固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质44-晶格比热课件.ppt
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- 固体 物理 基础 第四 晶格 振动 晶体 性质 44 比热 课件
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1、4.4 晶格比热晶格比热 一、一、晶体比热的一般理论晶体比热的一般理论 本节主要内容本节主要内容:二、二、晶格比热的量子理论晶格比热的量子理论 三、三、三维晶体比热的德拜模型三维晶体比热的德拜模型 四、四、晶体比热的爱因斯坦模型晶体比热的爱因斯坦模型 下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规下面分别用经典理论和量子理论来解释晶体比热的规律。律。晶体比热的晶体比热的实验规律实验规律 (1)在高温时在高温时,晶体的比热为晶体的比热为 3 NkB(N为晶体中原子的为晶体中原子的个数个数,kB=1.38 10-23J K-1为玻尔兹曼常为玻尔兹曼常量量);(2)在低温时,晶体的比热按在低温时,晶
2、体的比热按T3趋于零趋于零。晶体的定容比热定义为晶体的定容比热定义为:一、晶体比热的一般理论一、晶体比热的一般理论 VVCT 是晶体的平均内能是晶体的平均内能,包括与热运动无关的包括与热运动无关的基态能量基态能量、晶格振动的平均能量晶格振动的平均能量(晶格热能晶格热能)和和电子热能电子热能三部分三部分.4.4 晶格比热晶格比热 eVaVVCCC 晶格振动比热晶格振动比热晶体电子比热晶体电子比热aVVCC e通常情况下,通常情况下,本节只讨论晶格振动比热本节只讨论晶格振动比热.根据经典统计理论的能量均分定理根据经典统计理论的能量均分定理,每一个自由度的每一个自由度的平均能量是平均能量是(1/2)
3、kBT,若晶体有若晶体有N个原子个原子,则总自由度则总自由度为为:6N(考虑了振动自由度考虑了振动自由度)。TNkEB3 VVTEC B3Nk 可见经典统计理论可以解释绝缘体的比热遵从杜隆可见经典统计理论可以解释绝缘体的比热遵从杜隆贝蒂定律。贝蒂定律。它是一个与温度无关的常数它是一个与温度无关的常数,这一结论称为这一结论称为杜隆杜隆贝蒂贝蒂定律定律.二、晶格比热的量子理论二、晶格比热的量子理论 晶体可以看成是一个热力学系统晶体可以看成是一个热力学系统,在简谐近似下在简谐近似下,晶格晶格中原子的热振动可以看成是相互独立的简谐振动中原子的热振动可以看成是相互独立的简谐振动.每个每个谐振子的能量都是
4、量子化的。谐振子的能量都是量子化的。1()2sqssnq第第s个谐振子的个谐振子的能量为:能量为:但是经典理论既不能说明但是经典理论既不能说明高温下金属中电子对比热高温下金属中电子对比热容的贡献可以忽略不计容的贡献可以忽略不计,也不能解释,也不能解释比热容在低温下比热容在低温下随温度下降而趋于零的事实随温度下降而趋于零的事实。nqs 是是频率为频率为 s的谐振子的平均声子数,满足波色统的谐振子的平均声子数,满足波色统计:计:()1()1sBqsqk TnTe121sBsssk Te所以,第所以,第s个谐振子的个谐振子的能量为:能量为:()1()1sBqsqk TnTe平均声子数平均声子数 对于
5、三维情形对于三维情形,可以写出简谐晶体在温度可以写出简谐晶体在温度T时的能量:时的能量:B33()()1()2e1spNpNequssqk Tqsqsqq其中其中q的取值为原胞数的取值为原胞数N,s=1,2,3,3p,p为原胞为原胞中的原子数目;中的原子数目;equ是原子处在是原子处在平衡位置上静止不动时的平衡位置上静止不动时的能量能量;上式中的第二项是量子力学处理得到的简正模的;上式中的第二项是量子力学处理得到的简正模的零点能零点能。所以简谐晶体在温度。所以简谐晶体在温度T时的能量时的能量仅第三项与温度仅第三项与温度有关有关。所以晶体的定容比热为所以晶体的定容比热为:3()/()1sBpNs
6、Vqk TqsVCqTTe从上式容易看出:从上式容易看出:(1)晶格振动的比热容依赖于温度和该振动模的频率,晶格振动的比热容依赖于温度和该振动模的频率,与经典的结果截然不同;与经典的结果截然不同;(2)高温情形下,此时高温情形下,此时kBT s(q),因而,因而 s(q)/kBT 1)的的情形,晶格振动模式分为情形,晶格振动模式分为光学支和声学支光学支和声学支,而,而光学支的光学支的 大于声学支,所以,在大于声学支,所以,在很低的温很低的温度下度下,由刚才的分析,我们可以,由刚才的分析,我们可以忽略光学支对忽略光学支对于比热的影响于比热的影响。()sqo qaa 2O m 2A M 2 对于声
7、学支,当对于声学支,当 很大时很大时(从色散曲线从色散曲线来看对应偏离线性关系的部分来看对应偏离线性关系的部分),在很低的温度在很低的温度下下,我们可以忽略这部分声学支对于比热的影响。我们可以忽略这部分声学支对于比热的影响。从而从而,在在很低的温度很低的温度下下,我们可以我们可以只考虑只考虑3个声学个声学支线性部分支线性部分对比热的贡献。对比热的贡献。()sq(,()()sssqc q q c qq q从而,可令:为比例系数,是 的单位矢量。对于宏观晶体对于宏观晶体,原胞数目原胞数目N很大,波矢很大,波矢q在简约在简约布里渊区中有布里渊区中有N个取值,所以波矢个取值,所以波矢q近似为准连近似为
8、准连续的续的,频率也是准连续的。,频率也是准连续的。3()()1sBpNsVqk TqsqCqTe所以,在中对 的求和可以改成积分。B()3()8e1ssVc q qk Tsc q qVdqCT 在很低温度下:注意:这和第一章态密度的求法类似。且注意:这和第一章态密度的求法类似。且我们考虑的是整个晶体我们考虑的是整个晶体V。积分范围限制在第。积分范围限制在第一布里渊区。一布里渊区。()(),ssqc q q考虑到:不过不过,按照前面的分析按照前面的分析,在很低的温度下在很低的温度下,部分对上面的积分贡献很小,因而,部分对上面的积分贡献很小,因而,积分也可积分也可看成是在整个看成是在整个q空间进
9、行空间进行。B()sqkTo qaa 2O m 2A M 2B()3()8e1ssVcq qk Tsc q qVdqCT 在很低温度下:采用球坐标积分采用球坐标积分:22sindVrdrd ddqq dqd();()()sBBBssc q qk Tk Txqx dqdxk Tc qc q且令:)33(2()81()18sBsVsscq qk Txsc q qVCTec q qVTdqqdqed 所以:33()()()()18BBssssxk Tk Tc qx Vdxc qc qTed433330()1()81Bxssk TdVx dxTc qe33111;3()4ssdccc q令:称为平均声
10、速。340(115xx dxe且积分:;参见汪志诚热统附录)(),(ssqc q q2 332 c434232 33()()3215 25()BBVBVVk Tk TCkTcc所以,低温比热:3T所以,低温比热随 变化。(4)一般的温度情形一般的温度情形()232()()1sBsBqk TpNsVBqBsk TVqeqCkk TeC求等式右边对温度的微商得:3()()1sBpNsVqk TqsqCTe()23222()()21sBsBqk TpBsVFBZqBsk Tk VeqCq dqk Te所以有:22324(2),2VCqdqVVq dqq dq将中的求和改成积分,认为频率在 空间为则:
11、体积元对应的波矢数目为:球面qxqy 上述积分既要考虑所有的上述积分既要考虑所有的 ,又要考虑到又要考虑到第一布里渊区是多面体第一布里渊区是多面体,所以很难精确计算所以很难精确计算.需要需要做近似处理做近似处理.常用近似有德拜常用近似有德拜(Debye)近似或叫近似或叫德德拜模型和爱因斯坦模型拜模型和爱因斯坦模型(Einstein model).()sq三、三维晶体比热的德拜模型三、三维晶体比热的德拜模型 1.模型模型:(1)晶体视为各向同性的晶体视为各向同性的连续介质连续介质,格波视为格波视为弹性波弹性波;(2)有有一支纵波两支横波一支纵波两支横波;(3)晶格振动频率在晶格振动频率在0 D
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