2020年高考数学试题调研之秒杀圆锥曲线压轴题 双曲线的渐近线（双曲线）（解析版）.doc

1、 说明：双曲线的渐近线是双曲线所特有的，要掌握渐近线与双曲线方程的联系，另外重点掌握双曲线特有 性质，对于解题非常方便。 秒杀题型一：由双曲线的方程求渐近线: 秒杀思路：已知双曲线方程求渐近线方程: 22 mxny 22 0mxny; 若焦点在 x 轴上，渐近线为x a b y； 若焦点在 y 轴上，渐近线为x b a y。 1.(高考题)双曲线1 94 22 yx 的渐近线方程是 ( ) A.xy 3 2 B.xy 9 4 C.xy 2 3 D.xy 4 9 【解析】：选 C。 2.(2013 年新课标全国卷 I4)已知双曲线C: 22 22 1 xy ab (0,0ab)的离心率为 5 2

2、 ,则C的渐近线方程为 ( ) A. 1 4 yx B. 1 3 yx C. 1 2 yx D.yx 【解析】：由 2 5 a c e，得 2 1 a b ，选 C。 3.(高考题)若双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为3,则其渐近线方程为 ( ) A.xy2 B.xy2 C. 1 2 yx D. 2 2 yx 【解析】：由3 a c e，得2 a b ，选 B。 母题 2已知双曲线的对称轴为坐标轴,一条渐近线为20xy,则双曲线的离心率为 ( ) A.5 或 5 4 B.5或 5 2 C.3或 3 2 D.5 或 5 3 【解析】：若焦点在 x 轴上，则有2 a b ，5e；若焦点

3、在 y 轴上，则有2 b a ， 2 5 e；选 B。 4.(2018 年新课标全国卷 II5)双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的离心率为3，则其渐近线方程为 ( ) A.xy2 B.xy3 C. xy 2 2 D. xy 2 3 【解析】：(秒杀方法)设3, 1ca，则 2b ，选 A。 5.(高考题)已知0, 0ba,椭圆 1 C的方程为1 2 2 2 2 b y a x ,双曲线 2 C的方程为1 2 2 2 2 b y a x , 1 C与 2 C的离心 率之积为 2 3 ,则 2 C的渐近线方程为 ( ) A.02xy B.02 yx C.02yx D.

4、0y2x 【解析】： 2 3 2222 a ba a ba ，得 2 2 a b ，选 A。 秒杀题型二：有共同渐近线双曲线方程的设法： 秒杀思路： 2222 2222 1 xyxy abab 。 母题 1求与双曲线 22 1 916 xy 有公共的渐近线,且经过点 A 3,2 3的双曲线的方程. 【解析】：设双曲线方程为： 169 22 yx ，代入点 A 得 4 1 ，双曲线方程为： 22 4 1 94 xy 。 1.(高考题)设双曲线C经过点2,2,且与 2 2 1 4 y x具有相同渐近线,则C的方程为 ；渐近线方程 为 . 【解析】：设双曲线方程为： 2 2 4 x y ，代入点2,

5、2得=-3，双曲线的方程为：1 123 22 yx ，渐近 线方程为xy2。 秒杀题型三：已知渐近线方程设双曲线方程： 秒杀思路： 22 0()()axbyaxby。 1.(2015 年新课标全国卷 II)已知双曲线过点 4, 3,且渐近线方程为 1 2 yx ,则该双曲线的标准方程 为 【解析】：设双曲线方程为： 2 2 4 y x ，将点34，代入得1，所以双曲线方程为1 4 2 2 y x 。 2.(高考题)若双曲线的渐近线方程为xy3,它的一个焦点是( 10,0),则双曲线的方程是 . 【解析】 ： 设双曲线方程为： 22 9yx， 因为焦点在 x 轴上， 化简为1 9 22 yx ，

6、10 9 得9， 双曲线方程为：1 9 2 2 y x。 秒杀题型四：双曲线的焦点到渐近线的距离： 秒杀思路：双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长( )b。 秒杀公式：焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率。 1.(高考题)已知双曲线C:1 2 2 2 2 b y a x 0,0ab,以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径 是 ( ) A.ab B. 22 ba C.a D.b 【解析】：以C的右焦点为圆心且与C的浙近线相切的圆的半径等于右焦点到渐近线的距离，即等于b， 选 D。 2.(高考题)双曲线1 36 22 yx 的渐近线与圆)0()3( 222 rry

7、x相切,则r= ( ) A.3 B.2 C.3 D.6 【解析】：因为圆心恰为双曲线的右焦点，所以 r=b=3，选 A。 3.(高考题)以双曲线 22 1 916 xy 的右焦点为圆心,且与其渐近线相切的圆的方程 ( ) A. 22 1090xyx B. 22 10160xyx C. 22 10160xyx D. 22 1090xyx 【解析】：因为圆心恰为双曲线的右焦点，所以 r=b=4，选 A。 4.(高考题)已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的两条渐近线均和圆C: 22 650xyx相切,且双曲 线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为 ( ) A. 22 1 5

8、4 xy B. 22 1 45 xy C. 22 1 36 xy D. 22 1 63 xy 【解析】：c=3，r=b=2，a=5，选 A。 5.(2007年新课标全国卷13)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离 心率为 【解析】： 由相似成比例可得：3 2 6 a c 。或由上面的秒杀公式直接得到答案。 6.(高考题)双曲线 2 2 1 4 x y的顶点到其渐近线的距离等于 ( ) A. 2 5 B. 4 5 C. 2 5 5 D. 4 5 5 【解析】：由上题，选 C。 7.(2009 年新课标全国卷 4)双曲线 2 4 x - 2 12 y =1 的

9、焦点到渐近线的距离为 ( ) A.2 3 B.2 C.3 D.1 【解析】：由秒杀公式得32b，选 A。 8.(2014 年新课标全国卷 I4)已知F是双曲线C: 22 3 (0)xmym m的一个焦点,则点F到C的一条渐近 线的距离为 ( ) A.3 B.3 C.3m D.3m 【解析】：由秒杀公式得3b，选 A。 9.(高考题)已知双曲线 22 2 1 4 xy b 的右焦点与抛物线xy12 2 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线 的距离等于 ( ) A.5 B.4 2 C.3 D.5 【解析】：抛物线与双曲线的焦点为03，则 b=5，所以双曲线的焦点到其渐近线的距离等于5，选 A。

10、10.(2018 年江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点( ,0)F c到一条渐近 线的距离为 2 3c ，则其离心率的值是 【解析】：b c 2 3 ，设1, 3, 2abc，所以离心率为 2。 11.(2018 年天津卷)已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的离心率为 2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双 曲线交于BA,两点. 设BA,到双曲线同一条渐近线的距离分别为 1 d和 2 d，且 12 6dd，则双曲线的方 程为 ( ) A. 22 1 412 xy B. 22 1 124 xy C. 22 1 39

11、xy D. 22 1 93 xy 【解析】：秒杀方法：由梯形中位线知,焦点到此渐近线的距离为 3，即3b，选 C。 12.(2018 年新课标全国卷 I11)已知双曲线1 3 : 2 2 y x C,O为坐标原点,F为C的右焦点,过F的直线 与C的两条渐近线的交点分别为NM,.若OMN为直角三角形,则MN= ( ) A. 2 3 B.3 C.32 D.4 【解析】：渐近线方程为 3 3 yx ，OMN为直角三角形，假设 2 ONM ， 3ON , 3 MON ，3MN ，选 B。 13.(2018 年新课标全国卷 III11)设 12 FF，是双曲线)0, 0( 1: 2 2 2 2 ba b

12、 y a x C的左，右焦点，O是坐标原 点.过 2 F作C的一条渐近线的垂线,垂足为P.若OPPF6 1 ,则C的离心率为 ( ) A.5 B.2 C.3 D.2 【解析】： 2 |PFb,|POa，又因为 1 |6 |PFOP，所以 1 |6PFa，在 2 Rt POF中， 2 2 | cos | PFb OFc ，在 21F PF中， 222 2121 212 | cos 2 | | PFFFPFb PFFFc ， 222 22222222 4( 6 ) 4644633 22 bcab bcabcaca bcc 22 3ca3e。 14.(2016 年北京卷)双曲线)0, 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的渐近线为正方形OABC的边OCOA,所在的直线，点 B为该双曲线的焦点.若正方形OABC的边长为 2,则a= . 【解析】：OCOA，2e，即ba，而2b，2a。