n维Euclid空间中的点集的初步知识.ppt
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- 关 键 词:
- Euclid 空间 中的 初步 知识
- 资源描述:
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1、n维Euclid空间中的点集的初步知识第一节第一节 n n维维EuclidEuclid空间中空间中 点集的初步知识点集的初步知识 第五五章 1.2 中的点列的极限中的点列的极限1.1 n n维维EuclidEuclid空间空间 1.3 中的开集与闭集中的开集与闭集1.4 中的紧集与区域中的紧集与区域121 2(,)|,nniRxx xxxR in 1.1、n n维维E Eu uc cl li id d空空间间1212(,),(,),nnnnxx xxRyyyyRR 设设121 2(,)(,)nixx xxxR in 1.1 n n维维EuclidEuclid空间空间规定:规定:1122(,),
2、nnxyxy xyxy加法加法数乘数乘12(,)nxxxx ,kx A 成为一个成为一个n n维实向量空间。维实向量空间。若定义内积若定义内积1,niiix yx y 成为一个成为一个n n维维EuclidEuclid空间。空间。,kx A 中的长度:,kx A 22212|,nxx xxxx 2221122(,)|()()()nnx yxyxyxyxy 1.2 中的点列的极限中的点列的极限定义定义1.11.1 设设 是是 中的一个点列,其中中的一个点列,其中kx ,kx A 12,(,),kkkk nxxxx 又设又设|;kxM 恒恒有有,kx A 是是中的中的一固定点,一固定点,若当若当
3、时,时,,0NN0(,),kxa 即即使得使得a 则称点列则称点列kx 的极限存在,的极限存在,且称且称l i m.k kkx ax a k 或或()为它的极限,记作为它的极限,记作12,xxA ,kx 这时也称点列这时也称点列收敛于收敛于.a 定理定理1.11.1则则,naR 点点设点列设点列,nkxR 1 2lim,kkxain 都有都有定理定理1.21.2设设 是是 中的收敛点列,则中的收敛点列,则a ,kx A (1)(1)点列点列|,Mx的极限唯一;的极限唯一;(2)(2)是有界点列,是有界点列,(,)|nU ax R x a ,0)(NkRM使得即,kkxa yb ,.kkxya
4、b(3)(3)若若 ,kkkx ya b xa 则则kx(4)(4)若若 收敛于收敛于 ,则它的任一子列也收敛于,则它的任一子列也收敛于a.a kx 定理定理1.31.3,kx A 中的有界点列必有收敛子列中的有界点列必有收敛子列.,kx A (中的点列中的点列 的收敛子列的极限也称为的收敛子列的极限也称为 的极限点)的极限点),0MA设设 是是 中的点列,若中的点列,若kx ,kx A 使得使得则称则称 是是 中的中的基本点列基本点列或或CauchyCauchy点列点列.kx ,kx A 定理定理1.41.4,kx A 中点列中点列 收敛于收敛于 中的点中的点kx ,kx A 是是 中的中的
5、CauchyCauchy点列点列.na R ,kx A 定义定义1.21.2则称则称 为为a 设设 是是 中的一个点集,中的一个点集,A,kx A ,aA 若存在若存在A中的点列中的点列1 2(,)kkxxa k,使得使得kxa,A的的聚点聚点.A的所有聚点构成的集合称为的所有聚点构成的集合称为 的的导集导集.A记作记作.A集合集合 称为称为 的的闭包闭包.AAAAkx 若若但但,aA A则称则称 为为a 的的孤立点孤立点.,AA 若若则称则称 为闭集为闭集.A注:注:(1)(1)集合集合 的聚点一定属于的聚点一定属于 吗?吗?AA(2)(2)什么样的集合对极限运算封闭?什么样的集合对极限运算
6、封闭?1.3 中的开集与闭集中的开集与闭集kx 定义定义1.31.3 设设0,naR 称点集称点集,称,称为以为以 为中心、为中心、为半径的为半径的开球开球或或 邻域邻域,NoImagenaR ,NoImage(,)(,)U aU aa 为点为点 的的去心去心 邻域邻域.a 注:注:收敛于收敛于 可以描述为:可以描述为:a 点列点列kx 使得使得,().kkNxU a 恒恒有有,定理定理1.51.5 设设 是是 中的一个点集,中的一个点集,A,kx A naR ,则则12 (,),kkx x akn ,kx 即即 为为a A的聚点的聚点证证:(,).kxU a 存在存在 中的点列中的点列 Aa
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