2020年高中物理竞赛—量子物理篇(进阶版)19-8波函数、薛定谔方程、一维势阱(共45张PPT).ppt
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1、2020年高中物理竞赛量子物理篇(进阶版)19-8波函数、薛定谔方程、一维势阱(共45张PPT)YE.E.薛定谔薛定谔 Y量子力学的量子力学的 广泛发展广泛发展用指数形式表示:用指数形式表示:19-8 19-8 波函数波函数 薛定谔方程薛定谔方程)(2cos)(2cos),(txAxtAtxy )(2),(xtiAetxy 单色平面简谐波波动方程为:单色平面简谐波波动方程为:一、波函数一、波函数一个沿一个沿x轴正向运动,能量为轴正向运动,能量为E,动量为,动量为P的自由粒子对的自由粒子对应于沿应于沿x轴正向传播的单色平面物质波,其波函数为:轴正向传播的单色平面物质波,其波函数为:)2cos()
2、,(xtAtx利用尤拉公式:利用尤拉公式:ixexix sincos其中:其中:1 i为虚数单位。为虚数单位。可将波函数写成复数形式:可将波函数写成复数形式:)(iexp)expi()2exp-i(EtpxAtkxAxtA)t,x(E,kph,k22物质波用什么样的波函数描述?物质波用什么样的波函数描述?(下一页)(下一页)沿沿x方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写,方向运动的自由粒子束可用单色平面波来描写,其波函数为:其波函数为:)(20),(xtietx hEph )pxEt(i0e)t,x(微观粒子具有波动性,其运动状态应该用微观粒子具有波动性,其运动状态应该用波函数来描写。波函数来
3、描写。其中波函数模的平方为:其中波函数模的平方为:2)rpEt(i0)rpEt(i0ee 20 )rpEt(i0e)t,r(波函数可写为:波函数可写为:考虑到自由粒子沿考虑到自由粒子沿方向传播的方向传播的三维情况三维情况,rY M.M.玻恩玻恩 Y对量子力学的对量子力学的基础研究,特基础研究,特别是量子力学别是量子力学中波函数的统中波函数的统计解释计解释二、玻恩的统计解释二、玻恩的统计解释 1926 1926年,德国物理学家玻恩(年,德国物理学家玻恩(Born,1882-1972)Born,1882-1972)提出了德布罗意波的统计解释,提出了德布罗意波的统计解释,认为波函数体现了发认为波函数
4、体现了发现粒子的概率(几率)现粒子的概率(几率),这是每个粒子在它所处环境,这是每个粒子在它所处环境中所具有的性质。中所具有的性质。在某处发现一个实物粒子在某处发现一个实物粒子的几率同德布罗意波的几率同德布罗意波 的波函数平方的波函数平方 成正比。成正比。2 如果如果 是复数,就用是复数,就用 代替代替*。2 体积体积 中发现一个粒子的几率为:中发现一个粒子的几率为:ddd*由此由此,代表单位体积内发现一个粒子的代表单位体积内发现一个粒子的几率,因而称几率,因而称几率密度几率密度。*这就是德布罗意波函数的这就是德布罗意波函数的物理意义。物理意义。玻恩提出的波函数与经典的波函数的意义完全不同的。
5、玻恩提出的波函数与经典的波函数的意义完全不同的。经典的波函数意味着有某种实在的物理量的空间经典的波函数意味着有某种实在的物理量的空间分布做周期性的变化,是可测量的。分布做周期性的变化,是可测量的。玻恩提出的波函数一般是不可测量的。可测玻恩提出的波函数一般是不可测量的。可测量的量的,一般是,一般是 。它的含义是几率。它的含义是几率。2 对几率分布来说,重要的是相对几率分布。故对几率分布来说,重要的是相对几率分布。故和和 描述的相对几率分布是完全相同的。描述的相对几率分布是完全相同的。c 经典波的波幅如增加一倍,则相应的波动能量经典波的波幅如增加一倍,则相应的波动能量将为原来的四倍,代表了不同的波
6、动状态。将为原来的四倍,代表了不同的波动状态。dxdydzd 粒子在体积元粒子在体积元内出现的几率为:内出现的几率为:dxdydz)z,y,x(d22 dxdydz)z,y,x()z,y,x(的几率,即的几率,即几率密度几率密度为:为:粒子在粒子在 t 时刻,在时刻,在处单位体积出现处单位体积出现(x,y,z)2这就是玻恩对波函数的统计解释。这就是玻恩对波函数的统计解释。波函数必须满足的条件(称为波函数必须满足的条件(称为标准条件标准条件):):1.单值单值 2.有限有限 3.连续连续在整个空间出现粒子的几率应等于一,所以:在整个空间出现粒子的几率应等于一,所以:称上式为波函数的称上式为波函数
7、的归一化条件。归一化条件。1dxdydz2 用电子双缝衍射实验说明概率波的含义用电子双缝衍射实验说明概率波的含义(1)(1)入射强电子流入射强电子流(2)(2)入射弱电子流入射弱电子流 概率波的干涉结果概率波的干涉结果 波函数统计诠释涉及对世界本质的认波函数统计诠释涉及对世界本质的认识争论至今未息。识争论至今未息。哥本哈根学派哥本哈根学派爱因斯坦爱因斯坦狄拉克(狄拉克(19721972)设归一化因子为设归一化因子为C,则归一化的波函数为,则归一化的波函数为(x)=)=C exp(-(-2 2x2 2/2)/2)计算积分得计算积分得 ()取取 0,则归一化的波函数为,则归一化的波函数为 (x)=
8、()exp(-2x2/2)1)(2dxx例题例题3 3:将波函数将波函数 归一化归一化 2exp22xxf 这就是这就是一维自由粒子(含时间)薛定谔方程。一维自由粒子(含时间)薛定谔方程。三、薛定谔方程三、薛定谔方程从一维自由粒子特例引入薛定谔方程。从一维自由粒子特例引入薛定谔方程。)pxEt(i0e)t,x(2222px Eit 因为因为代入上两式得到:代入上两式得到:m2pE2 tixm2222 一维自由粒子的波函数为:一维自由粒子的波函数为:tiUxm2222 将将(1),(2)式引入上式的得:式引入上式的得:有势力场中粒子的总能量为:有势力场中粒子的总能量为:),(212txUpmE
9、)t,x(Upm21E2 和和这是这是势场中一维运动粒子的一般薛定谔方程势场中一维运动粒子的一般薛定谔方程 2222px (1)Eit (2)ti)t,x(Uxm2222 对于在势场中作三维运动粒子薛定谔方程为:对于在势场中作三维运动粒子薛定谔方程为:ti)t,r(Um222 2222222zyx 称称为为拉普拉斯算符拉普拉斯算符,2 ti)t,r(Um222 四、定态薛定谔方程四、定态薛定谔方程)t(f)r()r(如势函数不是时间的函数,即如势函数不是时间的函数,即)r(UU 代入薛定谔方程得:代入薛定谔方程得:t)t(f)t(f1i)r(Um2122 用分离变量法将波函数写为:用分离变量法
10、将波函数写为:方程左边只是空间坐标的函数,方程左边只是空间坐标的函数,右边只是时间的函数,右边只是时间的函数,只有两边都等于一个常数等式才能成立。只有两边都等于一个常数等式才能成立。令这一常数为令这一常数为E。则:。则:Et)t(f)t(f1i EtiCe)t(f 积分可得积分可得:t)t(f)t(f1i)r(Um2122 令左边也等于令左边也等于E 得到:得到:)r(E)r()r(U)r(m222 这就是这就是定态薛定谔方程定态薛定谔方程Etiertr )(),(t)t(f)t(f1i)r(Um2122 定态定态:能量取确定值的状态能量取确定值的状态定态波函数定态波函数22)(r 与时间无关
11、与时间无关 txEAetitxEEtxpi,)(例:例:能量、动量和坐标算符对沿能量、动量和坐标算符对沿x x方向传播自由方向传播自由 平面波波函数平面波波函数)(),(EtxxpiAetx 的作用的作用 txpAexitxPxEtxpix,)(txxtxx,定义能量算符定义能量算符,动量算符和坐标算符动量算符和坐标算符xxtiptiEx 利用对应关系得利用对应关系得“算符关系等式算符关系等式”),(22txUmpEx),(22txUmpEx 把把“算符关系等式算符关系等式”作用在波函数上得到作用在波函数上得到),(),(2),(222txtxUxmtxti三维情况:三维情况:ipkpjpip
12、zyx),(),(2),(22trtrUmtrti 哈密顿量:哈密顿量:),(222trUmH粒子的总能量粒子的总能量若若0tHH称称 为能量算符为能量算符用哈密顿量表示薛定谔方程用哈密顿量表示薛定谔方程),(),(trHtrti能量算符的本征值问题能量算符的本征值问题 xExHEE 本征值取分立值时的本征值问题本征值取分立值时的本征值问题 xExHnnn E1,E2,.,En,.能量本征值谱能量本征值谱是能量取是能量取E Ei i时的本征态时的本征态i,.,.,21n 本征函数系本征函数系n 量子数量子数谢谢观看谢谢观看19-8 三、三、一维势阱一维势阱 势垒势垒(一)、一维无限深势阱中的粒
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