场论与张量运算简介解读课件.ppt
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- 场论 张量 运算 简介 解读 课件
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1、第3章 场论与张量运算简介何险峰2007年9月传递过程原理 1本章内容1.流体力学基本概念2.一点的应力状态应力张量3.场论4.二阶张量运算5.流体力学本构方程6.小结2流体力学基本概念连续介质假设和微团 真实流体所占有的空间可近似看作是由“流体质点”连续地无空隙地充满着的。1.空间尺度(microscope,mesoscope,macroscope)2.时间尺度(飞秒、皮秒、纳秒、微秒、毫秒、秒)3流体力学基本概念拉格朗日方法),(tzyxrr 着眼点:寻求质点位置变化规律ttzyx),(rv22),(ttzyxtrvva4流体力学基本概念欧拉方法),(trvv 着眼点:寻求空间中每个点上描
2、述流体运动随时间的变化状态5流体力学基本概念泰勒展开(Taylor Series).dd)(!31dd)(!21dd)(!11)()(33302220000 xfxxxfxxxfxxxfxfxx一维:),()()()(!1)()()(!11),(),(0000002),(000000000zyxfzzzyyyxxxjzfzzyfyyxfxxzyxfzyxfjjzyx三维:6流体力学基本概念欧拉方法表达加速度ttMttMtt),(),(ddlim0vvvv 泰勒展开:ttMtMttMttMttt),(),(),(),(ddlimlim00vvvvvtvztvytvxtMMMttvMtvMtvMt
3、Mzyxzyxzzyyxxvvvvvv),(),(),(vvvvvvvvva)(ddttvzvyvxttzyx7流体力学基本概念流体速度分解定律速度类型1.平移速度2.旋转速度3.变形速度例子:A.速度均匀的平移流动B.平行剪流C.简单的环形流动D.流线是圆形的无旋流动8流体力学基本概念流体速度分解定律刚体运动rvv0v2rot rvvvrot210旋度:rotv:角速度平移速度:0v9流体力学基本概念流体速度分解定律旋度旋度几何意义:设想一向量场,每一点都有一个向量,则在有旋度的点处周围很小的空间里,会有向量绕成一个闭合的平面旋涡状,像水的旋涡,这一点的很小的一个空间里的平均的向量旋转角速度
4、称为旋度。旋度物理意义:刚体旋转时的2倍旋转角速度 10流体力学基本概念流体速度分解定律rSrvvvrot210S:变形速度张量11流体力学基本概念涡量=rot v12流体力学基本概念体力 单位体积流体上受到的力g面力 流体单位面积上受到的力与面有关,张量描述13一点的应力状态应力张量张量的物理概念(Tensor)1.是矢量2.是面力,与作用面有关标量、矢量、n 阶张量的关系14一点的应力状态应力张量压力张量1.面力2.各向同性pEppp000000npppnpnpnnnnpppzyxzyxn00000015一点的应力状态应力张量剪应力张量zzyzxzyzyyxyxzxyxxzzzyzxyzy
5、yyxxzxyxxxy:剪应力的 y 分量作用于 x 面上的力16场论定义:设在空间中的某个区域内定义标量函数或矢量函数,则称定义在此空间内的函数为场17场论场的分类标量场(温度场、密度场)矢量场(力场、电磁场、速度场)均匀场不均匀场定态场(不随时间改变)非定态场无源场(管式场)散度为零无旋场(势场)旋度为零18场论标量、矢量和张量表示s=标量(不加黑的斜体字母)v=矢量(加黑的斜体字母)=张量(加黑的希腊字母)19矢量的定义矢量定义:具有一定的量值和方向的量矢量相等:量值相等、方向相同(可以是非共线、非同一作用原点)vv20矢量加减法矢量加减法交换率 v+w=w+v结合率 (v+w)+u=v
6、+(w+u)21矢量乘法矢量和标量矢量和标量的乘法交换率(OK):sv=vs结合率(OK):r(s v)=(r s)v 分配率(OK):(q+r+s)v=q v+r v+s v 22矢量乘法点乘两个矢量标量积(点乘、点积)vwvwcos)(wv交换率(OK):u v=v u结合率(NA):(u v)w u(w v)分配率(OK):u v+w=u v+u wv v=?几何意义?23矢量乘法叉乘两个矢量矢量积(叉乘、叉积)vwvwvwnwvsin交换率(NA):结合率(NA):分配率(OK):vwwvwvuwvuwvvuwvu?vv几何意义?24张量乘的阶数计算张量乘的阶数乘法符号结果的阶数例子无
7、v,vwx-1vw,uvuw.-2v w,uv wv:-4uv:wv标量0阶张量;矢量 1阶张量;张量本课通指2阶张量25标量、矢量和张量乘结果的表示标量、矢量和张量乘结果的表示括号类型结果类型例子()标量(v w)矢量vw张量 uv+wv 26以分量表示的矢量运算克罗内克符号(Kronecker Delta)符号ijjijiij01交错单位张量 ijkothers0213,132,3211312,231,1231ijkijkijk)()(21ikkjjiijk27ij 和 ijk 的关系ij和ijk的关系ihjkhjkijk23131三阶行列式 的分量表示法jminjnimkmnkijk31
8、313131321333231232221131211ijkkjiijkaaaaaaaaaaaa28单位矢量的点乘右手坐标ijji)(单位矢量的点乘0)2/cos(11)()()(3231211)0cos(11)()()(33221129单位矢量的叉乘单位矢量叉乘kkijkji313321)2/sin(11)(1132)2/sin(11)(2213)2/sin(11)(32112)()(13223)()(21331)()(30矢量以分量方式展开矢量以分量展开31332211iiivvvvv312232221iivvvvvv矢量的量值31以分量表示的矢量运算矢量加减法矢量的点乘矢量的叉乘iiii
9、iiiiiiwvwv)(wviiiijjiijwvwvwv)(ijkkjiijkjkkjkjkkkjjjwvwvwvwv321321321wwwvvv32多重矢量的乘法例1ijkkjiijkiijkikjiijkiiiiwvuwvuu)(wvwvu321321321wwwvvvuuu几何意义:计算u,v,w 组成平行六面体的体积33多重矢量的乘法例2jjjijjjijlljjlijmmjjmijlmmljjlimjmiljklmmljlmkijkjkklmkmlkklmjijkjkkjijkivuwwuvvuwwuvwvuwvuwvuu)(wvwvu)()(vuwwuvwvu34矢量的微分运算
10、哈密尔顿(Hamilton)算符(nabla/del)iiixxxx332211直角坐标系中的表达35标量场的梯度(gradient)iiixsxsxsxss332211定义:又称为:grad s36矢量场的散度(divergence)iiiijijijijijjijjjiiixvvxvxvx)()()()(v定义:又记为:div v)(v37矢量场的旋度(rotation)(vijkkjiijkjkjkkjkkkjjjvxvxvxv)()()()(定义:又记为:rot v 或者 curl v321321321vvvxxx38标量场的Laplace算符)(s定义:称为Laplace算子iiij
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