中考数学专题拓展实际应用型问题.docx

1、 实际应用型问题 专题概述 1实际应用型问题是以贴近现实生活中的话题为背景，以方案设计为目的，运用方程与不等式、函数 与不等式或几何知识等来解决实际生活中的问题的一种题型. 2实际应用型问题往往文字信息量大，背景复杂，要求学生具有较强的阅读理解、收集信息及建立模 型等能力，能综合运用相关知识解决问题. 考点分析 考点一、考点一、 方程（组） 、不等式（组）的应用方程（组） 、不等式（组）的应用 【例 1】 （2019 山东中考真题） 某蔬菜种植基地为提高蔬菜产量， 计划对甲、 乙两种型号蔬菜大棚进行改造， 根据预算，改造 2 个甲种型号大棚比 1 个乙种型号大棚多需资金 6 万元，改造 1 个

2、甲种型号大棚和 2 个乙 种型号大棚共需资金 48 万元 （1）改造 1 个甲种型号和 1 个乙种型号大棚所需资金分别是多少万元？ （2） 已知改造 1 个甲种型号大棚的时间是 5 天， 改造 1 个乙种型号大概的时间是 3 天， 该基地计划改造甲、 乙两种蔬菜大棚共 8 个， 改造资金最多能投入 128 万元， 要求改造时间不超过 35 天， 请问有几种改造方案？ 哪种方案基地投入资金最少，最少是多少？ 【答案】 （1）改造 1 个甲种型号大棚需要 12 万元，改造 1 个乙种型号大棚需要 18 万元； （2）共有 3 种改 造方案，方案 1：改造 3 个甲种型号大棚，5 个乙种型号大棚；方

3、案 2：改造 4 个甲种型号大棚，4 个乙种 型号大棚；方案 3：改造 5 个甲种型号大棚，3 个乙种型号大棚；方案 3 投入资金最少，最少资金是 114 万 元 【解析】 （1）设改造 1 个甲种型号大棚需要 x 万元，改造 1 个乙种型号大棚需要 y 万元， 依题意，得： 26 248 xy xy ， 解得： 12 18 x y 答：改造 1 个甲种型号大棚需要 12 万元，改造 1 个乙种型号大棚需要 18 万元 （2）设改造 m 个甲种型号大棚，则改造（8m）个乙种型号大棚， 依题意，得： 53(8) 35 1218(8) 128 mm mm ， 解得： 8 3 m 11 2 m 为整

4、数， m3，4，5， 共有 3 种改造方案，方案 1：改造 3 个甲种型号大棚，5 个乙种型号大棚；方案 2：改造 4 个甲种型号大 棚，4 个乙种型号大棚；方案 3：改造 5 个甲种型号大棚，3 个乙种型号大棚 方案 1 所需费用 12 3+18 5126（万元） ； 方案 2 所需费用 12 4+18 4120（万元） ； 方案 3 所需费用 12 5+18 3114（万元） 114120126， 方案 3 改造 5 个甲种型号大棚，3 个乙种型号大棚基地投入资金最少，最少资金是 114 万元 考点二、考点二、函数的应用函数的应用 【例 2】 （2019 湖北中考真题）某商店销售一种商品，

5、童威经市场调查发现：该商品的周销售量y（件）是 售价x（元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w（元）的三组对应值如下表： 售价x（元/件） 50 60 80 周销售量y（件） 100 80 40 周销售利润w（元） 1000 1600 1600 注：周销售利润周销售量 （售价进价） （1）求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量的取值范围） 该商品进价是_元/件；当售价是_元/件时，周销售利润最大，最大利润是_元 （2）由于某种原因，该商品进价提高了m元/件(0)m ，物价部门规定该商品售价不得超过 65 元/件，该 商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系若周

6、销售最大利润是 1400 元，求m的 值 【答案】 （1）y与x的函数关系式是2200yx ；40，70，1800； （2）5. 【解析】 (1)设y与x的函数关系式为y kxb ，将(50，100)，(60，80)分别代入得， 50100 6080 kb kb ，解得，2k ，200b， y与x的函数关系式是2200yx ； 设进价为 a 元，由售价 50 元时，周销售是为 100 件，周销售利润为 1000 元，得 100(50-a)=1000， 解得：a=40， 依题意有，( 2200)(40)wxx = 2 22808000xx = 2 2701800x 20 ， 当 x=70 时，w

7、 有最大值为 1800， 即售价为 70 元/件时，周销售利润最大，最大为 1800 元， 故答案为：40，70，1800； (2)依题意有， ( 2200)(40)wxxm 2 2(2280)8000200xmxm 2 2 1401 2601800 22 m xmm 0m，对称轴 140 70 2 m x ， 20 ，抛物线开口向下， 65x，w随x的增大而增大， 当65x时，w有最大值( 2 65 200)(6540)m ， ( 2 65200)(6540)1400m ， 5m. 考点三、考点三、几何应用几何应用 【例 3】 （2019 湖北中考真题） （1） 证明推断：如图（1） ，在正

8、方形ABCD中，点E，Q分别在边BC，AB 上，DQAE于点O，点G，F分别在边CD，AB上，GFAE 求证：DQ AE ； 推断： GF AE 的值为 ； （2）类比探究：如图（2） ，在矩形ABCD中， BC k AB （k为常数） 将矩形ABCD沿GF折叠，使点A 落在BC边上的点E处，得到四边形FEPG，EP交CD于点H，连接AE交GF于点O试探究GF与 AECP 之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展应用：在（2）的条件下，连接CP，当 2 3 k 时，若 3 tan 4 CGP， 2 10GF ，求CP的 长 【答案】 （1）证明见解析；解：结论：1 GF AE 理由见解析； （

9、2）结论： FG k AE 理由见解析； （3） 9 5 5 PC 【解析】 （1）证明：四边形ABCD是正方形， ABDA，90ABEDAQ 90QAOOAD AEDH， 90ADOOAD QAOADO ABEDAQ()ASA， AEDQ 解：结论：1 GF AE 理由：DQAE，FG AE， / /DQFG， / /FQDG， 四边形DQFG是平行四边形， FGDQ， AEDQ， FGAE， 1 GF AE 故答案为 1 （2）解：结论： FG k AE 理由：如图 2 中，作GMAB于M AEGF， 90AOFGMFABE ， 90BAEAFO，90AFOFGM， BAEFGM， ABE

10、GMF， GFGM AEAB ， 90AMGDDAM ， 四边形AMGD是矩形， GMAD， GFADBC k AEABAB （3）解：如图 21 中，作PMBC交BC的延长线于M /FBGC，/FEGP， CGPBFE， 3 tantan 4 BE CGPBFE BF ， 可以假设3BEk，4BFk，5EFAFk ， 2 3 FG AE ， 2 10FG ， 3 10AE ， 222 (3 )(9 )(3 10)kk， 1k 或1（舍弃） ， 3BE ，9AB ， :2:3BC AB， 6BC ， 3BECE，6ADPEBC， 90BEFFEPPME ， 90FEBPEM，90PEMEPM，

11、 FEBEPM ， FBEEMP， EFBFBE PEEMPM ， 543 6EMPM ， 24 5 EM ， 18 5 PM ， 249 3 55 CMEMEC， 22 9 5 5 PCCMPM 考点集训 1 （2019 四川中考真题）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为 2 3600m的区域进行绿化，经投 标由甲、乙两个工程队来完成已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的 2 倍，如果 两队各自独立完成面积为 2 600m区域的绿化时，甲队比乙队少用 6 天 (1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化； (2)若甲队每天绿化费用是 1.2 万元，乙队每天绿化费用

12、为 0.5 万元，社区要使这次绿化的总费用不超过 40 万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？ 2 （2019 辽宁中考真题）某超市用 1200 元购进一批甲玩具，用 800 元购进一批乙玩具，所购甲玩具件数是 乙玩具件数的 5 4 ，已知甲玩具的进货单价比乙玩具的进货单价多 1 元 （1）求：甲、乙玩具的进货单价各是多少元？ （2）玩具售完后，超市决定再次购进甲、乙玩具（甲、乙玩具的进货单价不变） ，购进乙玩具的件数比甲 玩具件数的 2 倍多 60 件，求：该超市用不超过 2100 元最多可以采购甲玩具多少件？ 3 （2019 湖北中考真题）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐某网店专售

13、一款休闲裤，其成本为每 条 40 元，当售价为每条 80 元时，每月可销售 100 条为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施据市场 调查反映：销售单价每降 1 元，则每月可多销售 5 条设每条裤子的售价为x元(x为正整数)，每月的销售 量为y条 (1)直接写出y与x的函数关系式； (2)设该网店每月获得的利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出 200 元资助贫困学生为了保证捐款后每月利润不低 于 4220 元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？ 4 （2019 山东中考真题）小圆同学对图形旋

14、转前后的线段之间、角之间的关系进行了拓展探究. （一）猜测探究 在ABC中，ABAC，M是平面内任意一点，将线段AM绕点A按顺时针方向旋转与BAC相等的角 度，得到线段AN，连接NB （1） 如图 1， 若M是线段BC上的任意一点， 请直接写出NAB与MAC的数量关系是 ，NB与 MC的数量关系是 ； （2）如图 2，点E是AB延长线上点，若M是CBE内部射线BD上任意一点，连接MC， （1）中结论 是否仍然成立？若成立，请给予证明，若不成立，请说明理由 （二）拓展应用 如图 3，在 111 ABC中， 11 8AB ， 111 60ABC， 111 75B AC，P是 11 BC上的任意点，

15、连接 1 AP， 将 1 AP绕点 1 A按顺时针方向旋转75，得到线段 1 AQ，连接 1 BQ求线段 1 BQ长度的最小值 5 （2019 内蒙古中考真题） （1） （探究发现） 如图 1，EOF的顶点O在正方形ABCD两条对角线的交点处，90EOF ，将EOF绕点O旋转， 旋转过程中，EOF的两边分别与正方形ABCD的边BC和CD交于点E和点F（点F与点C，D不重 合） 则,CE CF BC之间满足的数量关系是 （2） （类比应用） 如图 2， 若将 （1） 中的“正方形ABCD”改为“120BCD的菱形ABCD”， 其他条件不变， 当60EOF 时，上述结论是否仍然成立？若成立，请给出

16、证明；若不成立，请猜想结论并说明理由 （3） （拓展延伸） 如图 3，120BOD ， 3 4 OD ，4OB ，OA平分BOD， 13AB ，且2OBOA，点C是OB 上一点，60CAD o ，求OC的长 答案 1 【答案】(1)甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 2 100m、 2 50m；(2)至少应安排乙工程队绿化 32 天 【解析】 (1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是 2 x m， 根据题意得： 600600 6 2xx ， 解得：50x， 经检验，50x是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是 2 50 2100 m ， 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别

17、是 2 100m、 2 50m； (2)设甲工程队施工a天，乙工程队施工b天刚好完成绿化任务， 由题意得：100503600ab，则 721 36 22 b ab ， 根据题意得： 72 1.20.540 2 b b ， 解得：32b， 答：至少应安排乙工程队绿化 32 天 【点睛】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出 合适的等量关系和不等关系，列方程和不等式求解 2 【答案】 （1）甲 6 元，乙 5 元； （2）112 件 【解析】 （1）设甲种玩具的进货单价为 x 元，则乙种玩具的进价为1x元， 根据题意得： 12008005 14xx ，

18、 解得：6x， 经检验，6x是原方程的解， 15x 答：甲种玩具的进货单价 6 元，则乙种玩具的进价为 5 元 （2）设购进甲种玩具 y 件，则购进乙种玩具260y件， 根据题意得：65 2602100yy， 解得： 1 112 2 y ， y 为整数， 112y 最大值 答：该超市用不超过 2100 元最多可以采购甲玩具 112 件 【点睛】 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出分 式方程； （2）根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式 3 【答案】(1)5500yx ；(2)当降价 10 元时，每月获得最大利润为 4500 元；

19、(3)当销售单价定为 66 元 时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠 【解析】 (1)由题意可得：100 5 80yx整理得 5500yx ； (2)由题意，得： 405500wxx 2 570020000xx 2 5704500x 50a ， w有最大值， 即当70x时， 4500w 最大值 ， 应降价80 7010(元) 答：当降价 10 元时，每月获得最大利润为 4500 元； (3)由题意，得： 2 57045004220200x 解之，得： 1 66x ， 2 74x ， 抛物线开口向下，对称轴为直线70x， 当6674x时，符合该网店要求 而为了让顾客得到最大实惠，故66x，

20、 当销售单价定为 66 元时，即符合网店要求，又能让顾客得到最大实惠 【点睛】 此题主要考查了二次函数的应用，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最 优方案，正确得出w与x之间的函数关系式是解题关键 4 【答案】 （一） （1）结论：NABMAC，BNMC理由见解析； （2）如图 2 中，中结论仍然 成立理由见解析； （二） 1 QB的最小值为4 3 4 2 【解析】 （一） （1）结论：NABMAC，BNMC 理由：如图 1 中， MANCAB， NABBAMBAMMAC， NABMAC， ABAC，ANAM， NABMAC（SAS） ， BNCM 故答案为NABMA

21、C，BNCM （2）如图 2 中，中结论仍然成立 理由：MANCAB ， NABBAMBAMMAC， NABMAC， ABAC，ANAM， NABMAC（SAS） ， BNCM （二）如图 3 中，在 11 AC上截取 11 ANAQ，连接PN，作 11 NHBC于H，作 111 AMBC于M 1111 C ABPAQ， 111 QABPAN， 11 A AAP， 11 ABAN， 11 QAB 1 PAN（SAS） ， 1 BQPN， 当PN的值最小时，1 QB的值最小， 在 11 Rt ABM中， 11 60AB M， 11 8AB ， 111 sin604 3AMAB， 1111111

22、753045MACB ACB AM ， 11 4 6AC ， 1111 4 68NCACAN， 在 1 Rt NHC， 1 45C， 4 34 2NH ， 根据垂线段最短可知，当点P与H重合时，PN的值最小， 1 QB的最小值为4 3 4 2 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形， 垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用垂线段最短 解决最值问题，属于中考压轴题 5. 【答案】 （1）CECFBC（2）结论不成立 1 2 CECFBC（3） 1 4 【解析】 （1）如图 1 中，结论：CECFBC

23、理由如下： 四边形ABCD是正方形， ACBD，OBOC，45OBEOCF ， 90EOFBOC ， BOEOCF， ()BOECOF ASA ， BECF， CECFCEBEBC 故答案为CECFBC （2）如图 2 中，结论不成立 1 2 CECFBC 理由：连接EF，在CO上截取CJCF，连接FJ 四边形ABCD是菱形，120BCD ， 60BCOOCF ， 180EOFECF ， ,O E C F四点共圆， 60OFEOCE ， 60EOF ， EOF是等边三角形， OFFE，60OFE ， CFCJ，60FCJ ， CFJ是等边三角形， FCFJ，60EFCOFE ， OFJCFE，

24、 ()OFJEFC SAS ， OJCE， 1 2 CFCECJOJOCBC， （3）如图 3 中， 由2OBOA可知BAO是钝角三角形，90BAO， 作A HO B于H，设=OH x 在Rt ABH中， 2 13 3BHx ， 4OB ， 2 13 34xx ， 解得 3 2 x （舍弃）或 1 2 ， 21OAOH， 180CODACD ， ,A C O D四点共圆， OA平分COD， 60AOCAOD ， 60ADCAOC ， 60CAD ， ACD是等边三角形， 由（2）可知：OCODOA， 31 1 44 OC 【点睛】考核知识点：正方形性质，全等三角形判定和性质，等边三角形判定和性质，圆的性质.综合运用 各个几何性质定理是关键；此题比较综合.