2.1数列的概念与简单表示法（一）参考模板范本.doc

1、21数列的概念与简单表示法（一）一、教学目标：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.二、教学重点、教学难点：重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.三、教学过程：导入新课 “有人说，大自然是懂数学的”“树木的，。”， （一）、复习准备：1. 在必修课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“”，再取一半还剩“”，、，如

2、此下去，即得到1，、2. 生活中的三角形数、正方形数. 阅读教材提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？（二）、讲授新课：1. 教学数列及其有关概念：（1）三角形数：1，3，6，10，（2）正方形数：1，4，9，16，（2）1，2，3，4的倒数排列成的一列数：（3）-1的1次幂，2次幂，3次幂，排列成一列数：-1，1，-1，1，-1，。（4）无穷多个1排列成的一列数：1，1，1，1，。有什么共同特点？ 1. 都是一列数；2. 都有一定的顺序 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.辩析数列的概念：（1）“1，2，3，4，5”与“5，4

3、，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5”呢？ -数列的有序性（2）数列中的数可以重复吗？（3）数列与集合有什么区别？集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。 数列中每一个数叫数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、排在第位的数称为这个数列的第项. 数列的一般形式可以写成，简记为. 数列的分类：(1)按项数分：有穷数列与无穷数列，(2)按项之间的大小关系：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列. 数列中的数与它的序号有怎样的关系？ 序号可以看作自变量，数列中的数可以看作随着变动的量。把数列看作函数。 即

4、：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值。反过来，对于函数，如果有意义，可以得到一个数列： 如果数列的第n项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。函数数列（特殊的函数）定义域R或R的子集或它的子集解析式图象点的集合一些离散的点的集合2应用举例例1、写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1） （2） 2，0，2，0练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 7, 9, 11,； (2) , , , , , ；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,；

5、 (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ；(5) 2, 6, 18, 54, 162, .例2. 写出数列的一个通项公式，并判断它的增减性。思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？例3根据下面数列的通项公式，写出前五项：（1） （2）例4求数列中的最大项。例5已知数列的通项公式为，求是这个数列的第几项？三. 小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.四、巩固练习：1. 练习：P31面1、2、题、2. 作业： 2.1 数列的概念与简单表示法（二）教学目标：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出

6、数列的前几项；理解数列的前n项和与的关系.教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前几项.教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.教学过程：一、复习：1).以下四个数中,是数列中的一项的是 ( A )A.380 B.39 C.32 D.182).设数列为则是该数列的 ( C )A.第9项 B. 第10项 C. 第11项 D. 第12项 3).数列的一个通项公式为4）、图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基（Sierpinski）三角形。在下图4个三角形中，着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。二、探究新知（一）、观察以下数列，并写出其

7、通项公式： 思 考： 除了用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？（二）定义：已知数列的第一项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式.练习: 运用递推公式确定一个数列的通项： 例1:已知数列的第一项是1,以后的各项由公式给出,写出这个数列的前五项解:练习: 已知数列的前n项和为:求数列的通项公式.例2.已知,求.解法一: - 观察法解法二: -累加法例3:已知,求.解法一: 归纳法 解法二: -迭乘法 三、课堂小结： 1.递推公式的概念；2.递推公式与数列的通项公式的区别是：(1)通项公式反映的是项与项数之间的关

8、系，而递推公式反映的是相临两项(或n项)之间的关系.(2)对于通项公式,只要将公式中的n依次取即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项（或前n项），才可依次求出其他项.3用递推公式求通项公式的方法：观察法、累加法、迭乘法.四、作业1.阅读教材P28-33面2. 22 等差数列(一)一、教学目标1知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题； 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导，归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差

9、数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中二、教学重、难点重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式； 难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。三、教学设想创设情景 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们先学习一类特殊的数列。探索研究 由学生观察分析并得出答案：1、在现实生活中，我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列：0，5，_,_,_,_,2、2000年，在澳大利亚悉尼举行的奥运会上，女子举重被正式列为比赛项目。该项目共设置了7个级别。其

10、中较轻的4个级别体重组成数列（单位：kg）：48，53，58，63。3、水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清理水库的杂鱼。如果一个水库的水位为18cm，自然放水每天水位降低2.5m，最低降至5m。那么从开始放水算起，到可以进行清理工作的那天，水库每天的水位组成数列（单位：m）：18，15.5，13，10.5，8，5.54、我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=本金（1+利率寸期）.例如，按活期存入10 000元钱，年利率是0.72%。那么按照单利，5年内各年末的本利和分别是：时间年初本金

11、（元）年末本利和（元）第1年10 00010 072第2年10 00010 144第3年10 00010 216第4年10 00010 288第5年10 00010 360各年末的本利和（单位：元）组成了数列：10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360。思考：同学们观察一下上面的这四个数列：0，5，10，15，20， 48，53，58，63 18，15.5，13，10.5，8，5.5 10 072，10 144，10 216， 10 288，10 360 看这些数列有什么共同特点呢？引导学生观察相邻两项间的关系， 由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与

12、前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。 等差数列的概念等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，72。注意：公差d一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；对于数列 ,若 =d (d是与n无关的数或字母)，n2，nN ，则此数列是等差数列，d 为公差；(3)若d=0, 则该数列为常数列提问：（1）你能举一些生活中的等差数列的例子吗？（2）如果在与中间插入一个数A，使，A，成等差数

13、列数列，那么A应满足什么条件？由学生回答：因为a，A，b组成了一个等差数列，那么由定义可以知道：A-a=b-A 所以就有 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。如数列：1，3，5，7，9，11，13中 ，5是3和7的等差中项，1和9的等差中项。9是7和11的等差中项，5和13的等差中项。看来，从而可得在一等差数列中，若m+n=p+q 则 等差数列的通项公式提问：对于以上的等差数列，我们能不能用通项公式将它们表示出来呢？ 、我们是通过研究数列的第

14、n项与序号n之间的关系去写出数列的通项公式的。下面由同学们根据通项公式的定义，写出这四组等差数列的通项公式。由学生经过分析写出通项公式： 猜想得到这个数列的通项公式是 猜想得到这个数列的通项公式是 猜想得到这个数列的通项公式是 猜想得到这个数列的通项公式是、那么，如果任意给了一个等差数列的首项和公差d，它的通项公式是什么呢？ 引导学生根据等差数列的定义进行归纳： （n-1）个等式 所以 思考：那么通项公式到底如何表达呢？ 得出通项公式：以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为： 也就是说，只要我们知道了等差数列的首项和公差d，那么这个等差数列的通项就可以表示出来了。选讲：除此之外，还可以用迭加

15、法和迭代法推导等差数列的通项公式：（迭加法）： 是等差数列， （迭代法）：是等差数列，则有 所以 两边分别相加得 所以 所以 例题分析例1、求等差数列8，5，2，的第20项.-401是不是等差数列-5，-9，-13，的项？如果是，是第几项？解：由=8，d=5-8=-3，n=20，得 由=-5，d=-9-（-5）=-4，得这个数列的通项公式为由题意知，本题是要回答是否存在正整数n,使得-401=-4n-1成立。 解这个关于n的方程，得n=100，即-401是这个数列的第100项。例2：（1）在等差数列中，已知，求首项与公差d；（2）已知数列为等差数列，求的值.解：(1)解法一：，则 所以，这个等

16、差数列的首项是2，公差是3 解法二：, 由 得所以，这个等差数列的首项是2，公差是3例3：梯子最高一级宽33cm，最低一级宽为110cm，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽度解：设表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列，由已知条件，可知：=33, =110，n=12,即10=33+11 解得： 因此，答：梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm，47cm，54cm，61cm，68cm，75cm，82cm，89cm，96cm，103cm.例4：三个数成等差数列,它们的和为18,它们的平方和为116,求这三个数.解：设这三个数为a-d,a,a+d则解得这三个数依次为4，6，8或

17、8，6，4注（1）设未知数时尽量减少未知数的个数.（2）结果应给出由大到小和由小到大两种情况.例5：已知四个数成等差数列,它们的和为28,中间两项的积为40,求这四个数.解：设这个数为a-3d, a-d, a+d,a+3d则解得: 或这四个数依次为-2,4,10,16或16,10,4,-2.例6某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元。如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？解：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元.所以，我们可以建立一个等差数列

18、来计算车费. 令=11.2，表示4km处的车费，公差d=1.2。那么当出租车行至14km处时，n=11，此时需要支付车费 答：需要支付车费23.2元。随堂练习 课本39页“练习”第1、2题； 课堂小结等差数列定义：即(n2)等差数列通项公式：(n1)推导出公式：四、作业2.2等差数列（二）一、教学目标1、掌握判断数列是否为等差数列常用的方法；2、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用3、进一步熟练掌握等差数列的通项公式、性质及应用二、教学重点、难点重点：等差数列的通项公式、性质及应用难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题三、教学过程（一）、复习1等差数列的定义2等差数列的通项

19、公式： (或 =pn+q (p、q是常数)3有几种方法可以计算公差d: d= d= d=4. an是首项a1=1, 公差d=3的等差数列, 若an =2005,则n =( ) A. 667 B. 668 C. 669 D. 6705. 在3与27之间插入7个数, 使它们成为等差数列,则插入的7个数的第四个数是( ) A. 18 B. 9 C. 12 D. 15 （二）新课1性质：在等差数列an中,若m + n=p + q, 则am + an = ap + aq 特别地,若m+n=2p, 则am+an=2ap例1. 在等差数列an中 (1) 若a5=a, a10=b, 求a15; (2) 若a3

20、+a8=m, 求a5+a6; (3) 若a5=6, a8=15, 求a14; (4) 若a1+a2+a5=30, a6+a7+a10=80,求a11+a12+a15.解: (1) 2a10=a5+a15,即2b=a+a15 , a15=2ba;(2) 5+6=3+8=11,a5+a6=a3+a=m(3) a8=a5+(83)d, 即15=6+3d, d=3，从而a14=a5+(14-5)d=6+93=33 2判断数列是否为等差数列的常用方法：（1） 定义法: 证明an-an-1=d (常数)例2. 已知数列an的前n项和为Sn=3n2-2n, 求证数列an成等差数列,并求其首项、公差、通项公式

21、.解: 当n=1时,a1=S1=32=1; 当n2时,an=SnSn1=3n22n 3(n1)22(n1)=6n5; n=1时a1满足an=6n5,an=6n5 首项a1=1,anan1=6(常数) 数列an成等差数列且公差为6.（2）中项法: 利用中项公式, 若2b=a+c,则a, b, c成等差数列.（3）通项公式法: 等差数列的通项公式是关于n的一次函数.例3. 已知数列的通项公式为其中p、q为常数，且p0，那么这个数列一定是等差数列吗？分析：判定是不是等差数列，可以利用等差数列的定义，也就是看（n1）是不是一个与n无关的常数。解：取数列中的任意相邻两项（n1），求差得 它是一个与n无关

22、的数.所以是等差数列。课本左边“旁注”：这个等差数列的首项与公差分别是多少？这个数列的首项。由此我们可以知道对于通项公式是形如的数列，一定是等差数列，一次项系数p就是这个等差数列的公差，首项是p+q.如果一个数列的通项公式是关于正整数n的一次型函数，那么这个数列必定是等差数列。探究引导学生动手画图研究完成以下探究：在直角坐标系中，画出通项公式为的数列的图象。这个图象有什么特点？在同一个直角坐标系中，画出函数y=3x-5的图象，你发现了什么？据此说一说等差数列与一次函数y=px+q的图象之间有什么关系。分析：n为正整数，当n取1，2，3，时，对应的可以利用通项公式求出。经过描点知道该图象是均匀分

23、布的一群孤立点；画出函数y=3x-5的图象一条直线后发现数列的图象（点）在直线上，数列的图象是改一次函数当x在正整数范围内取值时相应的点的集合。于是可以得出结论：等差数列的图象是一次函数y=px+q的图象的一个子集，是y=px+q定义在正整数集上对应的点的集合。该处还可以引导学生从等差数列中的p的几何意义去探究。三、课堂小结： 1. 等差数列的性质； 2. 判断数列是否为等差数列常用的方法四、课外作业1.教材第39页练习第4、5题2.2.3等差数列的前n项和（一）一、教学目标1、等差数列前n项和公式2、等差数列前n项和公式及其获取思路；3、会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关

24、的问题二、教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题三、教学过程（一）、复习引入：1等差数列的定义： =d ，（n2，nN）2等差数列的通项公式：（1） （2） （3） =pn+q (p、q是常数)3几种计算公差d的方法： 4等差中项：成等差数列5等差数列的性质： m+n=p+q (m, n, p, q N )6数列的前n项和：数列中，称为数列的前n项和，记为.“小故事”高斯是伟大的数学家，天文学家，高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+100=?”过了两分钟,正当大家在：1+2=3；3+3

25、=6；4+6=10算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+100=5050”教师问：“你是如何算出答案的？”高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；50+51=101，所以 10150=5050”这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西（2）该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法 二、讲解新课： 1等差数列的前项和公式1：证明： +： 由此得： 2 等差数列的前项和公式2： 用上述公式要求必须具备三个条件： 但 代入公式1即得： 此公

26、式要求必须已知三个条件： 总之：两个公式都表明要求必须已知中三个公式二又可化成式子： ，当d0，是一个常数项为零的二次式三、例题讲解例1、(1)已知等差数列an中, a1 =4, S8 =172,求a8和d ;(2)等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？解：(1) (2)设题中的等差数列为，前n项为 则 由公式可得 . 解之得：（舍去）等差数列-10，-6，-2，2前9项的和是54例2、教材P43面的例1解：例3求集合的元素个数，并求这些元素的和 解：由得 正整数共有14个即中共有14个元素 即：7，14，21，98 是等差数列 答：略例4、等差数列的前项和为，若，求.（学生练学

27、生板书教师点评及规范）练习：在等差数列中，已知，求.在等差数列中，已知，求.例4已知等差数列an前四项和为21,最后四项的和为67,所有项的和为286,求项数n.解：依题意，得 两式相加得 又所以 又，所以n=26例5已知一个等差数列an前10项和为310,前20项的和为1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项的和吗？.思考：（1）等差数列中，成等差数列吗？（2）等差数列前m项和为,则、.、是等差数列吗？练习：教材第118页练习第1、3题三、课堂小结：1.等差数列的前n项和公式1： ；2.等差数列的前n项和公式2：四、课外作业：1.阅读教材第4245页；2. 2.3 等差数列的前项和（二

28、）教学目标：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值.如果An，Bn分别是等差数列an，bn的前n项和，则教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学过程：一、 复习准备：1、等差数列求和公式：，2、在等差数列an中 (1) 若a5=a, a10=b, 求a15; (2) 若a3+a8=m, 求a5+a6; (3) 若a5=6, a8=15, 求a14; (4) 若a1+a2+a5=30, a6+a7+a10=80,求a11+a12+a15.二、讲授新课

29、：1、探究：等差数列的前项和公式是一个常数项为零的二次式.例1、已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？【结论】数列的前项和与的关系：由的定义可知，当n=1时，=；当n2时，=-，即=.练习：已知数列的前项和，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？ 探究：一般地，如果一个数列的前n项和为，其中p、q、r为常数，且，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（是，）.由此，等差数列的前项和公式可化成式子：，当d0，是一个常数项为零的二次式.2. 教学等差数列前项和的最值问题： 例题讲解：例2、数列是等差数列，

30、. （1）从第几项开始有；（2）求此数列的前 项和的最大值. 结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1） 当0，d0，前n项和有最大值可由0，且0，求得n的值；当0，前n项和有最小值可由0，且0，求得n的值.（2）由利用二次函数配方法求得最值时n的值.练习：在等差数列中, 15, 公差d3, 求数列的前n项和的最小值.例3、已知等差数列的前n项的和为，求使得最大的序号n的值。 归纳：（1）当等差数列an首项为正数，公差小于零时，它的前n项的和为有最大值，可以通过 求得n（2）当等差数列an首项不大于零，公差大于零时，它的前n项的和为有最小值，可以通过 求得n三、课堂小结：求等差数列前n项

31、和的最值问题常用的方法有：（1）满足的n值；（2）由利用二次函数的性质求n的值；（3）利用等差数列的性质求四、课外作业： 作业： 补充题：（依情况而定）1(1)已知等差数列an的an243n，则前多少项和最大？(2)已知等差数列bn的通项bn2n-17,则前多少项和最小?解：(1)由an243n知当时，当时，前8项或前7项的和取最大值.(2)由bn2n17n知当时，当时， 前8项的和取最小值.2. 数列an是首项为正数a1的等差数列,又S9= S17.问数列的前几项和最大?解:由S9= S17得9a5=17 a9,说明:3首项为正数的等差数列an,它的前3项之和与前11项之和相等,问此数列前多

32、少项之和最大?解法一:由S3=S11 得: 解之得故当n=7时, Sn 最大,即前7项之和最大.解法二:由 解得:，所以n=7,即前7项之和最大.解法三:由知: an是递减的等差数列.又S3=S11, 必有，前7项之和最大4已知等差数列an,满足an =40-4n ,求前多少项的和最大?最大值是多少?解法一:由解法二:令5已知等差数列an，3 a5 =8 a12， a10, 5;3判断等比数列的常用方法：定义法，中项法，通项公式法例3已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列.证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n项与第n+1项分别它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1

33、q2为公比的等比数列. 思考；（1）an是等比数列，C是不为0的常数，数列是等比数列吗？ （2）已知是项数相同的等比数列，是等比数列吗？4等比数列的增减性：当q1, a10或0q1, a11, a10,或0q0时, an是递减数列;当q=1时, an是常数列;当q0时, an是摆动数列 思考：通项为的数列的图象与函数的图象有什么关系？三、例题讲解例4 已知无穷数列， 求证：（1）这个数列成等比数列； （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的； （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中证：（1）（常数）该数列成等比数列 （2），即： （3）， 且，（第项）四、练习：教材第53页第3、4题五、课堂小结： 1.等比中项的定义；2.等比数列的性质；3判断数列是否为等比数列的方法六、课外作业1.阅读教材第52页；2. 2.5等比数列的前n项和（一）教学目标（五） 知识与技能目标等比数列前n项和公式（六） 过程与能力目标3 等比数列前n项和公式及其获取思路；4 会用等比数列的