（定稿）福州市2020届高中毕业班期末质量检测参考答案（理科数学）.docx

1、理科数学参考答案及评分细则（第 1 页 共 11 页） 20192020 学年度第一学期福州市高三期末质量检测 数学（理科）参考答案及评分细则 评分说明： 1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试 题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分 数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4只给整数分数。除第 16 题外，选择题和填空题

2、不给中间分。 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1B 2D 3C 4A 5D 6B 7C 8C 9A 10B 11B 12A 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分把答案填在题中的横线上分把答案填在题中的横线上 13 2 e2 143 15 8 3 16 2 6 ；8 6 729 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，共小题，共 70 分解答应写出文字

3、说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要题为选考题，考生根据要 求作答求作答 17 【命题意图】本题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，任意三角形的面积， 考查学生的逻辑推理能力与数学运算能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运 理科数学参考答案及评分细则（第 2 页 共 11 页） 算. 【解析】解法一： （1）在ABC中，由正弦定理及题设得 sinsin ACBC BA ，故 17 sinsin150B ， 3 分 解得 1 sin

4、 2 7 B ， 4 分 又030B，所以 3 33 21 cos 142 7 B . 6 分 （2）设ADCDx，则2BDx 在ABC中，由余弦定理得， 222 2cosBCABACAB ACA， 即 2 7916 cosxxA ， 7 分 在等腰ACD中，有 1 1 2 cos 2 AC A ADx ， 8 分 联立，解得1x 或1x （舍去） 9 分 所以ACD为等边三角形，所以60A ， 11 分 所以 113 3 sin3 1 sin60 224 ABC SABACA 12 分 解法二： （1）同解法一 6 分 （2）设ADx，则,2 ,CDx BDx 因为ADCBDC ， 所以BD

5、CADCcoscos， 7 分 由余弦定理得， 得 222 22 4721 42 xxx xx ， 8 分 理科数学参考答案及评分细则（第 3 页 共 11 页） 所以 2 1x ，解得1x 或1x （舍去） 9 分 所以ACD为等边三角形，所以60A ， 11 分 所以 113 3 sin3 1 sin60 224 ABC SABACA 12 分 18.【命题意图】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、性质，错位相减法求和,考查 学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问题的能力.考查的核心素 养是逻辑推理与数学运算. 【解答】(1)依题意得: 2 32 4 bb b， 所以

6、 2 111 (6)(2)(14)aaa ， 1 分 所以 22 1111 12361628,aaaa 解得 1 2.a 2 分 2 . n an 3 分 设等比数列 n b的公比为q，所以 34 22 8 2, 4 ba q ba 4 分 又 2 22 4,4 22 . nn n bab 5 分 (2)由（1）知，2 ,2 . n nn an b 因为 1112 121 2n nn nn cccc aaaa 当2n时, 112 121 2n n n ccc aaa 6 分 由得，2n n n c a ,即 1 2n n cn , 7 分 又当1n 时， 3 11 2 2cab不满足上式, 1

7、 8,1, 2,2. nn n c nn 8 分 数列 n c的前 2020 项的和 342021 2020 82 23 22020 2S 理科数学参考答案及评分细则（第 4 页 共 11 页） 2342021 4 1 22 23 22020 2 9 分 设 23420202021 2020 1 22 23 22019 22020 2T ， 则 34520212022 2020 21 22 23 22019 22020 2T ， 由得： 23420212022 2020 22222020 2T 10 分 22020 2022 2 (12) 20202 12 2022 420192 11 分 所

8、以 2022 2020 2019 24T, 所以 2020 S 2022 2020 42019 28T. 12 分 19.【命题意图】本题考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直的证明，二面 角等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力和空间想象能力.考查的核心素养 是直观想象、逻辑推理与数学运算. 【解析】解法一： （1）因为PA底面ABCD，BC 平面ABCD， 所以PABC. 1 分 因为ABCD为正方形，所以ABBC， 又因为PAABA，所以BC 平面PAB. 2 分 因为AE 平面PAB， 所以AEBC. 3 分 因为PAAB，E为线段PB的中点， 所以AEPB， 4

9、 分 又因为PBBCB， 所以AE 平面.PBC 5 分 又因为AE 平面AEF， 理科数学参考答案及评分细则（第 5 页 共 11 页） 所以平面AEF 平面PBC. 6 分 （2）因为PA底面ABCD，ABAD，以A为坐标原点，分别以,AB AD AP的方向为x 轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz， 设正方形ABCD的边长为 2，则0 ,0 ,0 ,2 ,0 ,0 ,2 ,2 ,0 ,0 ,2 ,0 ,0 ,0 ,2 ,1 ,0 ,1ABCDPE， 7 分 所以1,0,1 ,2,2, 2 ,0,2, 2 .AEPCPD 设点F的坐标为2, ,0 02 ,所以2,

10、,0 .AF 设 111 ,x y zn为平面AEF的法向量， 则 0, 0, AE AF n n 所以 11 11 0, 20, xz xy 取 1 2y ，则,2, n.8 分 设 222 ,x y zm为平面PCD的法向量， 则 0, 0, PC PD m m 所以 222 22 0, 0, xyz yz 取 2 1y ，则0,1,1m. 10 分 因为平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30， 所以 2 2 3 cos30 2 224 m n mn ， 11 分 解得1， 故当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30. 12 分 解法二： （1）因为PA底面ABC

11、D，PA平面PAB， 所以平面PAB 底面ABCD 1 分 又平面PAB底面ABCDAB，BCAB，BC 平面ABCD， 理科数学参考答案及评分细则（第 6 页 共 11 页） 所以BC 平面.PAB 2 分 因为AE 平面PAB，所以.AEBC 3 分 因为PAAB，E为线段PB的中点，所以.AEPB 4 分 因为PBBCB，所以AE 平面.PBC 5 分 又因为AE 平面AEF， 所以平面AEF 平面PBC 6 分 （2）同解法一 12 分 20. 【命题意图】本题考查直线和圆的相切，椭圆的图象和性质，直线和椭圆的位置有关 系,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力及综合运用数学知识解决问

12、题的能力.考查的 核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算. 【解析】【解析】 （1）因为圆O的半径为 2 3 3 ， 所以 22 22 :1(0) xy Cab ab 的短轴长为 2 3 62 2 3 ， 1 分 所以22 2b ，解得2b 2 分 因为C的离心率为 2 2 ，所以 2 2 c a ， 3 分 又因为 222 acb，所以 22 2ac ， 联立 ，解得 2 4a ， 4 分 所以所求C的方程为 22 1. 42 xy 5 分 （2）证明：证法一：当直线l斜率不存在时, 直线l的方程为 2 3 3 x 当 2 3 3 x 时， 2 3 2 32 32 3 (,), (,), 3

13、333 AB 所以 44 0. 33 OA OB 6 分 理科数学参考答案及评分细则（第 7 页 共 11 页） 当 2 3 3 x 时， 2 3 2 32 32 3 (,), (,), 3333 AB 所以 44 0 33 OA OB， 综上，.OAOB 所以AOB为直角三角形 7 分 当直线l斜率存在时,设其方程为 1122 , ( ,), (,),ykxm A x yB xy 直线l与圆相切, 2 2 3| , 3 1 m k 即 22 3440mk, 8 分 由 22 , 1 42 ykxm xy 得， 222 (1 2)4240kxkmxm, 所以 2 1212 22 424 ,.

14、1212 kmm xxx x kk 9 分 所以 1212 OA OBx xy y 1212 ()()x xkxm kxm 22 1 212 (1)()kx xkm xxm 10 分 222222 2 (1)(24)4(12) 12 kmk mmk k 22 2 344 0, 12 mk k 11 分 所以.OAOB 综上所述:.OAOB 所以AOB为直角三角形 12 分 证法二：当直线方程为 2 3 3 y 时, 2 3 2 32 3 2 344 (,), (,),0, 333333 ABOA OB 所以.OAOB所以AOB为直角三角形 6 分 理科数学参考答案及评分细则（第 8 页 共 1

15、1 页） 当直线方程为 2 3 3 y 时, 2 32 32 32 344 (,), (,),0, 333333 ABOA OB 所以.OAOB所以AOB为直角三角形 7 分 当直线l不与x轴平行时,设其方程为 1122 , (,), (,),xtym A x yB xy 因为直线l与圆相切，所以 2 2 3| 3 1 m t ,即 22 3440.mt 8 分 由 22 , 1 42 xtym xy 得, 222 (2)240.tytmym 所以 2 1212 22 24 ,. 22 tmm yyy y tt 9 分 1212 OA OBy yx x 1212 ()()y ytym tym

16、22 1212 (1)()ty ytm yym 10 分 222222 2 (1)(4)2(2) 2 tmt mm t t 22 2 344 0, 2 mt t 11 分 所以,OAOB所以AOB为直角三角形 综上所述: AOB为直角三角形 12 分 21. 【命题意图】 本题考查函数和导数的应用， 利用导数判断函数的单调性， 证明不等式， 函数零点个数等基础知识,考查学生的逻辑推理能力,化归与转化能力.考查的核心素养是直 观想象、逻辑推理与数学运算. 【解答】 （1）当 1 2 a 时， 2 1 cos1 2 f xxx， 所以( )f x的定义域为 R,且()( ),fxf x故( )f

17、x为偶函数 1 分 当0x时, sinfxxx， 理科数学参考答案及评分细则（第 9 页 共 11 页） 记 sing xfxxx，所以 cos1g xx 2 分 因为 0g x，所以 g x在0,上单调递增， 即 fx在0,上单调递增， 3 分 故 00fxf， 4 分 所以 f x在0,上单调递增，所以 00f xf， 5 分 因为( )f x为偶函数,所以当xR时,( )0f x . 6 分 （2）当0a 时， cos1f xx，令cos10x ，解得2xkk ， 所以函数( )f x有无数个零点，不符合题意； 7 分 当0a 时， 22 cos10f xxaxax ，当且仅当0x 时等号成立，故0a 符合题 意； 8 分 因为 fxf x，所以 f x是偶函数， 又因为 00f，故0x 是 f x的零点. 9 分 当0a 时， sin2fxxax，记 sin2g xfxxax，则 cos2g xxa . 1）当 1 2 a 时， cos2cos10g xxax ， 故 g x在0,单调递增，故当0x 时， 00.g xg即 0fx， 故 f x在0,单调递增，故 00.f xf 所以 f x在0,没有零点. 因为 f x是偶函数,所以 f x在R上有且只有一个零点. 10 分 2）当