现代光学第6章-广义傅里叶变换及其光学实现-课件.ppt
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- 现代 光学 广义 傅里叶变换 及其 实现 课件
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1、第6章 广义傅里叶变换及其光学实现1 1第6章 广义傅里叶变换及其光学实现6.1广义傅里叶变换的定义及性质6.2广义傅里叶变换的光学实现方法6.3基本光学单元的组合第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2 26.1广义傅里叶变换的定义及性质6.1.1广义傅里叶变换的定义为简单起见,这里讨论一维函数的广义傅里叶变换,有关的定义和性质可以直接推广到二维的情况。函数f(x)的广义傅里叶变换定义为 (6.1-1)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现3 3以代替,得到负阶数的广义傅里叶变换 (6.1-2)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现4 4并且负阶数的广义傅里叶变换FT-(0)是FT的逆变换,有 (6.1
2、-3)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现5 5当=/2时,广义傅里叶变换退化为常规傅里叶变换,即 (6.1-4)(6.1-5)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现6 6在式(6.1-1)定义的变换中,当0时没有意义。当0时,sin,tan。应用 1.4 节的函数列 (6.1-6)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现7 7则得到零阶广义傅里叶变换式 (6.1-7)类似地,可以给出阶广义傅里叶变换的定义为 (6.1-8)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现8 8表6.1-1给出了一些常用函数的广义傅里叶变换,其中Hn(x)(n=0,1,2,)为n阶厄米多项式。第6章 广义傅里叶变换及其光学实现9 9第6
3、章 广义傅里叶变换及其光学实现10 106.1.2广义傅里叶变换的基本性质和运算法则如前所述,f(x)的广义傅里叶变换谱函数记为F(),并用f(x)F()表示变换对。性质1线性性质:广义傅里叶变换仍是线性变换,若a、b为任意常数,有 (6.1-9)性质2位移性质:(6.1-10)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现11 11性质3宗量乘积性质:(6.1-11)依此类推,设m0,有 (6.1-12)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现12 12性质4微分性质:(6.1-13)性质5宗量微分混合积:(6.1-14)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现13 13性质6指数性质:(6.1-15)第6章 广义
4、傅里叶变换及其光学实现14 14性质7可加性:广义傅里叶变换应具有可加性,依次进行阶和阶变换的结果应相当于进行+阶变换,即 (6.1-16)式(6.1-16)中,若和交换次序,结果保持不变。所以有 (6.1-17)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现15 15表明广义傅里叶变换算符是可易的。特别当=时,得到 (6.1-18)即FT是FT的逆算符或逆元。这进一步表明FT的确是FT的逆变换。当=0时,有 (6.1-19)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现16 16对于任意的实数、和,广义傅里叶变换算符的结合律成立,即 (6.1-20)因而,所有的广义傅里叶变换算符对于式(6.1-16)所定义的乘法构
5、成群,一般称为广义傅里叶变换群。第6章 广义傅里叶变换及其光学实现17 17性质8周期性:由于在广义傅里叶变换的定义中出现了三角函数tan和sin,因此变换关于具有周期性,周期为2,故有以下结果:(6.1-21)(6.1-22)(6.1-23)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现18 18进一步设 (6.1-24)函数f(x)的阶广义傅里叶变换还可表示为FT(p)f(x),p的定义域为(2,2,当 p1 时,表示常规的傅里叶变换;当p1时,则表示常规的傅里叶逆变换。第6章 广义傅里叶变换及其光学实现19 196.1.3广义傅里叶变换的本征函数对于任意和高斯-厄米函数(式中Hn(x)为n阶厄米多项
6、式,为高斯函数),可以证明 (6.1-25)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2020函数yn(x)构成区间(-,+)内的完备正交函数组,任何平方可积的函数f(x)都可以用它展开为 (6.1-26)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现21 21式中:系数an可以用厄米函数的正交性得到,即 (6.1-27)用FT作用于式(6.1-26)两边,得到 (6.1-28)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现22226.2广义傅里叶变换的光学实现方法6.2.1实现广义傅里叶变换的第一类基本光学单元根据广义傅里叶变换的可加性,对函数f(x)连续进行N个阶数为n(n1,2,N)的变换的结果,相当于进行阶数为1+2
7、+N的一次变换,即 (6.2-1)式中:(6.2-2)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2323我们知道,=/2的常规傅里叶变换,既可以由焦距为f的单个透镜实现,也可以由两个完全相同透镜构成的合成焦距为f的透镜组来实现。每个透镜的焦距为 (6.2-3)其间距为2d,其中 (6.2-4)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2424如图6.2-1 所示。x0y0和xy分别为系统的前、后焦面,到两个透镜的距离也为d。上述结果可以通过三次菲涅耳衍射和两次透镜相位变换的方法加以证明。第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2525图 6.2-1用两个透镜实现傅里叶变换第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2626几
8、何光学的计算还可以证明,当N个焦距为 (6.2-5)的透镜按图6.2-1所示的方式串联起来时,如果间距参数为 (6.2-6)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2727也就是说,正薄透镜在特定的输入、输出距离的配置下产生了/2 的常规傅里叶变换效果。如果d0、q不等于f,但是满足d0=q=d,且d不一定等于f,这时,我们仿照式(6.2-3)和式(6.2-4),设 (6.2-7)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2828代入式(3.4-11)得到 (6.2-8)第6章 广义傅里叶变换及其光学实现2929用对坐标进行归一化 (6.2-9)式(6.2-8)变为 (6.2-10)第6章 广义傅里叶变换及
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