江苏南京江宁区2023届高三上学期11月学情数学调研试卷+答案.pdf

1、高三阶段性学情调研数 学 试 题数 学 试 题一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1 若集合0,2Ax xxBx x，则RAB ()A12xxB12xxC2x x D12xx2 设复数z满足121zii，则z()A2B5C102D523 在621xx的二项展开式中，常数项为()A30B15C15D304我国古代建筑的屋顶对建筑立面起着特别重要的作用，古代建筑屋顶主要有庑殿式、硬山顶、歇山顶、悬山顶攒尖顶、盝顶、卷棚顶等类型，其中硬山式屋顶造型的最大特点是比较简单、朴素，只有前后两面坡，而且屋顶在山墙墙头处与山墙齐平，没

2、有伸出部分，山面裸露没有变化硬山式屋顶（如图 1）可近似地看作直三棱柱（如图 2），其高为10m，1CC到平面11ABB A的距离为1.5m，AB为4m，则可估算硬山式屋顶的体积约为()A315mB330mC345mD360m5 函数sin2,2eexxxyx 的图象大致为()ABCD6 若sintan4cos2，则sin2()A34B14C14D347 已 知 菱 形ABCD的 边 长 为 2，0120BAD，G是 菱 形ABCD内 一 点，若0GAGBGC ，则AG AB ()A12B1C32D28 设1sin11a，ln1.1b，1.21c，则()AcbaBabcCacbDcab二、多项

3、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分9 下列命题为真命题的是()A*2,2nnNn B“ab”是“22acbc”的充分条件C若0ab，则22aabbD若0ab，0cd，则11acbd10已知等比数列na的公比为q，前n项积为nT，若1128a，且78TT，则下列命题正确的是()A81a B当且仅当8n 时，nT取得最大值C12q D*121215N,15nnaaaaaann11 已知函数()sincos0f xxbx的最小正周期为，且()12f xf对于Rx 恒成立，则()

4、A()f x在区间,6 2单调递减B()f x在区间23,有两个零点C,03是曲线()yf x的一个对称中心D当3x 时，函数 fx取得极值12已知函数()yf x满足：对于任意实数,Rx y，都有 2()()f x fyf xyf xy，且(1)1f，则()A()f x是奇函数B()f x是偶函数C1,02是曲线 yfx的一个对称中心D(2022)1f三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13设函数 2log1,0,2,0,xxxf xx则1=3ff _14在正方体1111ABCDABC D中，M为棱11A D的中点，则BM与平面11DBB D所成角的正弦值为_15若斜率

5、为33的直线与x轴交于点M，与圆22:24Cxy相交于点,A B两点，若2 2AB，则MC _16设圆锥的底面半径为 2，母线长为2 2，若正四棱柱上底面的 4 个顶点在其母线上，下底面的 4 个顶点在其底面圆内，则该正四棱柱体积的最大值为_四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分 10 分)在ABC中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c已知coscosaBbA，23cb.(1)求cosC的值；(2)D 为边AC的中点，若11BD ，求ABC的面积18(本小题满分 12 分)已知等差数列 na的前n项和为nS，且413aa,244

6、nnSSn(1)求数列 na的通项公式；(2)设211nnba，求数列 nb的前n项和nT19(本小题满分 12 分)随着人们对环境关注度的提高，绿色低碳出行越来越受市民重视，为此某市建立了共享电动车服务系统，共享电动车是一种新的交通工具，这是新时代下共享经济的促成成果.目前来看，共享电动车的收费方式通过客户端软件和在线支付工具完成付费流程，从开锁到还车所用的时间称为一次租用时间，具体计费标准如下：租用时间 30 分钟 2 元，不足 30 分钟按 2 元计算；租用时间为 30 分钟以上且不超过 40 分钟，按 4 元计算；租用时间为 40 分钟以上且不超过 50 分钟，按 6 元计算甲、乙两人

7、独立出行，各租用公共电动车一次，租用时间都不会超过 50 分钟，两人租用时间的概率如下表：租用时间不超过30 分钟3040分钟4050分钟甲0.4Pq乙0.52.03.0若甲、乙租用时间相同的概率为0.35.(1)求P，q的值；(2)设甲、乙两人所付费之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望.20(本小题满分 12 分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAC 底面ABCD，PAPC，且PAPC，M是PA的中点(1)求证：PA平面BMD；(2)求二面角AMCD的正弦值21(本小题满分 12 分)已知双曲线2222:1xyCab与椭圆22143xy的离心率互为倒数，且双曲线的

8、右焦点到C的一条渐近线的距离为3(1)求双曲线C的方程；(2)直线2yxm与双曲线C交于,A B两点，点M在双曲线C上，且2OMOAOB ，求的取值范围22(本小题满分 12 分)已知函数 ln 21f xxaxb，曲线 yf x在点 1,1f处的切线方程为10 xy(1)求,a b的值；(2)记 m表示不超过实数m的最大整数，若 20f xxpxq对任意1,2x恒成立，求21ln1epqq的值参考答案参考答案、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选

9、项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678选项ACCBBADB二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分题号9101112选项CDACDABBCD三、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分三、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分13.161426152 21664

10、27四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：（1）在ABC中，由正弦定理得：sincoscossinABAB，所以sin0AB，因为,AB ，所以AB，即ab2 分在ABC中，由余弦定理得：2222222312cos282bbbabcCabb 4 分（2）在ACD中，由余弦定理得：2222112cos8822BDababCa6 分因为0,C，所以23 7sin1cos8CC8 分所以ABC的面积2133 7sin22SaC10 分18解：（1）设等差数列 na的公

11、差为d，因为244nnSSn，所以11221124422nndn nnanadn，化简得：124ad 3 分因为413aa，所以123ad4 分由解得：13,2ad，所以数列 na的通项公式为21nan6 分（2）21111141411nnbn nnna9 分所以11111114223141nnTnnn12 分19 解：（1）分别记“甲租用时间不超过 30 分钟、3040分钟、4050分钟”为事件123,A AA，它们彼此互斥，则1230.4,P AP Ap P Aq，且0.6pq；分别记“乙租用时间不超过 30 分钟、3040分钟、4050分钟”为事件123,B BB，则1230.5,0.2

12、,0.3P BP BP B，且123,A AA与123,B BB相互独立.记“甲、乙租用时间相同”为事件C，则 1 12233112233P CP ABA BA BP A P BP AP BP AP B0.40.50.20.30.35231.5pqpq2分由解得：0.3pq4 分（2）X可能取值为4,6,8,10,125 分40.40.50.2P X，60.40.20.30.50.23P X，80.40.30.50.3+0.30.20.33P X，100.30.30.30.20.15P X，120.30.30.09P X 10 分所以X的分布表如下：X4681012P0.20.230.330.

13、150.09所以40.260.2380.33100.15120.097.4E X 12 分20（1）证明：设BD与AC交于O，连接MO.因为,AC BD为正方形ABCD的对角线，所以O为AC中点，且ACBD，因为M是PA的中点，所以OMPC，因为PAPC，所以PAOM2 分因为平面PAC 底面ABCD，平面PAC 平面ABCDAC，BD 平面ABCD，所以BD 平面PAC，因为PA平面PAC，所以PABD4 分因为,OM BD 平面BMD，OMBDO，所以PA平面BMD6 分（2）因为PA平面BMD，,BM DM 平面BMD，所以PABM，PADM，因为M是PA的中点，所以,BPAB DADP

14、因为底面ABCD为正方形，所以22BPDPABBD，在BPD中，O为BD的中点，所以POBD，同理：POAC，且22PAAC，因为,AC BD 平面ABCD，ACBDOI，所以PO 平面ABCD，以O为原点，,OC OD OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，设4AD，则2 2,0,0A，2 2,0,0C，0,0,2 2P，2,0,2M，0,2 2,0D，所以2 2,2 2,0,3 2,0,2CDCM ，设平面MCD的一个法向量1111,nx y z，因为11,nCD nCM ，所以1111112 22 203 220nCDxynCMxz ，令11x，则1

15、11,3yz，所以11,1,3n 8 分同理：平面AMC的一个法向量20,1,0n 10 分设二面角ACPD的平面角为,0,，121212111coscos,1111nnn nn n ，所以2110sin1cos11，所以二面角ACPD的正弦值为1101112 分注：注：利用综合几何方法（一作，二证，三计算）也可以求二面角ACPD的正弦值.21解：（1）因为椭圆22143xy的离心率为12，所以222aba，因为双曲线的右焦点到C的一条渐近线的距离为3，所以3b 2 分代入得：1a，所以求双曲线C的方程为2213yx 4 分（2）设11,A x y，22,B xy，00,M xy，联立方程22

16、233yxmxy，得：22430 xmxm，222164301mmm，124xxm，2123x xm6 分因为2OMOAOB ，所以01201222xxxyyy，因为点M在双曲线C上，所以2212122+2+13yyxx，即22222121212124441333yyxxx xy y，所以221212121244434223033x xy yx xxmxm，即224380m9 分01当0时，等式左边=3，右边=0，因为左边右边，所以不满足题意；02当0时，22438831m ，所以不满足题意；03当0时，22438831m 或，所以310 或，综上所述：的取值范围为,31,0 12 分22解：

17、（1）因为 221fxax，所以 1211faa 2 分 101fabba 3 分（2）由(1)知 ln 211f xxx，22331=021212xfxxxx，x1 3,2 2323,2 fx+0 f x极大值 31ln2022f xf极大值，因为 2ln310f，1235316ln4ln022fe，且函数 f x在3,2是连续不间断的减函数，所以恰有一个03,22x，使00fx5 分因为 10f，所以01,1,2xx时，0f x，01,xx时，0f x，因为 20f xxpxq任意1,2x恒成立，所以01,1,2xx时，20 xpxq，01,xx时，20 xpxq，所以20 xpxq有两个根 1 和0 x，所以01xp ，0 xq7 分0100000ln 21121xf xxxex 所以010000021ln1ln1ln121xpqqxexxxxe 2000000ln11ln 21ln1ln 231xxxxxx 10 分设 25231,2,2g xxxx，因为对称轴34x，所以 253223162gg xxxg，即200ln3ln 231ln6xx，