其中通有电其中通有电流流 I,尺寸如图所示。求锥顶处尺寸如

8、图所示。求锥顶处P 点的磁感应强度。点的磁感应强度。PbbbI解：解：xbadq qPxb2a2()+0Bd=x23 2a2Idq q=axtgb=IdINldcos=bxdq qcos=IdINbxdq q理 学 院 物 理 系 张晚云2 0=xINbxdq q2sin=B2 0 xINbxdq q2sincosbq qcos2bq q=2 0INbq q2sinln2变变2 有一蚊香状的平面有一蚊香状的平面 N 匝线圈，通有电流匝线圈，通有电流 I，每一，每一圈近似为一圆周，其内外半径分别为圈近似为一圆周，其内外半径分别为a 及及 b。求圆心。求圆心处处 P 点的磁感应强度。点的磁感应强度

9、。Pab.解：解：Pab.drrb=dINIdra()b=dINIdrad2Br 0=dI()2r 0=bNIdra()2r 0bNIdraB=ba()2 0bNIa=lnba思考：若将该平面沿直径思考：若将该平面沿直径折成直角呢？折成直角呢？变变3 如图，在均匀磁场如图，在均匀磁场B中有一总匝数为中有一总匝数为N 的均匀密的均匀密绕平面螺旋线圈，其半径由绕平面螺旋线圈，其半径由a 绕至绕至 b，并通有电流并通有电流 I。求线圈平面的磁矩。求线圈平面的磁矩。ab.解：解：oBBPab.drrb=dINIdra()b=dINIdradrrIabNrdIdpm22 mmdpp badrrIabN2

10、)(322babaNI 090sinBpMm)(322babaNIB 思考：若将该平面线圈换思考：若将该平面线圈换成旋转带电圆盘呢？成旋转带电圆盘呢？例例3.3.一半径为一半径为 R R2 2 带电薄圆盘带电薄圆盘,其中半径为其中半径为 R R1 1 的阴影部分均匀带的阴影部分均匀带正电荷正电荷,面电荷密度为面电荷密度为 +,其余部分均匀带负电荷其余部分均匀带负电荷,面电荷密度为面电荷密度为 ,当圆盘以角速度当圆盘以角速度 旋装转时旋装转时,测得圆盘中心点测得圆盘中心点 o o 的磁感应强的磁感应强度为零度为零,问问 R R1 1 与与 R R2 2 满足什么关系？满足什么关系？1R2Ro解：

11、当带电圆盘转动时解：当带电圆盘转动时,可看作无数个圆电流可看作无数个圆电流的磁场在的磁场在 o 点点的迭加的迭加,r rdrdr半径为半径为 r r,宽为宽为 d dr r 的圆电流的圆电流:dI=rdr磁场磁场：dB=0dI/2r=0R/2 10021RdrB 210R )(2121211200 RRRRdrB 122RRBB 则有则有已知：已知：变变1.1.有一闭合回路由半径为有一闭合回路由半径为 a a 和和 b b 的两个同心共面半的两个同心共面半圆连接而成圆连接而成,如图其上均匀分布线密度为如图其上均匀分布线密度为 的电荷的电荷,当回当回路以匀角速度路以匀角速度 绕过绕过 o o 点

12、垂直于回路平面的轴转动时点垂直于回路平面的轴转动时,求圆心求圆心o o 点处的磁感强度的大小点处的磁感强度的大小.解解:令带电的大半圆线圈和小半圆线圈令带电的大半圆线圈和小半圆线圈转动产生的磁感应强度分别为转动产生的磁感应强度分别为B1、B2，oab带电线段带电线段cd转动产生的磁感应强度为转动产生的磁感应强度为B3.B B=B B1 1+B B2 2+B B3 3 21b cdbB2101 40 22a 40 aIB2202 drd 223 bardIB203 abln20 abBln20 变变.如图半径为如图半径为R R 的均匀带电无限长直圆筒，电荷面的均匀带电无限长直圆筒，电荷面密度密度

13、 ，筒以速度，筒以速度 绕其轴转动。求圆筒内部的绕其轴转动。求圆筒内部的 B B。Ri 思路：当成螺线管看待思路：当成螺线管看待LRLRI 22总总 RNILNnIBOO 总总0平平行行轴轴向向右右方方向向:思考：（思考：（1）若变为旋转带电球圆柱体或有一定厚度）若变为旋转带电球圆柱体或有一定厚度的圆柱筒呢？的圆柱筒呢？（2）若变为多层螺线管呢？）若变为多层螺线管呢？(3)若转速随时间变化呢？若转速随时间变化呢？例例4 在半径为在半径为R的长圆柱形导体内与轴线平行地挖去一的长圆柱形导体内与轴线平行地挖去一半径为半径为 r 的圆柱形空腔体的圆柱形空腔体,如图所示。如图所示。电流电流 I 在横截面

14、内在横截面内均匀分布。均匀分布。(1)分别求圆柱轴线上和空心部分轴线上的磁分别求圆柱轴线上和空心部分轴线上的磁感应强度的大小；感应强度的大小；(2)空心处任一点磁感应强度。空心处任一点磁感应强度。aRdrO O.Rdroo 用用补偿法补偿法：小圆柱体通有等量反向电流密度。：小圆柱体通有等量反向电流密度。j j=RI()2r2=Ij jr2=RI()2r2r2设小圆柱体中的电流为设小圆柱体中的电流为故大圆柱体轴线上的磁感应强度大小为故大圆柱体轴线上的磁感应强度大小为2 d=0BR()2r2r2I 0=Ij jd2I=R()2r2d2()0B2=R2r2dI 0 （2）小圆柱体的电流在小圆柱体的电

15、流在O 点的磁感应强度为零，点的磁感应强度为零，所以所以O 的磁场等于大圆柱体电流在该点的的磁场等于大圆柱体电流在该点的磁场。磁场。.Rdroo B(3)(3)空心部分中任一点空心部分中任一点P的磁感应强度的磁感应强度RrdIoBPoo 1r 1B2r2Bx2L1Ioo 2I1LydPB1012rjB 2022rjB 21BBB 102rj 202rj )(2210rrj dj 20 空腔内为垂直于空腔内为垂直于 的均匀磁场：的均匀磁场：d)rR(IdB2202 思考：若有导体棒在空腔内作切割磁力线运动呢？思考：若有导体棒在空腔内作切割磁力线运动呢？练习：如图，沿练习：如图，沿Z轴放置两根相互

16、绝缘的长直非磁性导体，其中轴放置两根相互绝缘的长直非磁性导体，其中的电流分别沿的电流分别沿Z轴的正方向和负方向，电流强度均为轴的正方向和负方向，电流强度均为I，图中画，图中画斜线部分为两导体的正截面，设两圆的半径均为斜线部分为两导体的正截面，设两圆的半径均为R，两圆心的间，两圆心的间距也为距也为R，且每根导体中的电流都只均匀地分布在其自身的正截，且每根导体中的电流都只均匀地分布在其自身的正截面内。试求两根导体之间空白区域内的磁场分布。面内。试求两根导体之间空白区域内的磁场分布。xy【考点二考点二】磁场的分布特点。磁场的分布特点。例例1 证明不存在球对称辐射状磁场：证明不存在球对称辐射状磁场：r

17、rfB)(证：证：选半径为选半径为 r 的球面为高斯面的球面为高斯面 S，由题设有：由题设有：04)(2SrrfSBd 这与这与 矛盾。矛盾。0SSBd 不存在不存在 形式的磁场。形式的磁场。rrfB)(rSBSN0 B.例例2证明不存在突然降到零的磁场。证明不存在突然降到零的磁场。证：证：L选图示的闭合回路选图示的闭合回路 L，应有：应有：内IlBL0d由图示，左边由图示，左边0d lBL但右边：但右边：。内 00I所以不存在这样的磁场。所以不存在这样的磁场。实际情况应有边缘效应。实际情况应有边缘效应。SN边缘边缘效应效应L练习试证明：在没有电流的真空区域，练习试证明：在没有电流的真空区域，

18、磁感应线相互平行的磁场必是均匀磁场。磁感应线相互平行的磁场必是均匀磁场。二、磁场对运动电荷或载流导线的力或力矩二、磁场对运动电荷或载流导线的力或力矩关于洛仑兹力应注意关于洛仑兹力应注意B Bq qf fm m v(1)(1)在均匀磁场中在均匀磁场中B B 匀速圆周运动匀速圆周运动不不垂垂直直与与B B带电粒子作螺旋运带电粒子作螺旋运动动qBmkkTdt2cos q q 带电粒子螺旋运动带电粒子螺旋运动到某指定点的条件到某指定点的条件(1)(1)在非均匀磁场中在非均匀磁场中B B 横向漂移横向漂移不不垂垂直直与与B B螺旋运动螺旋运动+磁约束磁约束例例1 在一个电视显象管的电子束中，电子能量为在

19、一个电视显象管的电子束中，电子能量为E，这个显象管的取向使电子水平地由南向北运动，该处这个显象管的取向使电子水平地由南向北运动，该处地球磁场的垂直分量向下，大小为地球磁场的垂直分量向下，大小为 B。(1)电子束受电子束受地磁场的影响将偏向什么方向？地磁场的影响将偏向什么方向？(2)电子的加速度是电子的加速度是多少？多少？(3)电子束在显象管内在南北方向上通过电子束在显象管内在南北方向上通过y时将时将偏转多远？偏转多远？vB东东南南西西北北fm解：解：(1)电子束向东偏转电子束向东偏转2Emv=(2)BFq=v=anFm=BqvmBRq=vm(3)电子的轨迹为一圆周电子的轨迹为一圆周yxxyxR

20、ovB东东南南西西北北fm西西东东Rx=x=R2R2y112()=R RyR2偏转量为：偏转量为：2=2yR例例2 设电子质量为设电子质量为me，电荷量为，电荷量为e以角速度以角速度绕带正绕带正电的质子作圆周运动，当加上外磁场电的质子作圆周运动，当加上外磁场B(B的方向与电子的方向与电子轨道平面垂直轨道平面垂直)时，设电子轨道半径不变，而角速度则时，设电子轨道半径不变，而角速度则变为变为.证明：电子角速度的变化近似等于证明：电子角速度的变化近似等于=Bme12e证明：设在静电力作用下核作圆周运动的角证明：设在静电力作用下核作圆周运动的角 EFnmra2=mBve=BF=BernF=EFBFnF

21、nmra2=m r2m Berr2=m 加上外磁场后，其角速度为加上外磁场后，其角速度为 速度为速度为r2m Berr2=m()=02 Bem 2()=+与与相差无几相差无几EFBF R)仍在同一平面内。求圆仍在同一平面内。求圆线圈所受的磁力。线圈所受的磁力。RI1I2BAdFdRxy2I dlqqdFd2I0F=y由对称性由对称性cosI 02Rq q1d+()=1B1BFd=2I dl=2Iq qRdcosI 02Rq q1d+()Fd=xFd cosq q=2Iq qRdcosI 02Rq q1d+()cosq q=F=xFFd x=2Iq qRdcosI 02Rq q1d+()cosq

22、 q 20()2II 0R1d22d1d d变变2:若直电流垂直于圆电流所在平面放置且与圆线圈相若直电流垂直于圆电流所在平面放置且与圆线圈相切。求圆线圈所受的磁力矩。切。求圆线圈所受的磁力矩。RI21Ixyl dI21Bq qq qrIB 2101 r所受的磁场力：所受的磁场力：电流元电流元dlI2q q q qsin2sin21021dlrIIdlIBdF 方向垂直线圈平面向外，对方向垂直线圈平面向外，对y轴的力矩轴的力矩dlIIrdFdMq q q q2210sin2sin q q2q qq qRdRddl2)2(q qq q dRIIdM2210sin RIIdRIIdMM2102222

23、1021sin q qq q 其他：求下列电流之间的相互作用：其他：求下列电流之间的相互作用：IIoB例例5如图，一质量为如图，一质量为m的的U形导线，其上段长形导线，其上段长l，处在，处在均匀磁场均匀磁场(B)中，两端浸没在水银槽中。当接通电流脉冲中，两端浸没在水银槽中。当接通电流脉冲时，这导线就会从水银槽中跳起来。试由导线跳起所达时，这导线就会从水银槽中跳起来。试由导线跳起所达到的高度到的高度h 计算电流脉冲的电荷量计算电流脉冲的电荷量qlBHgI理 学 院 物 理 系 张晚云解：解：qBl=Bifldt=dt0t0tBil=dt0tmv0=mv f dt0t由动量原理：由动量原理：v0=

24、0)(qBl=mv上跳过程机械能守衡上跳过程机械能守衡122=mvmghqBl=m2gh2gh=v例例6 如图，在均匀外磁场如图，在均匀外磁场B 中，中，有一边长为有一边长为l、载有电载有电流流I 的正方形线圈，线圈可以绕通过中心的竖直轴的正方形线圈，线圈可以绕通过中心的竖直轴OO转动，其转动惯量为转动，其转动惯量为J。求线圈在平衡位置附近作微小。求线圈在平衡位置附近作微小振动的周期振动的周期T。BIoo解：设磁力矩为解：设磁力矩为M q qMBsin=pm l2Iq qB由转动定律由转动定律:J2dtM=q qd2l2Iq qBJdt=q qd2式中的负号是因为磁力矩和式中的负号是因为磁力矩

25、和q 角符号相反角符号相反0+l2Iq qBJ2dt=q qd20+q q2dt=q qd22 变变1 一罗盘针质量为一罗盘针质量为m、长为、长为l，可视为均匀细棒，并，可视为均匀细棒，并可绕过中点的驱动轴在水平面内自由转动。若已知罗盘可绕过中点的驱动轴在水平面内自由转动。若已知罗盘针的磁矩为针的磁矩为pm,在方向指北、水平分量为在方向指北、水平分量为B的地磁场中的地磁场中相对正北方向作小角摆动，求其摆动频率。相对正北方向作小角摆动，求其摆动频率。pmBqMsinpmq q=BMpmq q=Bd2q qdt2=J+d2q qdt2pmq q=0BJ解：解：=pmBJ1212=pmBml2112

26、=pmBJf练习练习1如图，在绝缘水平桌面上放置一半径为如图，在绝缘水平桌面上放置一半径为r r、质量为、质量为mm的载流圆环，其竖直上方另有一完全相同但通有等大、反向的载流圆环，其竖直上方另有一完全相同但通有等大、反向的电流的圆环，若它们在相距为的电流的圆环，若它们在相距为h h时恰好能使上圆环漂浮不动。时恰好能使上圆环漂浮不动。1)1)、试求此时两圆环中的电流强度大小；、试求此时两圆环中的电流强度大小；2)2)、若使上圆环保持水平，并使其稍稍偏上或偏下，则圆环、若使上圆环保持水平，并使其稍稍偏上或偏下，则圆环将上、下振动，试求振动周期将上、下振动，试求振动周期。hrr三、与磁介质的有关的计

27、算三、与磁介质的有关的计算磁化强度矢量磁化强度矢量)/(VpMm 磁化强度矢量与磁化电流的关系磁化强度矢量与磁化电流的关系nMjmmIMmIl dMabcd磁介质中的磁场磁介质中的磁场 LLmcIIl dB)(0 MBH 0 LcLIl dH例例1 两块不同的磁介质，磁化强度分别为两块不同的磁介质，磁化强度分别为M1和和M2，在，在其边界处由其边界处由M1突变至突变至M2，如图所示，设两介质均为边，如图所示，设两介质均为边长为长为a的立方体。试求磁化面电流的分布及其合磁矩。的立方体。试求磁化面电流的分布及其合磁矩。解：解：(1)1M2MnMi 11Mi 22Mi 1i 2i 1I 2I aMa

28、iI111 aMaiI222 (2)磁化电流的磁矩磁化电流的磁矩21211aMaIpm 22222aMaIpm 21121)(aMMpppmmm 合磁矩：合磁矩：变变1 一均匀磁化的圆盘薄磁片，半径一均匀磁化的圆盘薄磁片，半径R高度高度h，磁化，磁化强度强度M，方向沿，方向沿z轴向上，如图所示，试求圆盘轴线上靠轴向上，如图所示，试求圆盘轴线上靠近圆盘的近圆盘的a、b、c三点的磁感应强度与磁场强度三点的磁感应强度与磁场强度。Mi Mabci 解：解：nMi MhhiI RhRh故磁化电流可等效为圆电流故磁化电流可等效为圆电流方向与方向与M同向同向MRhRIBa2200 由高斯定理得由高斯定理得M

29、RhBBBacb20 MMRhMBHaa )12(0 MRhBHHccb200 思考：若沿盘思考：若沿盘面均匀磁化，面均匀磁化，则结果如何？则结果如何？理 学 院 物 理 系 张晚云变变2 在均匀磁化在均匀磁化(磁化强度为磁化强度为M)的无限大磁介质中的无限大磁介质中,有一有一高为高为h、半径为半径为r(rr故磁化电流可等效为载流长直螺线管故磁化电流可等效为载流长直螺线管MiInB000 空腔中部：空腔中部：方向与方向与M反向反向讨论：讨论：1、该点的总磁感强度、该点的总磁感强度MBBH 00011 MBInBBB00001 2、腔外磁介质中、腔外磁介质中00BBB 100HMBH 思考：若换

30、为球形思考：若换为球形空腔，结果如何？空腔，结果如何？练习练习1 如图所示为截面为任意形状的沿长度方向均匀如图所示为截面为任意形状的沿长度方向均匀磁化的柱形磁棒。在其中垂面上到柱体侧面内外两个磁化的柱形磁棒。在其中垂面上到柱体侧面内外两个无限接近的点无限接近的点1 1与点与点2 2。试证明：。试证明：21)1HH、21)2BB、.12电磁感应和电磁场典型问题及示例电磁感应和电磁场典型问题及示例电磁感应与电磁场考题大致可分为以下几种类型电磁感应与电磁场考题大致可分为以下几种类型(2)(2)动生电动势的计算；动生电动势的计算；(4)(4)自感与互感的计算；自感与互感的计算；(5)(5)磁能的的计算

31、；磁能的的计算；(3)(3)感生电动势与感应电场的计算；感生电动势与感应电场的计算；(6)(6)位移电流的计算与全电流安培环路定理的应用。位移电流的计算与全电流安培环路定理的应用。(1)(1)法拉第电磁感应定律的应用；法拉第电磁感应定律的应用；(1)(1)法拉第电磁感应定律和楞次定律的应用法拉第电磁感应定律和楞次定律的应用例例1 1：如图所示，在水平桌面上平放着长方形线圈：如图所示，在水平桌面上平放着长方形线圈abcdabcd。已知已知abab边长为边长为l1，bcbc边长为边长为l2，线圈电阻为，且，线圈电阻为，且abab边边正好指向北方。现先将线圈以正好指向北方。现先将线圈以abab边为轴

32、翻转过来，测边为轴翻转过来，测得通过导线的总电量为得通过导线的总电量为Q1，然后以，然后以adad段边为轴竖起来，段边为轴竖起来，并测得通过导线的总电量为并测得通过导线的总电量为Q2。试求此线圈所在地区的。试求此线圈所在地区的磁场。磁场。北北南南abcd解：解：RllBRQm2112 2112 llRQB RllBBQ21/2 BBllQQRBBllQQRB/2111/2111/2)2(2)2(B/BB22/BB理 学 院 物 理 系 张晚云变：如图所示，已知变：如图所示，已知R R、I I1 1、I I2 2求求B B北北南南东东西西北北南南东东西西I1I2 例例2 如图，两个共轴的导线回路

33、，小回路在大回路上如图，两个共轴的导线回路，小回路在大回路上面距离面距离y 处处（yR），若），若y 以匀速以匀速v=dy/dt而变化。而变化。（1）试确定穿过小回路的磁通量和）试确定穿过小回路的磁通量和y之间的关系；之间的关系；（2）当）当y=NR 时（时（N为整数），小回路内产生的的感生为整数），小回路内产生的的感生电动势；（电动势；（3）若）若v 0,确定小回确定小回路内感应电流的方向。路内感应电流的方向。Rryo解：解：2BRI20 0+=()R2y2 3 2yR小线圈内的磁场小线圈内的磁场 可视为均匀可视为均匀2RI2 0 y3B0r2=B02RI2 0=y3r2r2=B02RI2

34、0=y3r22RI2 0 y3B0d=dte e2RI2 0=y4r23ddtyRryoo=e e2I 0R2r23N4vy=NRddtyv=将将代入得到：代入得到：及及如何求它们之间的互感系数？如何求它们之间的互感系数？练习练习1 1：如图，：如图，abcdabcd是闭合导体回路，总电阻为，是闭合导体回路，总电阻为，abab段的一部分绕成初始半径为段的一部分绕成初始半径为r0的圆圈。圆圈所在区域的圆圈。圆圈所在区域有与圆圈平面垂直的均匀磁场，回路的有与圆圈平面垂直的均匀磁场，回路的b b端固定，端固定，c c、d d为自由端，而为自由端，而a a端在沿端在沿baba方向的恒力的作用下向右方向

35、的恒力的作用下向右移动，从而使圆圈缓慢缩小。设在圆圈缩小的过程，仍移动，从而使圆圈缓慢缩小。设在圆圈缩小的过程，仍始终保持圆的形状，并不计阻力，试求此圆圈从从初始始终保持圆的形状，并不计阻力，试求此圆圈从从初始大小到完全闭合所需的时间。大小到完全闭合所需的时间。Fabcdro.B(2)(2)动生电动势的计算动生电动势的计算例例1 如图，无限长直导线内通有稳恒电流如图，无限长直导线内通有稳恒电流I，导线，导线AB可可在两平行导线架上无摩擦地平行移动，回路中电源电动在两平行导线架上无摩擦地平行移动，回路中电源电动势为势为,电阻为电阻为R，设，设t=0时，时，AB由静止开始在磁场力由静止开始在磁场力

36、作用下运动，不计回路自感，作用下运动，不计回路自感，试求：试求：AB运动运动的速度与的速度与时间的关系并求其极限速度。时间的关系并求其极限速度。IABabv解：设解：设AB的瞬时速率为的瞬时速率为v Bdll dBABi e ee e)(drrIba 20abIln20 ie ee eRIiie ee e abRIRln20 e e 理 学 院 物 理 系 张晚云Iabv设设AB的瞬时速率为的瞬时速率为vie ee eRIiie ee e abRIRln20 e e AB受到受到的安培力为的安培力为drIrIdlBIFbaibai 20ababRIRIlnln2200 e e abIIiln2

37、0 RabIRabI e e 200ln2ln2 dtdm abIKln20 dtdmRKK e e 2 e e 2KKdmRdt e e 020KKdmRdtt)1(2mRKeK e e abIKln20max eee e 变：如图所示，在匀强磁场区域与垂直的平面（水平面）内有变：如图所示，在匀强磁场区域与垂直的平面（水平面）内有两根足够长的、光滑的、固定的平行金属导轨，在它们上面横放两根足够长的、光滑的、固定的平行金属导轨，在它们上面横放两根长度均为两根长度均为l、质量均为质量均为m、电阻均为、电阻均为的的平行导体棒，构成矩平行导体棒，构成矩形回路。设初始时左导体棒静止，右导体棒有一初速度

38、形回路。设初始时左导体棒静止，右导体棒有一初速度v0。试求：。试求：1)1)、右导体棒向右的速度、右导体棒向右的速度v1与时间与时间t的关系；的关系；2)2)、两导体棒的间距增量的上限。、两导体棒的间距增量的上限。0 B解：解：(1)设设a、b棒棒的瞬时速率为的瞬时速率为ba21 、1 2 IIRBlRI2)(221 e e FFdtdmRlBBIlF121222)(系统动量守恒系统动量守恒210 mmm dtmRlBd2222011 tdtmRlBd0220112210 )1(220122mRtlBe 0 B(2)对对b棒应用牛顿第二定律棒应用牛顿第二定律ba1 2 IIFFdtdmRlBF

39、221222)(222212)(dlBmRdt 2222)(dlBmRxd 两导体棒的间距增量两导体棒的间距增量x a、b棒相对静止时，两棒间距最大，由系统动量守恒棒相对静止时，两棒间距最大，由系统动量守恒emm 20 2/0 e edlBmRx 02222例例2 2：如图，一半径为、厚度为（：如图，一半径为、厚度为（R,如图所示如图所示.已知磁感应强度随时间的减少率为已知磁感应强度随时间的减少率为 dB/dt ,求求长直导线的感应电势长直导线的感应电势,并讨论其方向并讨论其方向.BRaoBRao 涡涡E解：如图所示，选取过轴线而平行给定的无限长直导线的一条解：如图所示，选取过轴线而平行给定的

40、无限长直导线的一条无限长直导线，与给定的无限长直导线构成闭合回路（在无限无限长直导线，与给定的无限长直导线构成闭合回路（在无限远闭合）。在过轴线的无限长直导线上，因远闭合）。在过轴线的无限长直导线上，因E处处与之垂直，处处与之垂直，故其电动势为零又因在无限远处故其电动势为零又因在无限远处E=0，故此回路中的电动，故此回路中的电动势就是给定的无限长直导线中电动势势就是给定的无限长直导线中电动势 e dtdmi e e dtdBR221 0e e变变1.如图，磁场在增大，边长为如图，磁场在增大，边长为l 的正方形导体回路的正方形导体回路oabc。求：求：1）回路各边的感应电动势；）回路各边的感应电

41、动势；2）回路内有静电场吗？）回路内有静电场吗？若有哪点（若有哪点（c与与a）电势高。）电势高。解：解：1）iEoa iEoc 0 ocoae ee e根据对称性：根据对称性：bcabe ee e iEacbol diEdtdBS dtdBl2 dtdi e e 总总221ldtdBbcab e ee e理 学 院 物 理 系 张晚云3）有静电场！在哪里。）有静电场！在哪里。oabce eab=e ebc会使正电荷在会使正电荷在c点聚集，而点聚集，而a点有负电荷积累点有负电荷积累0 ocoae ee eacbo等效电路等效电路acUU 或或:Uaoc=Ua Uc=0 IiRi0。取半径为取半径

42、为r,厚度为厚度为dr的圆筒的圆筒,其电动势其电动势dtddi e e 2rBdtd .2dtdBr 其上电阻为：其上电阻为：drhrR 2RddIiie e rhdrdtdBr 22 drdtdBhr 2 iidIIBh总电流：总电流：.412dtdBha 产生的热功率：产生的热功率：dPP 2idIR2481 dtdBha若为方块若为方块状金属呢状金属呢例例3 3：如图所示，在一个半径为：如图所示，在一个半径为、质量为、质量为m、可以无摩擦地自、可以无摩擦地自由转动的匀质绝缘圆盘中部装有一细长螺线管，其半径为由转动的匀质绝缘圆盘中部装有一细长螺线管，其半径为r，沿，沿轴线方向单位长度上绕有

43、轴线方向单位长度上绕有n匝线圈。在圆盘的边缘上均匀地嵌着匝线圈。在圆盘的边缘上均匀地嵌着个带等量正电荷个带等量正电荷q的小球。设开始时，螺线管中的电流为的小球。设开始时，螺线管中的电流为，圆盘静止，然后将电流切断。试求圆盘转动的角速度。圆盘静止，然后将电流切断。试求圆盘转动的角速度。.i解：切断电源瞬间解：切断电源瞬间i=i(t)管外半径为处管外半径为处dttdiRnrEi)(220 r此圆周上此圆周上N个带电小球所受的总切向力为个带电小球所受的总切向力为dttdiNqRnrNqEFi)(220 对转轴的力矩为对转轴的力矩为dtdiNqnrRFM220 由角动量定理由角动量定理 ILMdt I

44、diNqnrI 0202NqmRnr220 练练1 一电子在电子感应加速器中沿半径为一电子在电子感应加速器中沿半径为R的轨道上的轨道上作圆周运动，如它每转一周动能增加作圆周运动，如它每转一周动能增加Ek,试计算电试计算电子轨道内磁通量的平均变化率。子轨道内磁通量的平均变化率。解：解：.E dl=B2ddtrB22=ErddtrB2=Erddt=eEEk2 r.=Ek2 reE=Eke2rBddt2=Er2=rEk2 re理 学 院 物 理 系 张晚云练习：如图所示，一圆形区域内存在垂直于水平面向上且随练习：如图所示，一圆形区域内存在垂直于水平面向上且随时间变化的匀强磁场。在磁场区域内沿时间变化

45、的匀强磁场。在磁场区域内沿x轴方向并关于轴方向并关于y轴对轴对称地水平放置一内壁光滑的绝缘细空心管，并在此称地水平放置一内壁光滑的绝缘细空心管，并在此管中管中放放一质量为一质量为mm，电量为，电量为q(q0)q(q0)的光滑小珠。设初始时小球静的光滑小珠。设初始时小球静止于管一端，并设此时小球与圆心连线与止于管一端，并设此时小球与圆心连线与y y轴正向夹角为轴正向夹角为 0 0。当磁场按当磁场按规律变化时，小球刚好能在间以为中心作简谐振动。规律变化时，小球刚好能在间以为中心作简谐振动。试求此振动的圆频率。试求此振动的圆频率。均为正的常量）,(sin00BtBB 0qB.d()自感、互感及磁场能

46、量的计算自感、互感及磁场能量的计算 例例1.一矩形金属线框，边长为一矩形金属线框，边长为a、b(b足够长足够长)，线框质量为，线框质量为m,自感系数为自感系数为L,电阻忽略，线框以初速度电阻忽略，线框以初速度v0 沿沿x轴方向从磁场外进轴方向从磁场外进入磁感应强度为入磁感应强度为B0 的均匀磁场中，的均匀磁场中，求求:矩形线圈在磁场内的速矩形线圈在磁场内的速 度与时间的关系式度与时间的关系式 和沿和沿 x 轴方向移动的距离与时间的关系式轴方向移动的距离与时间的关系式。o0B x解法一解法一：线圈的一部分进入：线圈的一部分进入 磁场后，线圈内有磁场后，线圈内有 e e动，动，e e自自。abo

47、)1(00 dtdILaB)2(0aIBdtdm 0222 dtdmLaB2202 )cos(tA0;0;,0 ooAdtdt时时t to ocos t tx xo osin 解法二：解法二：2220212121LImm 0 dtdILIdtdm (1)0 aBdtdIL 又又)2(00 IaIaB Bdtdtd dm mo0B xabo 0222 dtdmLaB2202 练：如图，在光滑水平面上，有边长为练：如图，在光滑水平面上，有边长为l=0.8m的正方形导线的正方形导线框，其质量框，其质量m=0.1kg，自感，自感L=0.003V s/A，电阻不计。在电阻不计。在t=0时，线框右侧时，线

48、框右侧bc边所在位置刚好是一宽度为边所在位置刚好是一宽度为s=0.2m，B=0.5T方向向为垂直水平面向下的匀强磁场的边界。若以初方向向为垂直水平面向下的匀强磁场的边界。若以初始时始时bc边作为坐标原点，水平向右为边作为坐标原点，水平向右为x轴正向。导线以沿轴正向。导线以沿x轴正轴正向的初速向的初速v0进入磁场区域。忽略空气阻力。进入磁场区域。忽略空气阻力。1)1)、设、设v0=4m/s，试求时，试求时，bc边所在的位置；边所在的位置；2)2)、设试求时，、设试求时，bc边所在的位置；边所在的位置；st36 st36 s3160 .OBslbcx例例2：如图所示，两半径均为：如图所示，两半径均

49、为a的长直圆柱形导线平行放置，两的长直圆柱形导线平行放置，两导线中心轴线之间的距离为导线中心轴线之间的距离为d(da)，在两导线中有电流强度，在两导线中有电流强度均为均为I的反向恒定电流。试求：的反向恒定电流。试求：1)1)、两导线之间单位长度的自感系数；、两导线之间单位长度的自感系数；2)2)、若将两导线保持平行地缓慢分开到相距为、若将两导线保持平行地缓慢分开到相距为d，试求磁场对，试求磁场对单位长度导线所所作的功；单位长度导线所所作的功；3)3)、试问移动后两导线单位长度的、试问移动后两导线单位长度的 自感磁能改变了多少。自感磁能改变了多少。是增加还是减少？是增加还是减少？adII解：解：

50、(1)单位长度上的磁通量：单位长度上的磁通量：sdB a ad da ao od dr rr rI I22aadIo ln IL aado ln adoln ad dIIrdrdIId(2)单位长度受力单位长度受力rIIIlBF 20.0ln222020 ddIdrrIrdFAddddF222121LIILWWWdd adadIlnln2102ddI ln220 0(3)能量从何而来！能量从何而来！0ln220 ddIWA 磁力磁力dtdL e e 导线移动时，会产生感应电动势导线移动时，会产生感应电动势e ei i。而要维持。而要维持I I不不变，电源力必须克服变，电源力必须克服e eL L