数学建模生物种群问题课件.ppt

1、研究某一（某些）生物群体的数量或密度的变化规律研究某一（某些）生物群体的数量或密度的变化规律单种群模型单种群模型研究一个生物群体的数量或密度的变化规律研究一个生物群体的数量或密度的变化规律多种群模型多种群模型单种群模型单种群模型研究一个生物群体的数量或密度的变化规律研究一个生物群体的数量或密度的变化规律设设 x(t)表示表示t时刻某范围内一种群体的数量或密度，当时刻某范围内一种群体的数量或密度，当数量较大时，数量较大时，x(t)可以看作可以看作t的连续函数，它只与出生、的连续函数，它只与出生、死亡、迁入和迁出等因素有关死亡、迁入和迁出等因素有关种群体的数量或密度变化的一般模型为种群体的数量或密

2、度变化的一般模型为00)(xtxEIDBdtdx其中B(出生)、D(死亡)、I(迁入)E(迁出)1、Multhus(马尔萨斯）模型模型假设：人口的增长率是常数（单位时间的人口 增长量与当时的人口成正比）模型构成：设时刻t的人口为 x(t)，人口增长率为rx(t0)=x0，则t到t+t时间的人口增量为)()()(trxttxttx设x(t)可微，令t0,得人口增长的马尔萨斯模型：00)(xtxrxdtdx模型求解：用解析方法可以得到解 x(t)=x0er(t-t0),tt0模型检验：马尔萨斯模型在19世纪以前的欧洲的一些地区吻合很好，但19世纪以后差异较大。原因：假设人口的增长率r是常数对人口少

3、资源多的情况是可以的，但在资源一定时，人口就不能无限增长了。做改进，得另一人口增长模型2、Logistic 模型（阻滞增长模型）模型假设：人口的增长率r是人口x(t)的函数r(x)，设为线性函数 r(x)=r-sx s,r0 (r(x)模型构成：设x=xm时,xm称为环境容纳量，增长率r(xm)=0,解得s=r/xm，故 r(x)=r(1-x/xm)代入得阻滞增长模型00)()1(xtxxxxrdtdxm模型求解：用解析方法可以得到解 0)(00)1(1)(ttexxxtxttrmm猪的最佳销售时机问题n一.问题n一般从事猪的商业性饲养和销售总是希望获得利润，因此饲养某种猪是否获利，怎样获得最

4、大利润，是饲养者必须首先考虑的问题。如果把饲养技术、猪的类型等因素视为不变的，且不考虑市场的需求变化，那么影响获利大小的一个主要因素是如何选择猪的售出时机，即何时把猪卖出获利最大。也许有人认为，猪养得越大，售出后获利越大。其实不然，因为随着猪的生长，单位时间消耗的饲养费用也就愈多，但同时其体重的增长速度却不断下降，所以饲养时间过长是不合算的。试作适当的假设，引入相应的参数，建立猪的最佳销售时机的数学模型。预备知识导数、微分方程组等基本知识。盈亏平衡原理 在一个追求最大利润的经济活动中，设X（t）为t时刻保有某种具有价值的对象所增加的价值，Y（t）为保有者t时刻所支付的费用。X（t）、）、Y（t

5、）分别为随时间递减和递增的函数，且X(t)Y(t)。保有者可以在某个时刻将保有对象出售以获得利润，那么保有者获得最大利润的出售时刻为盈亏平衡时刻t*，即时刻t*满足表达式X(t*)=Y(t*)。实验内容与要求n1 设猪开始进行商业性饲养时的时刻t=0，x0 为 t=0时的猪的体重，即x(0)=x0,x(t)为一头猪 在t时刻的体重，X为该品种猪的最大体重；y(t)为一头猪t时刻共消耗的饲养费用(包括饲养费、饲养人员工资等)，y(0)=0,xs为猪可售出的最小体重，即体重不超过xs的猪，收购站不予收购，t为猪从重x0长至重xs所需的时间；C(x)为猪的单位重量售价，C0为刚出生小猪的单位价格。n

6、假设：n1.本模型只对某一品种猪进行讨论，故设计猪 的性质的有关参数均可视为固定的常数。n2.由于开始进行商业性饲养时已具有一定体重，所以可以假设猪的体重增长的速度将不断减慢。设反映猪体重增长速度的参数为a。n3.由于猪的体重越大，单位时间消耗的饲养费用就越多，达到最大体重后，单位时间消耗的饲养费接近某一常数。设反映饲养费用变化大小的参数为。n4.通过调查C(x)随x的变化幅度并不大，故可将C(x)视为常数，设其C。问题分析与模型建立n由假设可得方程组：v dx/dt=(1-x/X)v dy/dt=-(1-x/X)v x(0)=x0 v y(0)=0 v解方程组得v x(t)=X-(X-x0)

7、e-t/xv y(t)=t-(X-x0)(1-e-t/x)/n首先，考虑养猪的可行性，即养猪是否能获利，说得更明确些，猪从出生到时，若售出能否获利。显然，获利的充要条件是 Xsc=x0c0+Y(t s)(3)n由（1）式 Xs=X-(X-x0)e-ts/xn解得 ts=(X/a)ln(X-x0)/(X-xs)n 将其代入（2）、（3）式整理得n (xsc-x0c0)+(xs-x0)=Xln(X-x0)/(X-xS)(4)所以，只要（4）得到满足就可获利，起码不会亏本。由（4）式也可看出，要想饲养某种猪有利可图，必须设法加大（加快猪的生长速度）或增大、减小（降低饲养成本）。其次，在（4）式得到满

8、足的条件下，考虑猪的最佳售出时机t*由（1）、（2）求导得 Cdx/dt,dy/dt的图像大致如图5.3.1所示。C dx/dt的含义是时刻t附近单位时间内由猪增加的体重所获得的钱，dy/dt的含义是时刻t附近单位时间消耗的饲养费用。由盈亏平衡原理可知，两曲线的交点即为最佳售出时间t*。)1()1(00XxtXXxtXedtdyedtdxn由Cdx/dt=dy/dt，n有Ce-1/x t0(1-x0/X)=2-e-/Xt0(1-x0/X)n解得t0=X/ln(C+)(X-x0)/Xn现考虑如下两种情况：n (1)t0ts，即即 X/（X-xs）C+n 这时猪应在t*=t0=X/ln(C+)(X

9、-x0)/X时售出。n (2)t0=C+n这时猪应在t*=ts=X/ln(X-x0)/(X-xs)时售出（因为t0时刻猪还未长到xs，只好养到ts时刻才能出售，只要（4）式得到满足，还是可以获利。）假定某品种的猪，X=200(kg),xs=75(kg),=0.5(kg/天),C=6(元/kg),=1.5(元/天),=1(元/天),x0=5(kg).根据所给参数，用数学软件编程计算.Mathematica In1:=X=200.0;xs=75.0;x0=5.0;c=6.0.Alpha=0.5;beta=1.0.gama=1.5;In8:=temp=gama*X/(X-xs)-(c*alpha+beta).Result=Iftemp0,X/alpha*Log(c*alpha+beta)*(X-x0)/(gama*X),X/alpha*Log(X-x0)/(X-xs)Out9:=382.205n计算得到所给实例中猪的最佳出售时间为约饲养到382天时。ln注：在实际中，本模型涉及的参数是比较容易得到的。如x0、X可从以往关于该品种猪的资料中得到，、可通过简单的统计工作得到，xs、C可通过市场调查得知。