现代控制理论基础课件5.ppt

1、第4章 控制系统的稳定性分析第第4 4章章 控制系统的稳定性分析控制系统的稳定性分析4.1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义4.2 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法4.3 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析4.4 线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性分析线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性分析4.5 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析4.6 MATLAB在系统稳定性分析中的应用在系统稳定性分析中的应用第4章 控制系统的稳定性分析4.1 李雅普诺夫稳定性定义李雅普诺夫稳定性定义4.1.1 系统的平衡状态系统的平衡状态设控制系统的齐次状态方程

2、如下：(,)xf xt00()xxt tt式中，x为n维状态向量；t为时间变量；f(x，t)为n维函数。如果对于所有t，满足(,)0eexf xt(4-1)的状态xe称为平衡状态(又称为平衡点)。也就是说，平衡状态的各分量不再随时间变化，如果系统不加输入，则状态就永远停留在平衡状态。第4章 控制系统的稳定性分析对于线性定常系统，其平衡状态满足Axe=0，如果A非奇异，系统只有惟一的零解，即存在一个位于状态空间原点的平衡状态。至于非线性系统，f(xe，t)=0的解可能有多个，也可能没有，由系统状态方程决定。系统的状态稳定性是针对系统的每个平衡状态的。对于系统矩阵A非奇异的线性定常系统，xe=0是

3、系统的唯一平衡状态。当系统有多个平衡状态时，需要对每个平衡状态分别进行讨论。如果各平衡状态彼此是孤立的，则可以通过线性变换，将非零的平衡状态转移到状态空间坐标原点。所以对于这些系统，我们一般笼统地用状态空间原点的稳定性代表系统稳定性。即xAx(4-2)(,)(0,)0tteexf xf第4章 控制系统的稳定性分析4.1.2 李雅普诺夫稳定性的定义李雅普诺夫稳定性的定义1.李雅普诺夫稳定性李雅普诺夫稳定性如果对于任意小的实数0，均存在一个实数(，t0)0，当初始状态满足x0 xe时，系统运动轨迹满足，则称该平衡状态xe是李雅普诺夫意义下的稳定，简称稳定。其中，x0 xe表示状态空间中x0点至xe

4、点之间的距离，称为向量(x0 xe)的范数，其数学表达式为lim()xxett(4-3)2201010()()eennexxxxxx第4章 控制系统的稳定性分析按照范数的定义，x0 xe可相应地看做以xe为中心，为半径的一个闭球域，可用点集S()表示。因此，李雅普诺夫意义下稳定的平面几何解释为：设系统初始状态x0位于以平衡状态xe为球心、半径为的闭球域S()内，如果系统稳定，则状态方程的解x(t，x0，t0)在t的过程中，都位于以xe为球心，半径为的闭球域S()内，见图4-1(a)。第4章 控制系统的稳定性分析图4-1 稳定性的平面几何表示(a)李雅普诺夫意义下的稳定性；(b)渐近稳定性；(c

5、)不稳定性第4章 控制系统的稳定性分析2.一致稳定性一致稳定性通常与、t0都有关。如果与t0无关，则称平衡状态是一致稳定的。定常系统的与t0无关，因此定常系统如果稳定，则一定是一致稳定的。3.渐近稳定性渐近稳定性系统的平衡状态不仅具有李雅普若夫意义下的稳定性，且有(4-4)lim()0 xxett称此平衡状态是渐近稳定的。这时，从S()出发的轨迹不仅不会超出S()，且当t时收敛于xe或其附近，其平面几何表示如图4-1(b)所示。第4章 控制系统的稳定性分析4.大范围稳定性大范围稳定性当初始条件扩展至整个状态空间，且具有稳定性时，称此平衡状态是大范围稳定的，或全局稳定的。此时，S()，x。对于线

6、性系统，如果它是渐近稳定的，必具有大范围稳定性，因为线性系统稳定性与初始条件无关。非线性系统的稳定性一般与初始条件的大小密切相关，通常只能在小范围内稳定。第4章 控制系统的稳定性分析5.不稳定性不稳定性对于任意的实数0，存在(，t0)0，不论值取得多么小，在满足不等式x0 xe的所有初始状态中，至少存在一个初始状态x0，由此出发的状态轨迹x(t)，不满足不等式，则称xe为李雅普诺夫意义下的不稳定，简称不稳定。可以用平面几何解释为：只要在S()内有一条从x0出发的轨迹跨出S()，则称此平衡状态是不稳定的，见图4-1(c)。lim()xxett第4章 控制系统的稳定性分析在经典控制理论中，我们已经

7、学过稳定性概念，它与李雅普诺夫意义下的稳定性概念是有一定区别的。例如，在经典控制理论中只有渐近稳定的系统才称为稳定的系统。按李雅普诺夫意义下的稳定性定义，当系统作不衰减的振荡运动时，将在平面描绘出一条封闭曲线，只要不超过S()，则认为是稳定的，如线性系统的无阻尼自由振荡和非线性系统的稳定极限环。第4章 控制系统的稳定性分析4.2 李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法在李雅普诺夫第二法中，用到了一类重要的标量函数，即二次型函数。因此在介绍李雅普诺夫第二法之前，先介绍一些有关二次型函数的预备知识。4.2.1 预备知识预备知识1.标量函数的正定性标量函数的正定性 如果对所有在域中的非零状态x0，有V(x

8、)0，且在x=0处有V(0)=0，则在域(域包含状态空间的原点)内的标量函数V(x)称为正定函数。第4章 控制系统的稳定性分析2.标量函数的负定性标量函数的负定性如果V(x)是正定函数，则标量函数V(x)称为负定函数。3.标量函数的正半定形标量函数的正半定形 如果标量函数V(x)除了原点以及某些状态等于零外，在域内的所有状态都是正定的，则V(x)称为正半定标量函数。4.标量函数的负半定性标量函数的负半定性 如果V(x)是正半定函数，则标量函数V(x)称为负半定函数。5.标量函数的不定性标量函数的不定性 如果在域内，不论域多么小，V(x)既可为正值，也可为负值时，标量函数V(x)称为不定的标量函

9、数。第4章 控制系统的稳定性分析例例4-1 假设x为二维向量，判断以下标量函数的正定性：(1)V(x)=x21+x22(2)V(x)=(x1+x2)2(3)V(x)=4x22(x1+x2)2(4)V(x)=x1x2+x22解：解：(1)当x1,x20时,均有V(x)0，所以V(x)是正定的。(2)当x1，x2=0，x1=x2时，有V(x)=0，其余时候V(x)0，所以V(x)是正半定的。(3)当x1，x20时，均有V(x)0，所以V(x)是负定的。(4)对不同的x，可能为V(x)0，所以V(x)是不定的。第4章 控制系统的稳定性分析6.二次型函数二次型函数二次型函数如下所示：(4-5)1112

10、11212222T121112()nnnnijijijnnnnnpppxpppxVxxxp x xpppx xx Px注意，这里的x为实向量，P为二次型各项系统构成的实对称矩阵。二次型V(x)的正定性可用赛尔维斯特准则判断。该准则指出，二次型V(x)为正定的充要条件是矩阵P的所有主子行列式均为正值，即第4章 控制系统的稳定性分析0,0,02122221112112212121111nnnnnnpppppppppppppp如果P是奇异矩阵，且它的所有主子行列式均非负，则V(x)=xTPx是正半定的。判断二次型V(x)的负定性可用V(x)同样利用赛尔维斯特准则来判断。如果V(x)是正定的，则V(x

11、)是负定的。如果V(x)是正半定的，则V(x)是负半定的。例例4-2 试证明二次型V(x)=2x21+3x22+x232x1x2+2x1x3是正定的。第4章 控制系统的稳定性分析解：解：二次型V(x)可写为112323211()130101TxVxxxxxxx Ax利用赛尔维斯特准则，可得2120,50,1321113020101因为矩阵P的所有主子行列式均为正值，所以V(x)是正定的。第4章 控制系统的稳定性分析4.2.2 李雅普诺夫第二法稳定性定理李雅普诺夫第二法稳定性定理 李雅普诺夫稳定性判据有第一法和第二法。第一法基本思路是：首先将非线性系统线性化，然后计算线性化方程的特征值，最后判定

12、原非线性系统的稳定性。经典控制理论中关于线性定常系统稳定性的各种判据，均可视为李雅普诺夫第一法在线性系统中的工程应用。李雅普诺夫第二法的特点是不必求解系统的微分方程式，就可以对系统的稳定性进行分析判断。它是建立在能量观点基础上的，即认为系统趋于稳定的过程就是能量衰减的过程。如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，当其运动到平衡状态附近时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。第4章 控制系统的稳定性分析例例4-3 若初始条件不为零，分析图4-2所示电路的能量变化过程。图4-2 RLC电路第4章 控制系统的稳定性分析解：解：取状态变量x1=i，x2=uc。设加电后，输入ur

13、=0，则该系统的状态方程为11221,10RxxLLxxC 120000 xx 在任意时刻，系统的总能量E(x1，x2)包括电容的存能和电感的存能，即22121211,22E x xLxCx第4章 控制系统的稳定性分析显然当x1，x2=0时，E(x1，x2)=0，当x1，x20时，E(x1，x2)0。也就是说，除原点外系统能量总大于零，而能量随时间的变化212221 121112111,()()RE x xCx xLx xCxxLxxxRxCLL 说明在电阻R0的情况下，能量总是衰减的，直到能量消耗完，稳定在状态零点。从例4-3可看出，渐近稳定系统的系统能量总是衰减的。为此，李雅普诺夫虚构一个

14、能量函数来表征这一过程，称为李雅普诺夫函数。在李雅普诺夫第二法中，能量函数V(x，t)和其对时间的导数的符号特征，提供了判断平衡状态处的稳定性、渐近稳定性或不稳定性的准则，而不必直接求出方程的解。这种方法既适用于线性系统，也适用于非线性系统。这样可得到以下定理。(,)xVt第4章 控制系统的稳定性分析设系统状态方程为，其平衡状态满足f(0)=0，设系统在原点邻域存在V(x)对x的连续的一阶偏导数。定理定理4-1 若V(x)正定，负定，则原点是渐近稳定的。负定表示能量随时间连续单调地衰减，故与渐近稳定性定义叙述一致。例例 4-4 试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系统的稳定性。()xf x()V

15、 x(,)xVt12212()xxxxx 解解:令，解得原点xe=0是系统的惟一平衡状态。0 x 第4章 控制系统的稳定性分析取李雅普诺夫函数为222121211()()22x Vxxxx若x0，V(x)0；若x=0，V(x)=0，即V(x)正定。将V(x)代入原式有2212121 12212()()()2()x Vxxxxx xx xxx显然负定，根据定理4-1，原点是渐近稳定的。因为只有一个平衡状态，该非线性系统是大范围渐近稳定的。又因为V(x)与t无关，系统大范围一致渐近稳定。()V x第4章 控制系统的稳定性分析定理定理4-2 若V(x)正定，负半定，且在非零状态不恒为零，则原点是渐近

16、稳定的。负半定表示在非零状态存在=0，但在从初态出发的轨迹x(t；x0，t0)上，不存在V(x)=0的情况，于是系统将继续运行至原点。状态轨迹仅是经历能量不变的状态，而不会维持在该状态。例例4-5 试运用定理4-2判断例4-4中系统平衡状态的稳定性。解：解：选V(x)=x21+x22，正定。求导后得=2x22，对于非零状态(如x2=0，x10)存在=0，对于其余非零状态，0，故负半定。根据定理4-2，原点是渐近稳定的，且是大范围一致渐近稳定。()V x()V x()V x()V x()V x()V x()V x第4章 控制系统的稳定性分析定理定理4-3 若V(x)正定，负半定，且在非零状态恒为

17、零，则原点是李雅普诺夫意义下稳定的。沿状态轨迹能维持0，表示系统能维持等能量水平运行，使系统维持在非零状态而不运行至原点。例例4-6 系统的状态方程为()V x()V x1221xkxxx 其中，k为大于零的常数。分析系统平衡状态的稳定性。解：解：令，求得平衡状态xe=0。选取李雅普诺夫函数为V(x)=x21+kx22，显然V(x)正定。求导后得0 x 1 122122 1()22220 x Vx xkx xx kxkx x由定理4-3知，xe=0为李雅普诺夫意义下的稳定。第4章 控制系统的稳定性分析定理定理4-4 若V(x)和正定，则原点是不稳定的。正定表示能量函数随时间增大，故状态轨迹在原

18、点邻域发散。例例4-7 试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系统的稳定性：()V x()V x112212xxxxxx 解：解：令，求得平衡状态。选V(x)=x21+x22，正定。求导后0 x 0 x e221 12211221212()222222Vx xx xx xxxxxxxx（）（）第4章 控制系统的稳定性分析可见x=0，；x0，由定理4-4知，系统不稳定。定理定理4-5 若V(x)正定，正半定，且在非零状态不恒为零时，则原点不稳定。例例4-8 试用李雅普诺夫第二法判断下列非线性系统的稳定性：()0Vx()0Vx()Vx12212xxxxx 解：解：令=0，求得平衡状态e=0。选V(x)

19、=x21+x22，正定。求导后 x x221 1221212121222()2222()2222x Vx xx xx xxxx xx xxx第4章 控制系统的稳定性分析可见x=0，=0；x0，0，且在非零状态不恒为零。由定理4-5知，系统不稳定。使用定理4-14-5时应注意到，李雅普诺夫函数的选取是不惟一的，但只要找到一个V(x)满足定理所述条件，便可对原点的稳定性作出判断，并不因选取的V(x)不同而有所影响。应用李雅普诺夫第二法稳定理论的关键在于是否能找到李雅普诺夫函数。若能找到满足条件的李雅普诺夫函数，则可以相应地作出稳定判断；但若找不到，就不能判定该平衡状态是稳定或不稳定；诸稳定性定理所

20、述条件都是充分条件。()Vx()Vx第4章 控制系统的稳定性分析4.3 线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析线性定常连续系统的李雅普诺夫稳定性分析对于线性定常系统=Ax，其渐近稳定性的判别方法很多。可以采用第2章介绍的方法求出系统的齐次解，通过x(t)的形态来判断；也可以通过A的所有特征值或特征方程|sIA|=sn+a1sn1+an1s+an=0的根来判断，当特征值或特征方程的根具有负实部时，系统渐近稳定。但为了避开困难的特征值计算，可采用劳斯稳定性判据通过判断特征多项式的系数来直接判定稳定性，或奈奎斯特稳定性判据根据开环频率特性来判断闭环系统的稳定性。这里将介绍的线性系统的李雅普诺夫稳定性

21、方法，也是一种代数方法。x第4章 控制系统的稳定性分析设系统状态方程为=Ax，A为非奇异矩阵，故原点是惟一平衡状态。可以取下列正定二次型函数V(x)作为李雅普诺夫函数，即V(x)=xTPx (4-6)求导并考虑状态方程 x(4-7)TTTT()()Vxx Pxx PxxA PPA x(4-8)(4-9)T A PPAQT()V xx Qx设 可写为 当要求xe=0为渐近稳定时，应为负定的，即式(4-9)中Q应为正定对称矩阵。()Vx第4章 控制系统的稳定性分析在判别时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵P，然后检查Q是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q，然后检查由ATP+PA=Q确定的P

22、是否也是正定的。这可归纳为如下定理：定理定理4-6 系统渐近稳定的充要条件为：给定正定实对称矩阵Q，存在正定实对称矩阵P使式(4-8)成立。由于Q阵的形式可以任意给定，并且最终的判断结果与正定阵Q阵的不同选择无关。故可以选取Q=I，即单位阵，再根据式(4-8)求出P阵，用赛尔维斯特判据来验证其正定性。当P阵是正定阵时，则可知xe=0为大范围一致渐近稳定的。另外，根据定理4-2，如果沿任一条轨迹不恒等于零，则Q可取正半定矩阵。()xVxAxT()V xx Qx第4章 控制系统的稳定性分析例例4-9 利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：1123xx解解:令矩阵11121222p

23、pppP则由ATP+PA=I得1112111221222122121110132301pppppppp第4章 控制系统的稳定性分析解上述矩阵方程，有11111211122222122212752413420 826158pppppppppp 即得1112212275485388ppppP第4章 控制系统的稳定性分析因为111211212275717480 =05346488ppPpp可知P是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。这时系统对应的李雅普诺夫函数及其沿轨迹的导数分别为T221122TT22121()(14103)08()()0Vxx xxVxx xx Pxxx Qxx x第4章

24、 控制系统的稳定性分析4.4 线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性分析线性定常离散系统的李雅普诺夫稳定性分析线性定常离散系统的状态方程为x(k+1)=Gx(k)(4-10)原点xe=0是平衡状态。取正定二次型函数Vx(k)=xT(k)Px(k)(4-11)以Vx(k)代替，有()xV()(1)()xxxVkVkVk(4-12)考虑状态方程，有TTTTTT()(1)(1)()()()()()()()()VkkkkkkkkkkkxxPxxPxGxPGxxPxxG PGP x(4-13)第4章 控制系统的稳定性分析令 GTPGP=Q (4-14)于是有 Vx(k)=xT(k)Qx(k)(4-15)由此

25、可得到如下定理：定理定理4-7 系统x(k+1)=Gx(k)渐近稳定的充要条件是：给定任一正定实对称矩阵Q(常取Q=I)，存在正定对称矩阵P，使式(4-14)成立。例例4-10 利用李雅普诺夫第二方法判断下列系统是否为大范围渐近稳定：120(1)()0 xx kk第4章 控制系统的稳定性分析解：解：令矩阵11122122ppppP选取Q=I，代入矩阵方程GTPGP=I，有1111211112212222212200100001pppppppp解上述矩阵方程，有11221111121222222212221(1)11(1)0 01(1)11pppppp 第4章 控制系统的稳定性分析即得21111

26、2122222101101ppppP要使P为正定的实对称矩阵，要求|1|1，|2|1。也就是说，当系统的特征根位于单位圆内时，系统的平衡点是渐近稳定的。这一结论与经典理论中离散系统稳定的充要条件是相同的。第4章 控制系统的稳定性分析4.5 非线性系统的稳定性分析非线性系统的稳定性分析对于非线性系统，由于非线性系统的复杂性和多样性，还没有构造李雅普诺夫函数的一般方法。针对不同类型，有用于判断非线性系统渐近稳定性充分条件的克拉索夫斯基方法、有用于构成非线性系统李雅普诺夫函数的变量梯度法、有用于某些非线性控制系统稳定性分析的傅里叶法，以及用于构成吸引域的波波夫方法等。下面仅讨论克拉索夫斯基方法。考虑

27、如下非线性系统()xf x第4章 控制系统的稳定性分析式中，x为n维状态向量，f(x)为x1，x2，xn的非线性n维向量函数，假定f(0)=0，且f(x)对xi可微(i=1，2，n)，系统平衡状态为xe=0。该系统的一阶偏微分定义为(4-16)11112222112112(,)()(,)J xnnnnnnnnfffxxxfffffxxxxxfffxxx第4章 控制系统的稳定性分析又定义()()()TS xJxJ x(4-17)式中，J(x)称为雅可比矩阵，JT(x)是J(x)的共轭转置矩阵。定理定理4-8(克拉索夫斯基定理)如果矩阵S(x)是负定的，则平衡状态xe=0是渐近稳定的。此时该系统的

28、李雅普诺夫函数为(4-18)()()()xfx f xTV若随着x，fT(x)f(x)，则平衡状态是大范围渐近稳定的。证明:由于V(x)=fT(x)f(x)，因此V(x)是正定的。对求导，从而()xV第4章 控制系统的稳定性分析TTTTTTT()()()()()()()()()()()()()()()()()()Vxfx f xfx f xJ x f xf xfx J x f xfx JxJ xf xfx S x f x因为S(x)是负定的，所以也是负定的。因此，V(x)是一个李雅普诺夫函数。所以原点是渐近稳定的。如果随着x，V(x)=fT(x)f(x)，则平衡状态是大范围渐近稳定的。例例4-

29、11 考虑下列非线性定常二阶系统的稳定性。()xV1132122xxxxxx 第4章 控制系统的稳定性分析解：解：，对应雅可比矩阵为13122()f xxxxx111222221210()11 3J ffxxxxffxxT222222101121()()()113013126xxxxxx SJJ检验-S(x)各阶主子式有22222120,3 120126xx第4章 控制系统的稳定性分析由赛尔维斯特判据知，S(x)A=1 1；2 3；输入系数矩阵A=A；将系数矩阵A转置Q=eye(2)给定正定实对称矩阵Q为二阶单位阵P=lyap(A，Q)求式(4-19)所示的李雅普诺夫方程结果为P=1.7500 0.6250 0.6250 0.3750需判断P是否为对称正定阵。由赛尔维斯特判据，判断主子行列式是否都大于零。第4章 控制系统的稳定性分析det(P(1，1)求P阵的一阶主子行列式ans=1.7500det(P)求P阵的二阶主子行列式ans=0.2656由此可知，P为对称正定阵。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的。