第二章环境系统数学模型课件.ppt

1、某实验室正在研究一种污染物在某一处理过某实验室正在研究一种污染物在某一处理过程中的降解规律，希望其降解规律的研究能程中的降解规律，希望其降解规律的研究能对工程实际有指导意义，对工程实际有指导意义，讨论讨论 ：其研究结果的最佳表达形式是什么？为什么？其研究结果的最佳表达形式是什么？为什么？根据所观察到的现象，及实践经验，归结成一套反映根据所观察到的现象，及实践经验，归结成一套反映其数量关系的数学关系式与算法，用以描述对象的运其数量关系的数学关系式与算法，用以描述对象的运动规律，这套公式和算法称为数学模型。广义的数学动规律，这套公式和算法称为数学模型。广义的数学模型既包含由数学符号组成的数学公式，

2、也包括用框模型既包含由数学符号组成的数学公式，也包括用框图或文字表达的计算方法和计算过程。图或文字表达的计算方法和计算过程。1抽象性、系抽象性、系统性统性2发现事物的发现事物的本质特征本质特征3速度快、费速度快、费用低用低延续上一个讨论问题，延续上一个讨论问题，问题：问题：如何建立这种污染物的降解规律的数学模如何建立这种污染物的降解规律的数学模型？型？1、准备阶段、准备阶段2、系统认识阶段；、系统认识阶段；3、系统建模阶段；、系统建模阶段；4、模型参数估计；、模型参数估计；5、模型求解阶段；、模型求解阶段；6、模型检验阶段；、模型检验阶段；观测数观测数据组据组模型结模型结构选择构选择模型模型应

3、用应用观测数据组观测数据组参数参数估计估计检 验 与 验检 验 与 验证证建立数学模型的步骤建立数学模型的步骤建模者要在弄清问题的社会背景、建模的目的或目标的前提下，尽可能详细而又全面的收集和建模有关的资料。例：我们要建一个工业园区的工业污水集中处理厂，需要收集哪些相关资料。1、分析系统有关成分和因素；2、对数据进行整理与分析，通常要绘制变量的时间过程线，空间关系曲线或表格，从中考察和分析事物的时空变化规律。1、状态空间法(质量平衡法)2、量纲分析法；3、概率统计法；4、数量化理论法；5、灰色系统建模法；6、人工神经网络；7、层次分析法；8、投影寻踪法；模型的结构选择模型的结构选择(1)(1)

4、白箱模型白箱模型根据对系统的结构和性质的了解根据对系统的结构和性质的了解,以客观事物变化遵循的物以客观事物变化遵循的物理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。理化学定律为基础，经逻辑演绎而建立起的模型是机理模型。这种建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性。这种建立模型的方法叫演绎法。机理模型具有唯一性。(2)(2)灰箱模型灰箱模型即半机理模型。在建立环境数学模型的过程中即半机理模型。在建立环境数学模型的过程中,几乎每个模几乎每个模型都包含一个或多个待定参数型都包含一个或多个待定参数,这些待定参数一般无法由过这些待定参数一般无法由过程机理来确定。通常要借助于观测数据或实验结果。

5、程机理来确定。通常要借助于观测数据或实验结果。(3)(3)黑箱模型黑箱模型即输入即输入-输出模型。需要大量的输入输出模型。需要大量的输入,输出数据以获得经验模输出数据以获得经验模型。它们可在日常例行观察中积累型。它们可在日常例行观察中积累,也可由专门实验获得。也可由专门实验获得。根据对系统输入输出数据的观测根据对系统输入输出数据的观测,在数理统计基础上建立起在数理统计基础上建立起经验模型的方法又叫归纳法。经验模型不具有唯一性。经验模型的方法又叫归纳法。经验模型不具有唯一性。由于环境模型使用的一般都是灰箱模型，其中至少存在一个待定参数，需要通过实验观测数据进行估计。1、经验公式法；2、图解法；3

6、、最小二乘法；4、网格法；5、最速下降法；6、遗传算法；是人们在研究某一具体问题时，有些参数的使用频率很高，研究者在积累了大量数据后提出的经验计算方法。如布里吉斯提出的计算大气污染物扩散参数的幂函数表达式2121 ,xxzy经验公式法即时通过对所估计参数对相关因素的关系曲线进行函数选配，并拟合而得。在使用经验公式时，要求系统的条件与总结经验公式时的系统条件相近，否则会有较大偏差。如果系统模型公式可以直接描述为一条直如果系统模型公式可以直接描述为一条直线，或经变量变换后能转换为直线时，均线，或经变量变换后能转换为直线时，均可用图解法估计参数。可用图解法估计参数。1.4.3 最小二乘法又称线性回归

7、分析，适合于自变量又称线性回归分析，适合于自变量 与因变量与因变量 y 之间呈线性关系的情况，或通过数学变之间呈线性关系的情况，或通过数学变换后可转换为线性关系的情况。换后可转换为线性关系的情况。线性回归分析的原理基于以下两点假设：线性回归分析的原理基于以下两点假设：(1)所有自变量的值均不存在误差，因变量的值所有自变量的值均不存在误差，因变量的值 则含有测量误差；则含有测量误差；(2)与各测量值与各测量值 拟合得最好的线性方程拟合得最好的线性方程是能使各测量值是能使各测量值 与线性方程各计算值与线性方程各计算值 的偏的偏差的平方和差的平方和)1(nixiiyiyiyiy最小的线性方程。因此，

8、根据极值存在条件，对一元线性分析，有212211minnib)xm.xmx(myz网格搜索。格内，用更细的则可以在当前最优的网参数值还不够精确，作为最优估计值。如果值所对应的参数值值，并选取其中最小的顶点上的目标函数可以通过计算所有网格个网格。被划分成，于是，参数空间其中等分，分点为，如果把区间分成的搜索区间为个待定参数，其中假定有1211)()0()(.),.,(,),.,1,0(,),.,2,1(mmmbamkmbaninniimiiiikiiiii选定一初始点，从此点出发，沿其负梯度选定一初始点，从此点出发，沿其负梯度方向取一定步长进行寻查，求得在此方向方向取一定步长进行寻查，求得在此方

9、向上的近似极小点，上的近似极小点，然后再从此点出发，沿然后再从此点出发，沿新的负梯度方向也取一定的步长进行寻查，新的负梯度方向也取一定的步长进行寻查，如此继续，直到满足给定的精度。如此继续，直到满足给定的精度。传统解析方法计算机数值模拟1.6.1 模型的精确度检验，1.6.2 模型的可靠性检验。1、图形表示法2、相关系数法3、相对误差法niniiiniiiyyyyyyyyr11221)()()(相对误差的定义如果有n组观测值与相应的计算值，可得到n个相对误差值，将这n个误差值从小到大排列，可以求得小于某一误差值的误差出现的频率，以及累积频率为10%，50%，90%的误差，通过分析这三个误差的数

10、值，可以确定模型的精度。iiiiyyye中值误差与统计学上的的概率误差是一致的，因此中值误差的数值既可以从误差分布的累积曲线上求出，也可以按下式计算：16745.0215.0nyyyeniiii任何数学模型都是建立在一些参数基础上任何数学模型都是建立在一些参数基础上的，尤其是灰箱模型和黑箱模型。这些参的，尤其是灰箱模型和黑箱模型。这些参数多是用一组或几组输入、输出数据来确数多是用一组或几组输入、输出数据来确定。定。而任何数据的获取都会存在一定的误差，而任何数据的获取都会存在一定的误差，这样必然会导致所估计的参数存在一定的这样必然会导致所估计的参数存在一定的不确定性。不确定性。模型的可靠性即是估

11、计这种不确定性对模模型的可靠性即是估计这种不确定性对模型的精度有多大的影响。型的精度有多大的影响。参数的不确定性可通过对模型的灵敏度分参数的不确定性可通过对模型的灵敏度分析来实现。析来实现。通常，灵敏度是指一个系统的输出对输入通常，灵敏度是指一个系统的输出对输入的响应程度。的响应程度。如果输入信号经过系统输出后被放大了，如果输入信号经过系统输出后被放大了，那么这就是一个灵敏系统，反之，就不灵那么这就是一个灵敏系统，反之，就不灵敏。敏。通过对模型的灵敏度分析不仅可以估计模通过对模型的灵敏度分析不仅可以估计模型计算结果的偏差，同时还有助于建立低型计算结果的偏差，同时还有助于建立低灵敏度系统，这种系

12、统在运行上比较可靠，灵敏度系统，这种系统在运行上比较可靠，有助于确定合理的设计裕量，这比盲目地有助于确定合理的设计裕量，这比盲目地给定安全系数要合理多了。给定安全系数要合理多了。在环境系统的模拟、控制中，灵敏度的研究主要包在环境系统的模拟、控制中，灵敏度的研究主要包括两个方面：括两个方面：一是状态与目标对参数的灵敏度，即参数的估计误一是状态与目标对参数的灵敏度，即参数的估计误差对状态和目标产生影响，这种影响有多大？如何差对状态和目标产生影响，这种影响有多大？如何确定参数估计的必要精度？确定参数估计的必要精度？另一个是目标对决策的灵敏度。在污染控制规划中，另一个是目标对决策的灵敏度。在污染控制规

13、划中，决策变量的变化对目标有很大影响，如何确定这种决策变量的变化对目标有很大影响，如何确定这种影响的大小。如何决定合理的决策变量。影响的大小。如何决定合理的决策变量。1、单个变量时的灵敏度，xxxxSx00 度：状态变量对参数的灵敏)()(000FZfxZxuu的函数：都可以表示为参数和目标量保持不变，那么状态变如果决策变量ZZZZSZ00度：目标函数对参数的灵敏ZddZSxddxSZx00000得时，忽略高阶微分项，当为状态变量和目标变量对参数的一阶灵敏度系统数。为状态变量和目标变量对参数的一阶灵敏度系统数。00ddZddx和1、多变量时的灵敏度，设一个最优化模型为式中，G为n维向量函数，0

14、),(.S),(Min uxGtuxfZ根据多元函数的微分方法，状态变量(n维)对参数向量(p 维)的一阶灵敏度系数组成一个n X p 阶矩阵：目标函数对参数向量的一阶灵敏度系数则组成一p维行向量：pZZZ,.,1 参数的变化除直接影响目标函数外，还通过状态参数的变化除直接影响目标函数外，还通过状态变量作用于目标函数，将状态方程对参数微分：变量作用于目标函数，将状态方程对参数微分：0GxxGGxGxxG1 的逆存在，则由上式得如果GxGfZxxffZ -1-敏度：则目标函数对参数的灵，得将目标函数对参数微分人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说“书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进。