第八讲多元微积分（下）参考模板范本.doc

1、第八讲 多元微积分（下）考纲要求1.理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法.2.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.3.了解二元函数的二阶泰勒公式.4.会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）.5.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系.6.掌握计算两类曲线积分的方法.7.掌握格林公式并会用平面曲线积分与路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数.8.了解两类曲面积分的概念、性质及两类曲面积分的关系，掌握计算两类曲面积分的方法，会用高斯公式、斯托克斯公式计算曲面、曲线积分.9.了解散度与旋度的概念，并会计算.10.会用重积分

2、、曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等）.一、方向导数与梯度、向量场的散度与旋度问题1 何谓方向导数？如何计算方向导数？答1.概念 三元函数在点沿方向的方向导数，其中，为的方向余弦.2.计算公式 若函数在点可微，则函数在该点沿任意方向的方向导数都存在，且有，其中，为的方向余弦.3.计算步骤求在点的三个偏导数；求方向向量并单位化，得；代入公式.例题1.求函数在点处沿曲线在这点的内法线方向的方向导数.解 【求方向导数】，曲线的内法向量，单位内法向量，.曲线的法向量，前面的符号由法向量的方向确定. 本题中点处曲线的内法线

3、方向与轴正方向夹角为钝角，故取.2.设是曲面在点处指向外侧的法向量，求在点沿方向的方向导数.(91-1)解 【关键是求出点处的和单位外法向量】， ， ，故.曲面的法向量，前面的符号由法向量的方向（曲面的侧）确定. 本题中曲面在点处指向外侧的法向量与轴正方向夹角为锐角，故取.问题2 数量场的梯度答 关键是理解概念、掌握计算方法.设三元函数在点可微，则称为函数在点的梯度.梯度是一个向量，由于，其中为与的夹角，故梯度的方向是方向导数最大的方向，梯度的模为方向导数的最大值.例题1.设有一平面温度场，场内一粒子从处出发始终沿着温度上升最快的方向运动，试建立粒子运动所满足的微分方程，并求出粒子运动的路径方

4、程.解 【利用梯度的性质】设是粒子运动的路径上任意一点温度上升最快的方向即该点的梯度方向，粒子运动的路径的方向（切线方向），故，初始条件为，由，得，故粒子运动的路径为.2.设有一小山，取它的底面所在的平面为面，其底面所占的区域为，小山的高度函数为设为区域上一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式；现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点，也就是说，要在的边界线上找出使中达到最大值的点试确定攀登起点的位置.解 ； 方向导数的最大值；求在上的最大值，令解驻点方程即得驻点，又在上的最大值存在，且，故为所求的攀登起点.

5、习题1.（96-1-2）函数在处沿点指向点方向的方向导数为 .【】解 【关键是求出函数在点处的和与同向的单位向量】， ， ，故.2.直线是直线在平面上的投影，求函数在点沿直线的方向导数，规定与轴正向夹角为锐角的方向为的方向.解 【提示：关键是求出点处的grad和与同向的单位向量】投影面过直线，设它的方程为，其法向量与平面的法向量垂直，故，即，故投影面方程为，即，直线的方程为其方向向量在点处，故.3.设一礼堂的顶部为一个半椭球面，其方程为，求下雨时过屋顶上点处的雨水流下的路线方程.解 设雨水流动的路线在上的投影曲线方程为，雨水沿着下降最快的方向即沿着的梯度的反方向流动，故上任一点处的切线平行于g

6、rad，从而有，即，将，代入，得，故，雨水流动的路线方程为问题3 向量场的散度与旋度答 考纲要求了解散度与旋度的概念，并会计算.1.设向量场，称div为在点处的散度.2.向量场，称为在点处的旋度.例题1.向量场在点处的散度 .【】解 【求向量场的散度】，故.2.设数量场 ，则 .【】解 【求梯度场的散度】，由于函数关于自变量对称，故，故.3.设具有二阶连续偏导数，则 . 【】解 【求梯度场的旋度】，.二、偏导数的几何应用问题4 如何求曲线的切线和法平面方程？答 求切线方程的关键是：切点和切向量（切线的方向向量）.1.空间曲线在点处的切向量.切线方程为.法平面是过切点且与切线垂直的平面，其方程为

7、.2.如果空间曲线方程为，则它在处切向量.问题5 如何求曲面的切平面和法线？答 求切平面的关键是：切点和法向量.1.曲面：在处的法向量为切平面方程为.法线是过切点且垂直于切平面的直线，其方程为.2.如果曲面方程为，即，则它在处的法向量.例题1.曲面与平面平行的切平面方程为 .解 设切点为，其中，则切平面法向量平行于平面的法向量，故， 解得，所求切平面方程为，即.2.曲线在哪些点的切线平行于平面？解 曲线的切向量垂直于平面的法向量，即，即，解得，故此曲线在点和的切线平行于平面.3.设直线在平面上, 而平面与曲面相切于,求.解 平面与曲面相切于，其法向量，平面的方程为，直线：的方向向量，直线的方程

8、中，令，得，代入，得，故.习题1.曲线在处的切线方程为 ，法平面方程为 .解 曲线在处的切向量为，切线方程为，法平面方程为，即. 2.试求正数的值，使得曲面与曲面在某一点相切.解 【切平面问题，关键是切点和法向量】设两曲面的公切点为，它们的法向量分别为，又，故，又，故，故.3.设函数在点附近有定义，且，则（）.【C】（A）（B）曲面在点的法向量为（C）曲线在点的切向量为（D）曲线在点的切向量为解 函数在点偏导数存在，不能推出在点可微，排除A.曲面在点的法向量排除B. 曲线在点的切向量，故选择C.三、三重积分三重积分的概念、性质类似定积分，重点是计算.问题5 如何用直角坐标计算三重积分？答 用直

9、角坐标计算三重积分的方法有两种：坐标面投影法和坐标轴投影法.1.坐标面投影法（先一后二法）若是型区域，即，且，则.计算步骤如下：画出的图形；确定积分限（投影找区域，穿刺找底面）： ；计算积分.当的图形不易画出时，可以只画出的投影区域的图形.2.坐标轴投影法（先二后一法、截面法）设空间闭区域，其中是竖标为的平面截闭区域所得到的一个平面闭区域（截面），则.计算步骤如下：画出的图形；确定积分限（投影找区间，垂直找截面）：计算积分.当时，其中为的面积.问题6 如何用柱面坐标计算三重积分？答 若的投影域为圆域、环域及其部分域，被积函数含有，常用柱面坐标计算. 公式如下：设：，则.问题7 如何用球面坐标计

10、算三重积分？答 若为球域及其部分域，被积函数含有，常用球面坐标计算. 对于常见球域，读者务必掌握确定积分限的方法.若：，则.若：，则问题8 如何利用对称性简化三重积分的计算？答 若关于面对称，关于是奇函数，则；若关于面对称，关于是偶函数，则.若关于对称（即互换，不变），则.问题9 计算三重积分的步骤答 步骤如下：画出的图形（根据积分区域、被积函数考察对称性、选择坐标系、选择积分次序）；确定积分限（关键）；计算积分.例题1.求，其中由曲面围成.【】解 【用坐标面投影法计算，关键是确定积分限：投影找区域，穿刺找底面】的投影域由围成，故.2.求，其中为.解 【用坐标轴投影法计算，关键是确定积分限：投

11、影找区间，垂直找截面】截面：，.3.求，由曲面围成.解 【先利用对称性，再利用柱坐标或者球坐标计算】关于面对称，【用柱坐标计算】的投影域：，故.【用球坐标计算】，故.4.求，由围成.【】解 【先利用积分的可加性，再利用柱坐标计算】设由围成，由围成，则 .5.设区域，则下列等式成立的是（）.（A）（B）（C）（D）解 选择C，因为积分区域关于面、面对称，被积函数关于和都是偶函数，故.6.设区域，则 . 【】解 关于自变量对称，.习题1.求，由曲线，绕轴旋转一周所成曲面与围成.解 旋转抛物面方程为，投影域为：，用柱面坐标计算，.2.设在0,1上连续，证明.证 设，只要证.3.连续,，求及.解 的投

12、影域：，下底面，上底面，利用柱坐标计算，得，.4.（03-1）设函数连续且恒大于零，其中，.讨论在区间内的单调性；证明当时，.解 用球坐标计算，用极坐标计算，由对称性，.，令，连续且恒大于零，递增，递增.只要证明：当时，即.令，递增，又在上连续，故，即.四、第一类曲线积分（概念、性质类似二重积分）问题10 如何计算第一类曲线积分？答 利用曲线的参数方程将第一类曲线积分化为定积分是计算第一类曲线积分的基本方法，计算步骤如下：写出曲线的参数方程：；根据计算公式将曲线积分表为定积分（把、依次换为、，并注意积分下限小于积分上限）：；计算定积分.将曲线积分化为定积分的关键是写出曲线的参数方程. 读者应熟

13、悉曲线的直角坐标方程、极坐标方程、面交式方程化为参数方程的方法.若平面曲线由直角坐标方程给出，则选取为参数，积分区间为；若平面曲线由极坐标方程给出，则选取为参数，积分区间为；若空间曲线由一般式（面交式）方程给出，则可先写出它的投影曲线的参数方程，再写出空间曲线的参数方程.计算第一类曲线积分时，还可以利用曲线的方程简化被积函数（此方法仅仅适用于曲线、曲面积分），利用对称性简化第一类曲线积分的计算：若曲线关于轴对称，关于是奇函数，则；若曲线关于轴对称，关于是偶函数，则；若曲线关于，对称（交换、，的方程不变），则，特别.例题1设为椭圆，其周长记为，则 .解 【利用对称性和曲线方程简化计算】由对称性知

14、，的方程为，即，故，所以.2.设为球面与平面的交线，求曲线积分.解 【利用对称性和曲线方程简化计算】关于具有轮换对称性，故.习题1.设为下半圆周，则 .【】解 利用曲线方程，.2.求，其中为.【】解 曲线关于对称，.3.求，其中为圆周.【】解 在曲线上，且曲线关于轴对称，故，其中：，.4.求，其中为圆周，直线，轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.【】解 ，其中：，：，：利用曲线方程，化为定积分，故.五、第二类曲线积分（变力沿曲线所作的功）问题11 第二类曲线积分的概念与性质.答 要结合变力沿曲线所作的功理解第二类曲线积分的概念与性质.1.定义 向量值函数在定向曲线上的积分（第二类曲线积分），

15、其中为曲线的单位切向量.规定 切向量的方向与曲线的方向一致.2.性质线性性；可加性；方向性：；垂直性：若曲线垂直于轴，则型积分；若曲线垂直于轴，则型积分.问题12 如何计算第二类曲线积分？答 计算第二类曲线积分的基本方法是利用曲线的参数方程化为定积分，步骤如下：写出曲线的参数方程：，从到；根据计算公式将曲线积分表为定积分（注意积分下限对应起点，积分上限对应终点）：；计算定积分.此外，常常利用格林公式、斯托克斯公式、曲线积分与路径无关计算第二类曲线积分.计算第二类曲线积分时，还可以利用曲线的方程简化被积函数；利用垂直性简化第二类曲线积分的计算.例题1.在过点和的曲线族中，求一条曲线，使得从到的积

16、分的值最小.解 【先利用参数方程计算曲线积分，再求最小值】曲线的参数方程为，令，解得，故时，最小. 所求曲线为，.2.设是椭球面上第一卦限点，在力的作用下，质点由原点沿直线运动到点，问当取何值时，力所作的功最大？并求功的最大值.解 【先利用第二类曲线积分求功，再求功的最大值】从原点到点的直线段的参数方程为，从到，力所作的功再求在条件下的最大值.令，解驻点方程得惟一驻点.由实际问题知，功的最大值存在. 故当时，力所作的功最大，功的最大值为.问题13 如何利用格林公式计算平面上第二类曲线积分？答 设有界闭区域的边界曲线由分段光滑的曲线组成，函数在上有连续的偏导数，则有格林公式，其中为的正向边界曲线

17、.使用格林公式时要先验证格林公式的条件（封闭性、方向性、连续性）：为闭曲线正向，在上有连续的偏导数.要掌握不满足条件时的处理方法：当不是闭曲线时，应添加辅助线使其封闭，当在内某个点不满足条件时，应作辅助线将其挖去.例题1.求，为从点沿到点的弧.解 【从被积函数和积分曲线看，直接计算较为困难，考虑用格林公式】，作辅助曲线：，从到，由格林公式得，.2.求，是以（1，0）为中心，（1）为半径的圆周，取逆时针方向.解 【从被积函数和积分曲线看，化为定积分计算较为困难，考虑用格林公式】，在围成的区域内作椭圆：，取顺时针方向，由格林公式得，故.习题1.（04-1）设为正向圆周在第一象限中的部分，则曲线积分

18、的值为 .【】2.求，其中为，取逆时针方向.解 （利用曲线方程）（利用格林公式）（利用对称性）3.求，为单位圆的正向.解 在单位圆内作椭圆：，取顺时针方向，设和所围成的区域为，所围成的区域为，由格林公式，得，故.4.（03-1）已知平面区域，为的正向边界. 试证：；.【化为定积分或者用格林公式】证 由格林公式，得，又关于对称，故.关于对称，故（格林公式）.本题可以改为证明：.证明如下： （格林公式）（因为关于对称，）.（因为）.5.（08-1）计算曲线积分，其中是曲线上从点到点的一段.【】解 【考查第二类曲线积分】化为定积分，得.本题还可以用格林公式计算.问题14 如何利用斯托克斯公式计算空间

19、上第二类曲线积分？答 设光滑或者分片光滑的定向曲面的边界是分段光滑的闭曲线，函数在上有一阶连续偏导数，则有斯托克斯公式，其中的方向与的侧符合右手规则，是的法向量的方向余弦.当曲线为平面与曲面的交线（截交线）时，可考虑用斯托克斯公式，这时，通常取曲面为，其单位法向量，前面的正负号由的侧确定.例题 求，其中是 从轴正向往轴负向看，的方向是顺时针的.解 【利用斯托克斯公式化为第二类曲面积分计算或者利用参数方程化为定积分计算】（方法一）利用斯托克斯公式化为第二类曲面积分计算取为平面的下侧，单位法向量，投影域为：，由斯托克斯公式，得（方法二）利用参数方程化为定积分计算曲线的参数方程为：，从到，.问题15

20、 平面上曲线积分与路径无关的条件是什么？答 设为单连通区域，函数在上连续，且有一阶连续偏导数，则下列命题等价：曲线积分在内与路径无关；对于内任一分段光滑闭曲线，有；在内存在函数，使得或者grad；在内恒成立.二元函数全微分的原函数可以用如下公式计算：，积分路径通常取从到，再到的折线段.例题1.（98-1）确定,使右半平面的向量为某二元函数的梯度，并求.【】解 右半平面的向量grad，得，由，得，积分路径取从到，再到的折线段，故.2.（95-1）设，曲线积分与路径无关，且对于任意的都有，求.【】解 由曲线积分与路径无关，得，积分路径取从到，再到的折线段，积分路径取从到，再到的折线段，故，对求导，

21、得，所以.习题1.（05-1）设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数.证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有；求函数的表达式.【】证 对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，记作，其中为曲线上逆时针方向的任意四点，用曲线连接，使曲线包围原点（画出图形）.由题设知，即，即，即.解 ，由知，比较的同次幂系数得，由第一个式子，得，代入第二个式子，得，故，所以.2.（06-1）设在上半平面内，函数具有连续偏导数，且对任意的都有. 证明：对内的任意分段光滑的有向简单闭曲线，都有.证 ，方程两边对求导，得，令，得，故，由格林公式，得.问题16 何谓全微分方

22、程？如何求解全微分方程？答 若微分方程满足：，则称此方程为全微分方程. 求解全微分方程的方法有三种：凑微分法：通过凑微分，得，通解为偏积分法：利用，通过偏积分求出，通解为线积分法：求出，通解为.例题 设函数具有二阶连续导数，且为一全微分方程，求及此全微分方程的通解. 解 由题设知，且，即，即，此方程的特征方程为，特征根为，求得它的一个特解为，其通解为，代入初始条件，解得，故，取积分路径为从到，再到的折线段，则，故全微分方程的通解为五、第一类曲面积分（概念、性质类似二重积分）问题17 如何计算第一类曲面积分？答 计算第一类曲面积分的步骤是：写出曲面的方程；求出曲面在面上的投影区域；利用公式将曲面

23、积分表为二重积分；计算二重积分.在计算第一类曲面积分时，还可以利用曲面的方程简化被积函数；利用对称性简化第一类曲面积分的计算：若关于面对称，关于是奇函数，则；若关于面对称，关于是偶函数，则；若曲面关于，对称（交换、，的方程不变），则.例题1.设曲面：，则 .【】解 （利用对称性）.（利用曲面方程）2.，为在柱体内的部分.（）解 【将第一类曲面积分化为二重积分，首先要确定的方程、投影域、】为，其投影域：，故3.（99-1）设为的上半部分，,为在点处的切平面，为点到平面的距离，求.【】解 在点处的切平面的法向量，切平面的方程为，即，点到平面的距离，为，其投影域为：，故.4.（10-1）设为椭球面：

24、上的动点，若在点处的切平面与面垂直，求点的轨迹，并计算曲面积分，其中是椭球面位于曲线上方的部分.解 【考查第一类曲面积分】设的坐标为，在点处的法向量，它与面垂直，故，所以点的轨迹的方程为消去，得，故的方程为，它在面上的投影域为：，方程两边对求导，得，方程两边对求导，得，.六、第二类曲面积分（流量、通量）问题18 第二类曲面积分的概念与性质答 要结合流量问题理解第二类曲面积分的概念与性质.1.概念 向量值函数在定向曲面上的积分（第二类曲面积分），其中为曲面的单位法向量，方向与的側一致.2.性质线性性；可加性；方向性：；垂直性：若曲线垂直于面，则型积分；若曲线垂直于面，则型积分；若曲线垂直于面，则

25、型积分.问题19 如何利用分面投影法计算第二类曲面积分？答 分面投影法是计算第二类曲面积分的基本方法，计算曲面积分的步骤如下：写出曲面的方程；确定曲面的侧（上側或者下側）；求出曲面在面上的投影区域；表为二重积分，公式中的正负号由曲面的侧确定：上側取正号，下側取负号；计算二重积分.用分面投影法计算第二类曲面积分，首先要确定曲面的方程、方向（上側或者下側）、投影区域.例题1.计算曲面积分，其中为的外側.解 【用分面投影法计算】将分为和，其中为的上侧，为的下侧，它们的投影域均为：.，第二类曲面积分的反向对称性：设曲面关于面对称，側相反，若关于是奇函数，则；若关于面对称，关于是偶函数，则.问题20 如

26、何利用高斯公式计算第二类曲面积分？答 设空间有界闭区域的边界曲面由有限块分片光滑的曲面组成，函数在上有一阶连续偏导数，则有高斯公式，其中为的边界曲面的外侧.使用Gauss公式计算第二类曲面积分时，要验证Gauss公式条件（封闭性、方向性、连续性）：为闭曲面的外侧，函数；要掌握不满足条件时的两种处理方法.例题 1.计算曲面积分，为，其法向量与轴正向夹角为锐角.解 【用高斯公式计算】作辅助曲面：，投影域为：，取下侧.，故.2.计算曲面积分，其中是曲面的外側.【】解 【本题不满足“连续性”条件】作辅助曲面：，取内側，为与之间的部分，为的内部，由高斯公式，.问题21 如何利用两类曲面积分的联系计算第二

27、类曲面积分？答 两类曲面积分的联系是： 其中是曲面的法向量的方向余弦.利用两类曲面积分的联系，可以将第二类曲面积分化为第一类曲面积分计算.例题 计算，其中为连续函数，为平面在第四卦限部分的上侧.解 【化为第一类曲面积分】为平面在第四卦限部分的上侧，单位法向量，.问题22 第二类曲面积分计算方法综述.答 计算第二类曲面积分的方法有：利用高斯公式计算；利用分面投影法计算；化为第一类曲面积分计算.计算第二类曲面积分时，还可以利用曲面的方程简化被积函数；利用垂直性简化第二类曲面积分的计算，利用第二类曲面积分的反向对称性.计算第二类曲面积分时，要根据曲面和被积函数选择适当的方法. 大多数考题是先用挖补法

28、使其满足高斯公式的条件并计算曲面与辅助曲面上的积分，再计算辅助曲面上的积分，计算时常用垂直性、曲面方程和分面投影法.例题1.计算曲面积分，为曲面及，所围立体表面外侧.（）解 将曲面分成，其中为上侧，为下侧，它们的投影域均为：，为外侧.先计算，由垂直于面知，而，故；再计算，由垂直于面知，而，故；再计算，由垂直于面知，为计算，将分为和，其中为的前侧，为的后侧，它们的投影域均为：，故；所以.2.（07-1）计算曲面积分，其中为曲面的上侧.【】解 【用高斯公式计算】作辅助曲面：，投影域为：，取下侧.，（高斯公式）（坐标轴投影法或者截面法）（垂直性），（对称性）故.习题1.设为的上半部分的上侧，则下列式

29、子中错误的是（）.【C】（A）（B）（C）（D）解 【利用第二类曲面积分的反向对称性】选择C.关于面反向对称，A，B，D中的被积函数关于是偶函数，积分为零，结论正确， C中的被积函数关于是奇函数，.2.（06-1）设是锥面的下侧，则 .【】解 设为：上侧，由高斯公式，由垂直性和曲面方程，得，故.3.（05-1）设是由锥面与半球面围成的空间区域，是的整个边界的外侧，则 .【】解 【直接用高斯公式】的投影域为，由高斯公式，得.4.（04-1）计算曲面积分，其中是曲面的上侧.【】解 设为面上圆域：下侧，由高斯公式，由垂直性和曲面方程，得，故.5.求，为下半球面的上侧，其中.【】解 利用曲面方程，设为

30、面上圆域：下侧，由高斯公式，利用垂直性和曲面方程，得，故，所以.6.（09-1）计算曲面积分，其中是曲面的外側.【】解 【考查第二类曲面积分】设是曲面的内側，为与之间的部分，由对称性知，.由高斯公式，得，故.7.设对于半空间内的任意光滑有向封闭曲面，有，在有一阶连续导数，且，求.【】解 【先用高斯公式化为三重积分】对于半空间内的任意光滑有向封闭曲面（取外侧），有，故，即，又，故.8.设是一片定向光滑曲面，面积为，函数，均在上连续，证明：，其中为在上的最大值.证 【化为第一类曲面积分】记，.七、多元积分学的应用问题23 多元积分学在几何上的应用答 多元积分学在几何上的应用有：平面图形的面积；立体

31、的体积；曲面的面积；曲线的弧长；以面上曲线为准线，母线平行于轴的柱面介于与曲面之间的柱面面积.例题1.求上任一点的切平面与所围立体的体积.【】解 设是上任意一点，其中，在该点的法向量，切平面的方程为，即，的投影域：，的体积，令，则：，.2.半径为的球面的球心在球面上，问为何值时，球面在定球面内部的部分面积最大？【】解 设球面的方程为，则在定球面内部的部分的方程为，其投影域：，球面在定球面内部的部分面积，令（舍去），又，故当时，球面在定球面内部的部分面积最大.问题24 多元积分学在物理上的应用答 多元积分学在物理上的应用有：密度为的立体的质量；质心坐标，对轴的转动惯量；对质点的引力引力元素，引力

32、分量，其中密度为的平面薄片、平面曲线、空间曲线、曲面有类似公式.变力沿曲线所作的功；向量场穿过定向曲面的通量.例题1.设有半径为的球体，是此球表面上一点，球体上任一点密度与该点到的距离平方成正比（比例常数0），求球体重心位置.【定点为原点,】解 设定点为原点，球体：，其上任一点的密度， 的质量， ，故球体重心位置位置为.2.设有半径为的球体，它在点处的密度与该点到球心的距离成正比，比例系数为，求球体对它的直径的转动惯量.【】解 设球体为，则所求转动惯量 .3.设位于点质点对质点的引力大小为求沿自运动到过程中对所作的功.【】解 质点对质点的引力为，其中，对所作的功，故，曲线积分与路径无关，取积分路径为从到的直线段，得对所作的功.5.（01-1）设有一高度为（表示时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数为0.9），问高度为130厘米的雪堆全部融化需要多少小时？（01-1，）解 设雪堆为，体积为，側面积为，：，则，.由题意知，所以，由得，故，令，得.因此高度为130厘米的雪堆全部融化需要小时.341 / 45