矢量场和梯度算子课件.ppt

1、2022-11-241矢量、矢量场和梯度算子2022-11-24什么是矢量？2坐标变换yxABPO,xOABPyOBAP坐标系 Oxyz 任一点 P 的坐标：,xODyOE坐标系 Oxyz 任一点 P 的坐标：EyxCDcossincossinOCOEECOAAPODOFDFOBBP cossinsincosxxyyxyzz cos cos2cos2cosxyxy坐标变换坐标变换2022-11-24什么是矢量？3标量与矢量的定义定义：如果某个量在任一坐标系中仅需一个数（分量）描述，并且在坐标变换下其分量是不变的，则称其为标量标量推论：如果 a 和 b 是两个标量，则 a+b 和 ab 也都是标

2、量。cossinsincosxxyyxyzzAAAAAAAA 例子：质量m、电荷q、温度、Newton时间t，etc.定义：如果某个量在任一坐标系中需三个数（分量）描述，并且在坐标变换下其分量与坐标的变换规律一样，则称其为矢量矢量。即推论：位矢是一个矢量矢量的表示:xyzAAAAxryz2022-11-24矢量运算4标量与矢量运算如何由给定的标量和矢量得到新的标量和矢量。设 a、b为标量，推论:位移、速度、加速度、动量等物理量是矢量21,drdrrrvravrpmvdt其分量定义为,xxyyzzAB ABABaAbB矢量的线性组合仍然是矢量力为矢量是一个物理的假设，而不是数学的推论为矢量。AB

3、、1.数乘：ABaA,xyzaA aA aA其分量定义为2.矢量和：2022-11-24矢量运算5标量与矢量运算(续)推论：动能3.标量积：xxyyzzA BA BA BA BB A矢量的长度：222xyzAAA AAAA 证明：cossincossinsincossincosxxyyzzxyxyxyxyzzxxyyzzA BA BA BA BAABBAABBA BA BA BA BA B /如果对于任意矢量212Tmv、功是标量F dr是一个标量，则,xxyyzzAA BA BA B必是某个矢量 的分量。,xyzBBBB2022-11-24矢量运算6标量与矢量运算(续)4.矢量积：,yzzy

4、xyzxxzxyyxzA BA BCCABCA BA BA BA BC证明：sincossincossincossincoscossinxyzzyxyzzxyxzyzzxzyxyCA BA BAABABBA BA BA BA BCC 推论：角动量Lrp、力矩是（赝）矢量。rFABBA 2022-11-24矢量运算7标量与矢量运算(续)标量积的几何意义：cosA BAB 证明：yx,0 xyBB BO,0,0AAcosxxyyzzxxA BA BA BA BA BAB 0000yzzyxyzxxzxyyxyyxzA BA BCCA BA BA BABA BA BC,CAB矢量积的几何意义：大小为

5、 ，即两个矢量张成的平行四边形的面积，方向满足右手法则。为两个矢量之间的夹角：0sinAB2022-11-24矢量运算8单位基矢l 单位基矢：l“完整”的矢量指定了坐标系并且给出了矢量分量的含义,xAA x突出了矢量是坐标变换下得不变量yx x yyxO x y ,satisfying 1,0,and,x y zx xx yxyzl 单位基矢的变换：cossinsincosxxyyxyzz xyzAA xA yA zxyzxyzAA xA yA zA xA yA z 2022-11-24矢量运算9矢量的混合积 and ABABABCABCABCABABC的大小为三个矢量所张成的平行六面体的体积

6、，正负取决于这三个矢量是否满足右手法则确定。ABCBCACABABCBCACAB ABCA C BB C ACABC B AC A B 1xyz2022-11-24什么是场？10标量场及其几何表示标量场：标量在空间的分布，对于空间任一点都指定或者赋 予某个唯一的标量（数）代数表示：函数 r几何表示：等值面、等值线 const.r-q+q-q+3q-q+q-q+q-q+q-q+q2022-11-24什么是场？11矢量及其几何表示矢量场：矢量在空间的分布，对于空间任一点都指定或者赋予某个唯一的矢量代数表示：函数 A r几何表示：箭头、场线drAdt,A x yyxxy,B x yxxyyr2222

7、2,sincosA x yyxxyxctdx dtyd xdyxxycdy dtxdtdtyct 2022-11-24梯度算子12场在空间某个方向上的变化率在每一点处的数值都满足矢量分量的变换规律 ,xyzxyzxyzdrdx dy dzn dt n dt n dtn n ndtndtdrdrrdxdydzxyznnndtxyzxyzdnnndtxyzn,xyz在 方向上的变化率 方向导数 n2022-11-24梯度算子13场在空间某个方向上的变化率(续)是一个矢量场的三个分量,xyz cossinsincosxxyyxyzz cossinsincosxxyyxyzz 梯度算子,or xyzx

8、yzxyz nn 在 方向上的方向导数 nxx 2022-11-24梯度算子14梯度算子梯度算子是一个矢量算子 or or or AAAAgrad div curlyxzxyzxyzAAAAxyzA 标量场梯度是一个矢量场：矢量场散度是一个标量场：矢量场旋度是一个矢量场：梯度算子是一个矢量微分算符：作为矢量，满足通常矢量点乘和叉乘运算法则作为矢量，满足通常矢量点乘和叉乘运算法则作为算符，需作用于表达式中的所有对象作为算符，需作用于表达式中的所有对象,zyxAAAyz2022-11-24梯度算子15与位置有关的矢量微分公式证明：证明：,3,0rrrrrr 30,xrrrxyzrrxyzxyzxy

9、zrrrrxyzrxyzrzyyz 2222222,2rxyzxxxxrxyz2022-11-24梯度算子16与梯度算子有关的一些矢量恒等式 drrdrAAAAAA ABABBAABBAA BB AAB 2022-11-24梯度算子17关于梯度算子恒等式的符号法证明例例:用符号法证明用符号法证明证(1)视视 为为“算符算符”，分别作用，分别作用 和和（加上下标以示区别），得两项：（加上下标以示区别），得两项：,(2)视视 矢和矢和 为为“矢量矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：(3)代回原式并舍去矢量算符的下标得代回原式并舍去矢量算符的下标

10、得 证毕证毕2022-11-24梯度算子18梯度算子补例补例:用符号法证明用符号法证明证(1)视视 为为“算符算符”，分别作用，分别作用 和和 （加上下标以示区别），得两项：（加上下标以示区别），得两项：(2)视视 矢和矢和 A 为为“矢量矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：(3)代回原式并舍去矢量算符的下标得代回原式并舍去矢量算符的下标得证毕证毕AAA AAAAA AAAAAAA AAA 0r rrr 2022-11-24梯度算子19梯度算子补例补例:用符号法证明用符号法证明证(1)视视 为为“算符算符”，分别作用，分别作用 A 和和 B

11、（加上下标以示区别），得两项：（加上下标以示区别），得两项：(2)视视 A 矢和矢和 B 为为“矢量矢量”，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：(3)代回原式并舍去矢量算符的下标得代回原式并舍去矢量算符的下标得证毕证毕ABABABAB ABABBA AABBBBABABABABABAB ABABBA 2022-11-24梯度算子20梯度算子补例补例:用符号法证明用符号法证明证(1)视视 为为“算符算符”，分别作用，分别作用 A 和和 B（加上下标以示区别），得两项：（加上下标以示区别），得两项：(2)视视 A 矢和矢和 B 为为“矢量矢量”，遵循矢

12、量运算规则，将其置于作用对象前方：，遵循矢量运算规则，将其置于作用对象前方：(3)代回原式并舍去矢量算符的下标得代回原式并舍去矢量算符的下标得证毕证毕ABBAA BB AAB ABABABAB AAAAABBBBBABB AA BBAA BABB AA BB AAB ABBAA BB AAB 2022-11-24梯度算子21场随空间的二阶变化A标量场梯度 是矢量场：矢量场散度 是标量场：AA 矢量场旋度 是矢量场：and AA and 222222222222xxyyzzxyzxyz Laplace(标量)算符2222222xyz 2 2A是一个矢量场，其分量为22xxAA 2022-11-24梯度算子22场随空间的二阶变化0 xyxyyxyxx 0AA AAA 矢量场的旋度是无源（散）场：标量场的梯度是无旋场：0A 0 A标量场梯度 是矢量场：矢量场散度 是标量场：AA 矢量场旋度 是矢量场：and AA and