原子物理-量子力学3课件.ppt
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- 原子 物理 量子力学 课件
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1、2.5 定态薛定谔方程解的算例定态薛定谔方程解的算例 定态薛定谔方程定态薛定谔方程问题,就是求解势能不随时间改变条件问题,就是求解势能不随时间改变条件下的薛定谔方程,就是求解哈密顿方程下的薛定谔方程,就是求解哈密顿方程()()HExx222d()()()2dV xxExm x在一维条件下在一维条件下求解微分方程,需要利用一定的边界条件求解微分方程,需要利用一定的边界条件求出本征函数求出本征函数的表的表达式和本征值达式和本征值E的数值的数值目的:目的:通过对解的讨论,了解量子力学体系的特征及其通过对解的讨论,了解量子力学体系的特征及其 物理意义物理意义1、一维简谐振子势、一维简谐振子势 势能势能
2、22211()22V xkxmx)(xVx2222d()1()()2d2xkxxExmx,x 作变量代换,令待定常数,方程化为2222224d20dmEmk 222222d2d2kEm 势能函数是一条抛物线哈密顿方程为:哈密顿方程为:谐振子势能为V(x)、质量为m的粒子142mk令211mk22222mEEmEkkm222d0d 有解时当,12 n212()()ennH由于由于待定待定,2222224d20dmEmk变系数的常微分方程谐振子的角频率方程化为方程化为212()()ennH():nH厄米多项式22d()(1)eednnnnH,2,1,0n11()HA00()HA222()(1 2)
3、HA333()(32)HA2444()(3 124)HA3555()(15204)HA其通式为:其通式为:前前5 5个厄米多项式为:个厄米多项式为:()=A1e-1/22n=1n=3n=0()=A0e-1/22?n=2n=5n=4偶函数奇函数波函数的空间波函数的空间对称是偶性的对称是偶性的,就称宇称是偶就称宇称是偶性的性的偶宇称偶宇称奇宇称奇宇称波函数的图形波函数的图形)()(xx12 n1()2nEn)(xVx2 E零点能零点能 所以谐振子的能量本征值为所以谐振子的能量本征值为:0n1n2n3n4n2123252729由由01122Eh谐振子的角频率谐振子的角频率km谐振子的能量是等间隔的分
4、立能级,谐振子的能量是等间隔的分立能级,而且量子数而且量子数n取最小值取最小值0时,谐振子的能时,谐振子的能量并不为并不为0。这也意味着,这也意味着,量子束缚态的量子束缚态的动能不可能为零动能不可能为零,与经典的情况不相同!与经典的情况不相同!这是波粒二象性的这是波粒二象性的表现,它满足不确表现,它满足不确定关系的要求!定关系的要求!谐振子的几率分布谐振子的几率分布 212Ukx212Ukx20()21()22()23()24()25()212Ukx在任一能级上,势能曲线以外概率密度并不为零在任一能级上,势能曲线以外概率密度并不为零微观粒子运动的特点:微观粒子运动的特点:它在运动中有可能进入势
5、能大于其总能量的区域。它在运动中有可能进入势能大于其总能量的区域。这在经典理论看来是不可能出现的!这在经典理论看来是不可能出现的!物理意义:物理意义:1)量子谐振子的能级是量子化的,等间隔均匀分布。能级)量子谐振子的能级是量子化的,等间隔均匀分布。能级的间距为的间距为 。能量本征值只能取一些不连续的值。能量本征值只能取一些不连续的值。2)最低能态的总能量(或称之为)最低能态的总能量(或称之为零点能零点能)为:)为:01122Eh3)位于谐振子势井中的质点,)位于谐振子势井中的质点,量子力学量子力学的结果:当的结果:当n=0时,在时,在x=o处粒子处粒子出现的几率最大出现的几率最大。经典力学经典
6、力学则认为:当则认为:当n=0时,在时,在x=o处粒子处粒子出现的几率最小出现的几率最小。当量子数当量子数n很大时与经典力学的结果趋于一致!很大时与经典力学的结果趋于一致!当温度趋于绝对零度时,电磁场的简谐振动或晶体点阵上的原子振动处于基态对量子谐振子它们仍在振动,且平均动能大于零,意味着对量子谐振子它们仍在振动,且平均动能大于零,意味着量子的束缚态是不可能为零的。量子的束缚态是不可能为零的。例题例题1:设想一个质量为设想一个质量为m=1g的小球,悬挂在一个小轻的小球,悬挂在一个小轻弹簧下做振幅为弹簧下做振幅为 A=1mm的简谐振动。弹簧系数的简谐振动。弹簧系数为为k=0.1N/m。按量子理论
7、计算:。按量子理论计算:1)此弹簧谐振子的能级间隔有多大?)此弹簧谐振子的能级间隔有多大?2)与它现有的振动能量对应的量子数是多少?)与它现有的振动能量对应的量子数是多少?例题例题2 2:HCL气体能强烈吸收波长为气体能强烈吸收波长为3.465um的红外辐射。的红外辐射。这是这是HCL分子振子吸收入射光子能量的结果。分子振子吸收入射光子能量的结果。求:求:1)振子的振动频率;)振子的振动频率;2)绝对零度时一摩尔)绝对零度时一摩尔HCL气体的总振动能量。气体的总振动能量。2、一维无限深势阱、一维无限深势阱 如图,如图,中,势能为中,势能为0 0;、中,势能为中,势能为0VVV2a2ax)(xV
8、不分区的哈密顿方程不分区的哈密顿方程222d()()()2dxVxExmx222d()2()()0dxm VExx222mEk 222d()()0dxkxx()cossinxAkxBkx0V222d20dmExI I区中区中IIIIIIE:动能0通解为通解为目的:目的:了解势井中量子状态的特点,了解势井中量子状态的特点,分立能级、零度能等分立能级、零度能等。为无限深势阱中势能是常量,粒子不受力做自由运动令令V222222d()2()d()()()0ddxm VExxxxx 0 e0()ee000 exxxxDxCDC II、III区中区中哈密顿方程为哈密顿方程为:其形式上的通解其形式上的通解:
9、依据波函数的边界条件依据波函数的边界条件()0 表明:势阱外的波函数为表明:势阱外的波函数为0 0由于由于 就有上式就有上式x x0)2()2(aakxBkxAxsincos)(02sin2cos02sin2cosakBakAakBakA该齐次方程非该齐次方程非零解的条件为:零解的条件为:02sin2cos2sin2cosakakakak势井中波函数势井中波函数 ,在井壁上必定为,在井壁上必定为0,所以边界条件为:所以边界条件为:即有即有0sin2cos2sin2kaakakank22222222manmkE因而有因而有222mEk 即即而而势井中粒子的势井中粒子的能量本征值能量本征值1 1)
10、势阱内粒子能量是量子化的,是势阱中波函数的共同点势阱内粒子能量是量子化的,是势阱中波函数的共同点 22,0nnnEEnEnnEn 结论:结论:axnBaxnAxsincos)(进一步确定进一步确定本征函数本征函数2 2)不存在不存在n=0n=0的波函数,零点能不为零的波函数,零点能不为零:22122Ema为什么?为什么?这是由粒子的波动性所决定的,由不确定原理:这是由粒子的波动性所决定的,由不确定原理:2x p 势阱中的位置不确定量为势阱中的位置不确定量为x xa a2pa 不可能有不可能有0p 2ax0(1)0()cossin222(1)00nnABBannABABA 奇偶0(1)0()co
11、ssin222(1)00nnABBannABABA 奇偶偶数奇数,naxnBnaxnAx,sincos)(aA2aB22/2/2222/2/2cosdcosd12aaaan xn xaAxAxAaa若对波函若对波函数归一化数归一化当当 时,依据边界条件,有时,依据边界条件,有归一化条件就是粒子在整个空间内出现的总概率为12sin,n xnaa偶数2cosn xnaa,奇数xxx()x()x2a2a2a2a2n 4n 6n 1n 3n 5n 偶宇称偶宇称奇宇称00粒子的能量本征粒子的能量本征函数与坐标关系函数与坐标关系0EE04EE 09EE 025EE036EE 016EE()=A1e-1/2
12、2n=1n=3n=0()=A0e-1/22?n=2n=5n=4偶函数奇函数偶宇称奇宇称概率密度图形概率密度图形)()(xx 由上述概率密度与坐标的关系我们可以看到:由上述概率密度与坐标的关系我们可以看到:1)这里由粒子的波动性给出的这里由粒子的波动性给出的概率密度的周期性分布概率密度的周期性分布与与经经典粒子分布典粒子分布完全不同,按经典理论,粒子在阱内来来回回完全不同,按经典理论,粒子在阱内来来回回自由运动,在各处的概率密度应该是相等的,而且与粒子自由运动,在各处的概率密度应该是相等的,而且与粒子的能量无关。的能量无关。2)与经典粒子不同的第二点。由与经典粒子不同的第二点。由22222nma
13、E022221maE量子粒子的量子粒子的最小能量为最小能量为:这这符合符合不确定关系,因为量子粒子在有限空间内运动,其速度不确定关系,因为量子粒子在有限空间内运动,其速度不可能为零,而经典粒子可能处于静止的能量为零的最低能态不可能为零,而经典粒子可能处于静止的能量为零的最低能态3)由粒子的能量公式,可得到势阱中粒子的动量由粒子的能量公式,可得到势阱中粒子的动量:kanmEpnn2相应地,粒子的德布罗意波长为:相应地,粒子的德布罗意波长为:knaphnn22该波长也量子化了,它只能是势阱长度两倍的整数分之一。该波长也量子化了,它只能是势阱长度两倍的整数分之一。这就类似于两端固定的弦中产生的驻波的
14、情况。这就类似于两端固定的弦中产生的驻波的情况。无限深势阱中粒子的每一个能量本征态对应于德布罗意波的无限深势阱中粒子的每一个能量本征态对应于德布罗意波的一个特定波长的驻波一个特定波长的驻波!例题例题 在原子核在原子核 内的内的质子质子和和中子中子可粗略的看可粗略的看成是处于无限深势阱中而不能逸出,它们在核中成是处于无限深势阱中而不能逸出,它们在核中的运动也可以认为是自由的。按一维无限深势阱的运动也可以认为是自由的。按一维无限深势阱估算,质子从第一激发态(估算,质子从第一激发态(n=2n=2)到第二激发态)到第二激发态(n=1n=1)转变时,放出的能量是多少)转变时,放出的能量是多少MeV?Me
15、V?14(1 10)m例题例题 根据叠加原理,几个波函数的叠加仍是一个波函数。根据叠加原理,几个波函数的叠加仍是一个波函数。假设在无限深势阱中粒子的一个叠加态是有基态和假设在无限深势阱中粒子的一个叠加态是有基态和第一激发态叠加而成,前者的幅是第一激发态叠加而成,前者的幅是1/2 1/2,后者的幅,后者的幅是是 (这就意味着基态的基本概率是这就意味着基态的基本概率是1/41/4,第一,第一激发态的基本概率是激发态的基本概率是3/43/4)。)。试求这一叠加态的概率分布。试求这一叠加态的概率分布。3/23、阶跃势阶跃势定义:势能在空间某一位置由一个值突然变定义:势能在空间某一位置由一个值突然变 为
16、另一个值的势场。为另一个值的势场。()0V x 0()V xV0 x)(xV2122mEk 221112d()()0dxkxx11()eeik xik xIxAB粒子在阶跃势场中的运动粒子在阶跃势场中的运动00,()V xV00 xx在量子力学中,只需要求解薛定谔方程:在量子力学中,只需要求解薛定谔方程:22()()()2V xxExma)对x0区域,V(x)=0X0 x0区域要使区域要使 满足满足“有限有限”的要求,的要求,必须要求必须要求C=0C=0。要使波函数连续,在要使波函数连续,在x=0 x=0的位置应该有:的位置应该有:b)x0 区域区域 V(x)=V0 薛定谔可以写为薛定谔可以写
17、为:其通解为:其通解为:如果这两个区域波函数满足物理条件,那么这四个解它一定如果这两个区域波函数满足物理条件,那么这四个解它一定是是单值单值、有限有限和和连续连续,否则就不满足波函数的标准条件。,否则就不满足波函数的标准条件。2()x12(0)(0)首先它们满足首先它们满足单值单值性的要求性的要求1200()()xxdxdxdxdx把两个区域中的通解代入上两式,可以得到:把两个区域中的通解代入上两式,可以得到:21ABDkABiDk21211212kDAikkDBik11222111122()k xk xk xkkDDieiekkxDe0 x0 x于是于是另外,势能在全区域有限,且波函数和能量
18、另外,势能在全区域有限,且波函数和能量E 也有限,从而波也有限,从而波函数的二阶导数也将有限。因此,要求其一阶导数连续,有:函数的二阶导数也将有限。因此,要求其一阶导数连续,有:D为任意常数,它取决于波函数振幅的大小,可由归一化条件确定 物理意义:物理意义:X0,它们的概率密度为:它们的概率密度为:22(,)(,)k xx tx tD D e在此区域随在此区域随x x的增大而随指数快速衰减,但在的增大而随指数快速衰减,但在x=0 x=0的附近不为零的附近不为零。表明,在表明,在X0的区域有一定的几率能够发现或找到粒子的可能!的区域有一定的几率能够发现或找到粒子的可能!由上式可知,出现这种几率只
19、在由上式可知,出现这种几率只在x=0 x=0的很小的区域内,即的很小的区域内,即21xk)(2102EVmk它常称为:透入距离范围内才有显著的值,超过此范围将快速趋于零范围内才有显著的值,超过此范围将快速趋于零 在经典物理中,如果粒子的总能量小于势阱的高度,在经典物理中,如果粒子的总能量小于势阱的高度,粒子由于无法越过这一能量差而只能在势阱之内运动,粒子由于无法越过这一能量差而只能在势阱之内运动,要想越过这个势能区是完全不可能的!要想越过这个势能区是完全不可能的!但按照量子力学理论给出,其势能大于总能量的区域但按照量子力学理论给出,其势能大于总能量的区域内,即势阱之外,波函数并不等于零。内,即
20、势阱之外,波函数并不等于零。说明粒子仍有一定的概率密度,虽然这个概率密度是说明粒子仍有一定的概率密度,虽然这个概率密度是以指数规律随进入该区域的深度而快速减小的,但它以指数规律随进入该区域的深度而快速减小的,但它可以穿透势阱壁进入势阱之外的区域。可以穿透势阱壁进入势阱之外的区域。如何理解量子力学给出的这一结果?为什么粒子的动如何理解量子力学给出的这一结果?为什么粒子的动能可能有负值?能可能有负值?在在区(区(EV0)xkeDx2222)(kx21可以看做粒子进入该区域的典型深度,在该处发现粒子的概率可以看做粒子进入该区域的典型深度,在该处发现粒子的概率已降为已降为1/e1/e。该距离我们可以认
21、为是在此区域内发现粒子的位置。该距离我们可以认为是在此区域内发现粒子的位置不确定度。即不确定度。即)(22210EVmkx这要归之于这要归之于不确定关系不确定关系!根据不确定关系,粒子在这段距离内的动量不确定度为:根据不确定关系,粒子在这段距离内的动量不确定度为:粒子进入的速度可以认为是粒子进入的速度可以认为是)(20EVmxpmEVmpvv)(20于是粒子进入的时间不确定度为:于是粒子进入的时间不确定度为:)(40EVvxt由此,按由此,按能量时间能量时间不确定关系式,粒子能量的不确定度为不确定关系式,粒子能量的不确定度为此时,粒子的总能量将是此时,粒子的总能量将是)(220EVtEEVVE
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