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1、课程指导课四课程指导课四第第4章章 振动振动4.1 简谐振动及其描述简谐振动及其描述4.2 简谐振动的动力学方程简谐振动的动力学方程4.3 简谐振动的能量简谐振动的能量4.4 简谐振动的合成简谐振动的合成4.5 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振教师：郑采星教师：郑采星大学物理大学物理1基本要求基本要求教学基本内容、基本公式教学基本内容、基本公式第第4章振动章振动掌握简谐振动及其特征量（频率、周期、振幅和周相），掌握旋转矢量掌握简谐振动及其特征量（频率、周期、振幅和周相），掌握旋转矢量法。能建立谐振动运动学方程。理解谐振动的能量。了解阻尼振动、受法。能建立谐振动运动学方程。理解谐振动

2、的能量。了解阻尼振动、受迫振动、共振。掌握同方向同频率谐振动的合成。了解同方向不同频率迫振动、共振。掌握同方向同频率谐振动的合成。了解同方向不同频率谐振动的合成，相互垂直的谐振动的合成。了解频谱分析。谐振动的合成，相互垂直的谐振动的合成。了解频谱分析。1.振动、振动、简谐振动简谐振动任何物理量在某值附近变化都称任何物理量在某值附近变化都称振动振动。简谐振动简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移：物体运动时，离开平衡位置的位移(或角位移或角位移)按余弦按余弦(或或正弦正弦)规律随时间变化。规律随时间变化。)cos(0tAx简谐振动的特征量（振幅、周期、频率和相位）简谐振动的特征量（振幅、周期、

3、频率和相位）振幅振幅 A周期周期T 和频率和频率 2TT1相位相位)(0t初相位初相位02xxmka20dd222xtx谐振动微分方程谐振动微分方程 该方程的通解可写为：该方程的通解可写为：)cos(0tAxmkA和和 0由初始条件由初始条件确定确定22020vxA000 tan xv动力学分析：动力学分析：物体所受的力物体所受的力F跟位移跟位移x正比反向，物体作谐振动。正比反向，物体作谐振动。,2xxmka,kxF物体的加速度跟位移正比反向，物体作谐振动。物体的加速度跟位移正比反向，物体作谐振动。固有固有(圆圆)频率，频率，由系统内在性质所决定。由系统内在性质所决定。32.简谐简谐振动的能量

4、振动的能量(以水平弹簧振子为例以水平弹簧振子为例)动能动能)(sin21022tkAEk)(cos21022tkAEP势能势能系统总的机械能：系统总的机械能：221kAEEEpk简谐振动系统机械能守恒简谐振动系统机械能守恒3.简谐振动的合成简谐振动的合成(1)(1)两个同方向同频率简谐振动的合成两个同方向同频率简谐振动的合成合振动合振动仍是简谐振动仍是简谐振动,其频率与分振动的频率相同。其频率与分振动的频率相同。)cos(21020212221AAAAA)cos(),cos(20221011tAxtAx)cos(021tAxxx若两分振动同相若两分振动同相 20 10=2k(k=0,1,2,)

5、则则A=A1+A2,两分振动相互加强两分振动相互加强若两分振动反相若两分振动反相 20 10=(2k+1)(k=0,1,2,)则则A=|A1-A2|,两分振动相互减弱两分振动相互减弱4(2)(2)同方向不同频率的两个简谐振动的合成同方向不同频率的两个简谐振动的合成两个简谐振动的频率两个简谐振动的频率 1和和 2很接近，很接近，合成产生合成产生拍现象。拍现象。12拍频拍频:单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数(3)(3)两个同频率相互垂直的两个同频率相互垂直的简谐振动的合成简谐振动的合成合运动一般一个椭圆。合运动一般一个椭圆。(4)(4)方向垂直的不同频率的简谐振动的合成方向垂直的不

6、同频率的简谐振动的合成两振动的频率成整数比，两振动的频率成整数比，合运动轨迹称为李萨如图形。合运动轨迹称为李萨如图形。)cos(),cos(02220111tAxtAx两个简谐振动合成得：两个简谐振动合成得：)2cos()2cos(201212ttAx51.一质点作简谐振动，周期为一质点作简谐振动，周期为T当它由平衡位置向当它由平衡位置向x轴正方向运轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为间为(A)T/12(B)T/8(C)T/6(D)T/4x02A3/旋转矢量法旋转矢量法首先画出二分之一最大位移处首先画出二

7、分之一最大位移处旋转矢量图，旋转矢量图，然后，再画然后，再画最大位移处最大位移处旋转矢量旋转矢量图。图。设所求的时间为设所求的时间为 t，则有，则有3tT26Tt C62.如图所示，质量为如图所示，质量为m的物体，由劲度系数为的物体，由劲度系数为k1和和k2的两个轻弹簧的两个轻弹簧连接到固定端，在水平光滑导轨上作微小振动，其振动频率为连接到固定端，在水平光滑导轨上作微小振动，其振动频率为 m k1 k2 (A)(B)(C)(D)mkk212mkk2121212121kmkkk)(212121kkmkkD k1k2k弹簧弹簧(上上)可视为可视为两弹簧两弹簧(下下)的串联的串联21111kkk21

8、21kkkkkmk2T)(2112121kkmkkT7设设2个弹簧的弹性系数分别为个弹簧的弹性系数分别为k1，k2，他们的伸长量分别是他们的伸长量分别是x1和和x2，那么有关系：那么有关系：)2(2211xkxkT)1(21xxx而同一根绳子上的张力相等，也就是说而同一根绳子上的张力相等，也就是说2个弹簧中的张力相等，即有：个弹簧中的张力相等，即有：联立联立2式，可解出式，可解出：xkkkkT2121对于等效的对于等效的k，有，有2121kkkkkmx01k2kmxkxT 所以所以83.一质点作简谐振动其运动速度与时间的曲线如图所示若质一质点作简谐振动其运动速度与时间的曲线如图所示若质点的振动

9、规律用余弦函数描述，则其初相应为点的振动规律用余弦函数描述，则其初相应为(A)/6(B)5/6(C)-5/6(D)-/6(E)-2/3v(m/s)t(s)Ovmmv21答案：答案：(C)参考解答：参考解答：令简谐振动的表达式：令简谐振动的表达式：)cos(tAx对对 t 求导数得速度表达式：求导数得速度表达式：)sin()sin(ttAmvvAmv.sin,00mtvv在本题中，在本题中，,2,00mtvv.21sin.61,65),cos(ddttmvv,cosdd0mvvtt考虑考虑0dd0ttv即即 ,0cos.6594.一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动一物块悬挂在弹簧下方作简谐振动,当这

10、物块的位移等于振幅的一半时当这物块的位移等于振幅的一半时,其动能是总能量的其动能是总能量的_（设平衡位置处势能为零）当这物块在平（设平衡位置处势能为零）当这物块在平衡位置时，弹簧的长度比原长长衡位置时，弹簧的长度比原长长 l，这一振动系统的周期为，这一振动系统的周期为_ 3/4，gl/2m0llxxo弹簧原长弹簧原长挂挂m后伸长后伸长某时刻某时刻m位置位置伸伸 长长平衡位置平衡位置k位移等于振幅的一半时位移等于振幅的一半时)(sin21022tkAEk，得)cos(tAx21)cos(t3)(t43212kA221kAEEEpk总代入2Ax mglkmkglT22lmgk/105.图中所示为两

11、个简谐振动的振动曲线若以余弦函数表示这两个振动图中所示为两个简谐振动的振动曲线若以余弦函数表示这两个振动的合成结果，则合振动的方程为的合成结果，则合振动的方程为x=x1+x2=_(SI)x(m)t(s)Ox1x2120.08-0.04设：设：)cos(),cos(222111tAxtAx04.0,08.0,221AAT,0,01xt,0dd00ttxv.2,0cos11.2,0sin11同理：同理：,0,02xt.2,0cos22,0dd00ttxv.2,0sin22)2cos(04.0),2cos(08.021txtx0 x1A2AA)2cos(04.0tx116.N个同方向、同频率的简谐振

12、动，它们的振幅相等，初相分别为个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初相分别为0,2,.,.,依次差一个恒量依次差一个恒量，求合，求合振动的振幅。振动的振幅。tAxcos1)cos(2tAx )2cos(3tAx)1(cosNtAxN21cos2sin2sinNtNAx2sin2sinNAA合合设单缝处的波阵面分成设单缝处的波阵面分成N个（个（N为很大的为很大的数）等宽的面元（垂直于画面）。数）等宽的面元（垂直于画面）。假设每一个面元在假设每一个面元在P点引起的光波振幅点引起的光波振幅为为，根据多个等幅同频振动的合振幅，根据多个等幅同频振动的合振幅公式，可以分析单缝衍射光强分布，公式，可

13、以分析单缝衍射光强分布，P0PBAaad单缝衍射示意图单缝衍射示意图为为光栅衍射光强分布光栅衍射光强分布奠定了基础；也可奠定了基础；也可以说是为光的衍射定量分析提供了一种以说是为光的衍射定量分析提供了一种巧妙的方法。巧妙的方法。迁移与应用迁移与应用12N个同方向、同频率的简谐个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等，初振动，它们的振幅相等，初相分别为相分别为0,2,.,.,依次差一个恒量依次差一个恒量，振动表振动表达式可写成达式可写成 采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开烦琐的三角函数运算。的三角函数运算。根据矢量合成法则，根据矢量合成法则，N

14、个个简谐振动对应的旋转矢量的简谐振动对应的旋转矢量的合成如下图所示：合成如下图所示：taxcos1)cos(2tax )2cos(3tax)1(cosNtaxN多个同方向同频率简谐振动的合成多个同方向同频率简谐振动的合成合振动的频率与分振动的频率相同。合振动的频率与分振动的频率相同。合振动的振幅和初相是分析的关键合振动的振幅和初相是分析的关键!13NOCM taxcos1)cos(2tax )2cos(3tax)1(cosNtaxNOx1a2a3a4a5aCAM 因各个振动的振幅相同且相差依次恒为因各个振动的振幅相同且相差依次恒为,上图中上图中各个矢量各个矢量 的起点和终点都在以的起点和终点都

15、在以C为圆心的圆周上，根据简单的几何关系，可得为圆心的圆周上，根据简单的几何关系，可得）、.(4321aaaa.21它们的夹角显然等于，交于的垂直平分线，两者相和作Caa14NOCM 在三角形在三角形OCM中中,OM 的长度就是的长度就是合合振动振动的的振幅振幅A,角度角度 MOX就是就是合合振动振动的初相的初相，据此得，据此得2sin2NAOC考虑到考虑到2sin2OCa 2sin2sinNaA COMCOXMOX21)(21)(21NNOX1a2a3a4a5aCAM21cos2sin2sinNtNax157.分别敲击某待测音叉和标准音叉，使它们同时发音，听到时强时弱分别敲击某待测音叉和标准

16、音叉，使它们同时发音，听到时强时弱的拍音若测得在的拍音若测得在20s内拍的次数为内拍的次数为180次，标准音叉的频率为次，标准音叉的频率为300Hz，则待测音叉的频率为则待测音叉的频率为_12拍频拍频:单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数Hz3001设992112，或者则有：)(12Hz291Hz30922，或者8.图为两个互相垂直的谐振动合成运动的轨迹若图为两个互相垂直的谐振动合成运动的轨迹若且动点运动方向如图所示，则且动点运动方向如图所示，则y=_ O x y A A-A-A,costAx查阅教材李萨如图形，为查阅教材李萨如图形，为2:1:21xyTT221xy)22cos(t

17、Ay16 O x y A A-A-A 0t对结果进行核对对结果进行核对)22cos(tAyyotAxcosxo6t62t63toxy64t65t66t179.一质点在一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作为计时起点时作为计时起点点(t=0)，经过，经过2秒后质点第一次经过秒后质点第一次经过B点，再经过点，再经过2秒后质点第二次经过秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且两点具有相同的速率，且AB=10cm求：求：(1)质点的振动方程；质点的振动方程；(2)质点在质点在A点处的速率点处的速率 AB

18、x解：解：，做旋转矢量图，做旋转矢量图由由BvvAx0ABAvBv0tst2st4可知可知42,42TT(1)以的中点为坐标原点，以的中点为坐标原点，x 轴指向右方轴指向右方 t=0时，时，coscm5Ax t=2s时，时，sin)2cos(cm5AAx由上二式解得由上二式解得 1tan因为在因为在A点质点的速度大于零，所以点质点的速度大于零，所以（如图）（如图）或或4543)cos(tAx)sin(tAvBvvAA和和B所对应的旋转所对应的旋转矢量在同一直线上。矢量在同一直线上。Bv189.一质点在一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点时作

19、为计时起点时作为计时起点点(t=0)，经过，经过2秒后质点第一次经过秒后质点第一次经过B点，再经过点，再经过2秒后质点第二次经过秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且两点具有相同的速率，且AB=10cm求：求：(1)质点的振动方程；质点的振动方程；(2)质点在质点在A点处的速率点处的速率 ABx解：解：x0ABAvBv0tst2st4443Bv t=0时，时，coscm5Axcm25)4/3cos(5A 振动方程振动方程(SI)434cos(10252tx(2)速率速率)434sin(41025dd2ttxv当当t=0时，质点在时，质点在A点点 m

20、/s1093.3)43sin(10425dd22txv1910如图如图1所示，一定滑轮的半径为所示，一定滑轮的半径为R，转动惯量为，转动惯量为I，其上挂一轻绳，绳，其上挂一轻绳，绳的一端系一质量为的一端系一质量为m的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所的物体，另一端与一固定的轻弹簧相连，如图所示设弹簧的劲度系数为示设弹簧的劲度系数为k，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空，绳与滑轮间无滑动，且忽略轴的摩擦力及空气阻力现将物体气阻力现将物体m从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简从平衡位置拉下一微小距离后放手，证明物体作简谐振动，并求出其角频率谐振动，并求出其角频率 m 图 1 解：

21、取如图解：取如图x坐标，平衡位置为原点坐标，平衡位置为原点O，向下为正，向下为正，m在平衡位置时弹簧已伸长在平衡位置时弹簧已伸长x0)1(0kxmg 设设m在在x位置，分析受力位置，分析受力,这时弹簧伸长这时弹簧伸长 0 xx)2()(02xxkT由牛顿第二定律和转动定律列方程：由牛顿第二定律和转动定律列方程：)3(1maTmg)4(21IRTRT)5(Ra mg1T1T2T联立解得联立解得 mRJkxa)/(2由于由于x系数为一负常系数为一负常数，故物体做简谐振数，故物体做简谐振动，其角频率为动，其角频率为 222)/(mRIkRmRIkx0 x0 x201.简谐振动的初相简谐振动的初相 0

22、是不是一定指它开始振动时刻的位相？是不是一定指它开始振动时刻的位相？参考解答：参考解答：对于一个振幅和周期已定的简谐振动，用数学公式表示时，由于选作原对于一个振幅和周期已定的简谐振动，用数学公式表示时，由于选作原点的时刻不同，点的时刻不同，0值就不同。值就不同。)cos(0tAxx000tx00tx000t例如，选物体到达正向极大位移的时刻为时间原点，例如，选物体到达正向极大位移的时刻为时间原点，0则值等于零；则值等于零；如果选物体到达负向极大位移的时刻为时间原点，如果选物体到达负向极大位移的时刻为时间原点，0则等于则等于。由于由于 0是由对时间原点的选择所决定的，所以把它叫做振动的初相。是由

23、对时间原点的选择所决定的，所以把它叫做振动的初相。简谐振动的初相不是一定指它开始振动时刻的位相。简谐振动的初相不是一定指它开始振动时刻的位相。研讨题研讨题00021任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，任何一个实际的弹簧都是有质量的，如果考虑弹簧的质量，弹簧振子的振动周期将变大还是变小？弹簧振子的振动周期将变大还是变小？讨论讨论变大变大变小变小参考解答：因为弹簧振子的周期决定于系统的惯性和弹性，惯性越大参考解答：因为弹簧振子的周期决定于系统的惯性和弹性，惯性越大则周期越大。因此可以定性地说，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振则周期越大。因此可以定性地说，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振

24、子的周期肯定会变大。子的周期肯定会变大。若振子的质量为若振子的质量为M，弹簧的质量为，弹簧的质量为m，弹簧的劲度系数为，弹簧的劲度系数为k，可以计，可以计算出，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振子的振动周期为算出，在考虑了弹簧的质量之后，弹簧振子的振动周期为kmMT3/2研讨题研讨题22解：平衡时解：平衡时0点为坐标原点。物体运动到点为坐标原点。物体运动到x处时，速度为处时，速度为v.设此时弹簧的长度为设此时弹簧的长度为L,弹簧元弹簧元dl的质量的质量lLmmdd位移为：位移为：xLlxxM0vdll例：劲度系数为例：劲度系数为k、质量为质量为m的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量的均匀弹簧，一端

25、固定，另一端系一质量为为M的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动。(m M )设弹簧各等长小段变形相同，位移是线性规律设弹簧各等长小段变形相同，位移是线性规律速度为：速度为：,ddvLltxLl弹簧动能：弹簧动能：202161)d(21vvmLllLmELk2221vMEk物体动能：物体动能：系统弹性势能系统弹性势能为为22kxEP23xxM0vdll例：劲度系数为例：劲度系数为k、质量为质量为m的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量的均匀弹簧，一端固定，另一端系一质量为为M的物体，在光滑水平面内作直线运动。求解其运动的物体，在光滑水平面内作直线

26、运动。求解其运动。(m M )弹簧动能：弹簧动能：202161)d(21vvmLllLmELk2221vMEk物体动能：物体动能：系统弹性势能系统弹性势能为为22kxEP简谐振动的动力学解法简谐振动的动力学解法2.由分析能量出发由分析能量出发(将能量守恒式对将能量守恒式对t 求导求导 )系统机械能守恒，有系统机械能守恒，有常数常数222216121kxmMvv将上式对时间求导，整理后可得将上式对时间求导，整理后可得0dd)3(kxtmMv03dd22xmMktx2kmMT)3(2因此，弹簧质量小于物因此，弹簧质量小于物体质量，且系统作微运体质量，且系统作微运动时，弹簧振子的运动动时，弹簧振子的运动可视为是简谐运动。可视为是简谐运动。24