2019年全国卷Ⅰ高考压轴卷数学文科（含解析）.doc

1、 2019 全国卷全国卷高考压轴卷高考压轴卷 数学数学文科文科 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1已知集合( , )|1,01Ax yyxx ，集合( , )|2 ,010Bx yyxx ，则集合AB（ ） A1,2 B|01xx C1,2 D 2 已知复数z满足(2)3izi，则| (z ) A5 B5 C10 D10 3下列函数中，与函数的单调性和奇偶性一致的函数是（ ） A. B. C. D. 4某学校上午安排上四节课，每节课时间为

2、 40 分钟，第一节课上课时间为，课间休息 10 分钟. 某学生因故迟到，若他在之间到达教室，则他听第二节课的时间不少于 10 分钟的概率为（ ） A. 5 1 B. 10 3 C. 5 2 D. 5 4 5函数 2 3sin3sin cosf xxxx的最小正周期是（ ） A. 4 B. 2 C. D. 2 6若01ab，则 b a， a b， logba， 1 log a b的大小关系为（ ） A. 1 loglog ba b a abab B. 1 loglog ab b a baba C. 1 loglog ba b a aabb D. 1 loglog ab b a abab 7 若

3、实数x，y满足条件 1 0 26 2 x y xy xy ，则2zxy的最大值为( ) A10 B6 C4 D2 8 已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab ，四点 1(4,2) P， 2(2,0) P， 3( 4,3) P ， 4(4,3) P中恰有三点在双曲线上， 则该双曲线的离心率为( ) A 5 2 B 5 2 C 7 2 D 7 2 9 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为( ) A7 B9 C10 D11 10一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长度为（ ） A. 2 5 B. 5 C. 29 D. 6 11 ABC中，5AB ，10AC ，25AB

4、AC ，点P是ABC内（包括边界）的一动点，且 32 () 55 APABACR，则|AP的最大值是( ) A 3 3 2 B37 C39 D41 12 在四面体ABCD中，1ABBCCDDA， 6 2 AC ，2BD ，则它的外接球的面积(S ) A4 B 8 3 C 4 3 D2 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13数列 n a中， 14 8,2aa且满足. 21 2(*) nnn aaa nN ，数列 n a的通项公式 14 已知( )f x是R上的偶函数， 且在0，)单调递增， 若(3)f af（4） ， 则a的取值范围为 15在ABC

5、中，角的对边分别为， A a B b B c coscoscos 与是的等差中项且，ABC的面 积为34，则的值为_ 16 已知抛物线xyC4:的焦点是 ， 直线交抛物线于两点， 分别从两点向直线 作垂线，垂足是，则四边形的周长为_ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （17） （本小题满分 12 分） 在右图所示的四边形 ABCD 中，BAD90 ， BCD150 ， BAC 60 ， AC2，AB 31 （）求 BC； （）求 ACD 的面积 （18） （本小题满分 12 分） 二手车经销商小王对其所经营的某一型号二手汽车的

6、使用年数 x（0x10）与销售价格 y（单位：万元/ 辆）进行整理，得到如下的对应数据： 使用年数 2 4 6 8 10 售价 16 13 9.5 7 4.5 （）试求 y 关于 x 的回归直线方程； （参考公式：b n i1 xiyinx -y- n i1 x2 inx -2 ，a y -bx- ） （）已知每辆该型号汽车的收购价格为 w0.05x21.75x17.2 万元，根据（）中所求的回归方程， 预测 x 为何值时，小王销售一辆该型号汽车所获得的利润 z 最大？ （19） （本小题满分 12 分） 在四棱锥 P-ABCD 中， PAD 为等边三角形， 底面 ABCD 等腰梯形，满足 A

7、BCD，ADDC 1 2 AB2，且平面 PAD平面 ABCD （）证明：BD平面 PAD； （）求点 C 到平面 PBD 的距离 （20） （本小题满分 12 分） 已知动点 P 到直线 l：x1 的距离等于它到圆 C：x2y24x10 的切线长（P 到切点的距离） 记 动点 P 的轨迹为曲线 E A B C D P （）求曲线 E 的方程； （）点 Q 是直线 l 上的动点，过圆心 C 作 QC 的垂线交曲线 E 于 A，B 两点，问是否存在常数 ，使得 |AC| |BC|QC|2？若存在，求 的值；若不存在，说明理由 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x)ln(mx)x1，g

8、(x)(x1)exmx，m0 （）若 f(x)的最大值为 0，求 m 的值； （）求证：g(x)仅有一个极值点 x0，且 1 2 ln(m1)x0m 请考生在第（请考生在第（22） ， （） ， （23）题中任选一题作答，如果多做）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分作答时用，则按所做的第一题记分作答时用 2B 铅笔在铅笔在 答题卡上把所选题目对应的题号涂黑答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22.（本小题满分（本小题满分 10 分）选修分）选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，M(2，0)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A(

9、，)为 曲线 C 上一点，B(， 3 )，|BM|1 （）求曲线 C 的直角坐标方程； （）求|OA|2|MA|2的取值范围 23.（本小题满分本小题满分 10 分）选修分）选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 已知 abcd0，adbc （）证明：adbc； （）比较 aabbcddc与 abbaccdd的大小 2019 全国卷全国卷高考压轴卷高考压轴卷数学数学文科（一）答案文科（一）答案 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的 1 【答案】C

10、 【解析】根据题意可得， 1 2 yx yx ，解得 1 2 x y ，满足题意01x ，所以集合AB1,2故选 C 2 【答案】C 【解析】 ：(2)3izi， 3 213 i zi i ，|10z故选：C 3 【答案】D 【解析】函数即是奇函数也是 上的增函数，对照各选项： 为非奇非偶函数，排除 ； 为奇函数，但不是 上的增函数，排除 ；为奇函数，但不是 上的增函数，排除 ；为 奇函数，且是 上的增函数，故选 D. 4 【答案】A 【解析】由题意知第二节课的上课时间为 ，该学生到达教室的时间总长度为 分钟，其中在 进入教室时，听第二节的时间不少于分钟，其时间长度为分钟，故所求的概率 5 1

11、 50 10 ， 故选 A. 5 【答案】C 【解析】 因为 2 1 cos23 3sin3sin cos3sin2 22 x f xxxxx 3333 sin2cos23sin 2 22262 xxx ， 所以其最小正周期为 22 2 T w ，故选 C. 6 【答案】D 【解析】因为01ab，所以10 aab baa.loglog1 bb ab. 01a,所以 1 1 a , 1 log0 a b .综上： 1 loglog ab b a abab. 7 【答案】B 【解析】 ：先根据实数x，y满足条件 1 0 26 2 x y xy xy 画出可行域如图， 做出基准线02xy， 由图知，

12、当直线2zxy过点(3,0)A时，z最大值为：6故选：B 8 【答案】C 【解析】 ：根据双曲线的性质可得 3( 4,3) P ， 4(4,3) P中在双曲线上， 则 1(4,2) P一定不在双曲线上，则 2(2,0) P在双曲线上， 2a， 22 169 1 ab ，解得 2 3b ， 222 7cab，7c， 7 2 c e a ，故选：C 9 【答案】B 【解析】 ：模拟程序的运行，可得： 1 1,31 3 iSlglg ，否； 131 3,51 355 iSlglglglg ，否； 151 5,71 577 iSlglglglg ，否； 171 7,91 799 iSlglglglg

13、，否； 191 9,111 91111 iSlglglglg ， 是，输出9i ， 故选：B 10 【答案】C 【解析】 由三视图可知，该几何体是四棱锥PABCD，如图所示， 其中侧棱PD 平面,2,3,4ABCD ADCDPD， 则 2222222 242 5,345,23429PAPCPB, 所以该几何体的最长的棱的长度为29，故选 C 11 【答案】B 【解析】ABC中，5AB ，10AC ，25AB AC ， 5 10cos25A ， 1 cos 2 A ，60A，90B ； 以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立如图所示的坐标系， 如图所示， 5AB ，10AC ，60BAC， (

14、0,0)A，(5,0)B，(5C，5 3)， 设点P为( , )x y，05x剟，03y剟， 32 55 APABAC， (x， 3 )(5 5 y ， 2 0)(5 5 ，5 3)(32，2 3 )， 32 2 3 x y ， 3(3)yx， 直线BC的方程为5x ， 联立，得 5 2 3 x y ， 此时|AP最大， 22 |5(2 3)37AP 故选：B 12 【答案】D 【解析】 ：如下图所示， 1ABBCCDDA，2BD ，由勾股定理可得 222 ABADBD， 222 BCCDBD， 所以，90BADBCD ，设BD的中点为点O，则 12 22 OAOBOCODBD， 则点O为四面

15、体ABCD的外接球球心，且该球的半径为 2 2 R ， 因此，四面体ABCD的表面积为 22 2 44()2 2 SR故选：D 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 13 【答案】=102 n an 【解析】 由题意， 211nnnn aaaa ，所以 n a为等差数列.设公差为d， 由题意得2832dd ，得82(1)102 n ann. 14 【答案】17a 【解析】 ：( )f x是R上的偶函数，且在0，)单调递增， 不等式(3)f af（4）等价为(|3|)faf（4） ， 即|3| 4a ，即434a ，得17a ， 即实数a的取值范围是1

16、7a ，故答案为：17a 15 【答案】54. 【解析】由 A a B b B c coscoscos 与是 的等差中项，得 A a B b B c coscoscos 2 . 由正弦定理，得 A A B B B C cos sin cos sin cos sin2 , AB BA B C coscos )sin( cos sin2 ，由CBAsin)sin( 所以 2 1 cosA, 3 2 A . 由34sin 2 1 AbcS ABC ，得16bc . 由余弦定理，得16)(cos2 2222 cbAbccba ，即 54cb ，故答案为54 16 【答案】. 【解析】由题知， ，准线

17、的方程是 . 设 ，由 ，消去 ， 得 . 因为直线 经过焦点，所以 . 由抛物线上的点的几何特 征知 ，因为直线 的倾斜角是 ，所以 ，所以 四边形 的周长是 ，故答案为 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 （17） （本小题满分 12 分） 【答案】 （） 6（）在 S ACD1 【解析】 （）在 ABC 中，由余弦定理得 BC2AB2AC2 2AB ACcosBAC6， 所以 BC 6 （）在 ABC 中，由正弦定理得 BC sinBAC AC sinABC ，则 sinABC 2 2 ， 又 0 ABC120 ，所以

18、ABC45 ，从而有ACB75 ， 由BCD150 ，得ACD75 ，又DAC30 ，所以 ACD 为等腰三角形， 即 ADAC 2，故 S ACD1 （18）（本小题满分 12 分） 【答案】 （）y1.45x18.7（）x3 【解析】 （）由已知：x -6，y-10， 5 i1 xiyi242， 5 i1 x2 i220， b n i1 xiyinx -y- n i1 x2 inx -2 1.45，a y - bx -18.7； 所以回归直线的方程为y1.45x18.7 （）z1.45x18.7(0.05x21.75x17.2) 0.05x20.3x1.5 0.05(x3)21.95， 所

19、以预测当 x3 时，销售利润 z 取得最大值 （19） （本小题满分 12 分） 【答案】 （）见解析（） 3 2 【解析】 （）在梯形 ABCD 中，取 AB 中点 E，连结 DE，则 A B C D DEBC，且 DEBC 故 DE 1 2 AB，即点 D 在以 AB 为直径的圆上，所以 BDAD 因为平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，BD平面 ABCD， 所以 BD平面 PAD E P O BA D C （）取 AD 中点 O，连结 PO，则 POAD，因为平面 PAD平面 ABCD， 平面 PAD平面 ABCDAD，所以 PO平面 ABCD 由（）可知 ABD

20、 和 PBD 都是直角三角形， 所以 BD AB2AD22 3，于是 SPBD 1 2 PDBD2 3，SBCD 1 2 BCCDsin120 3， 易得 PO 3， 设 C 到平面 PBD 的距离为 h， 由 VP-BCDVC-PBD得 1 3 S PBDh 1 3 S BCDPO， 解得 h 3 2 （20） （本小题满分 12 分） 【答案】 （1）y26x （） 4 3 【解析】 （）由已知得圆心为 C(2，0),半径 r 3设 P(x，y)，依题意可得 | x1 | (x2)2y23，整理得 y26x 故曲线 E 的方程为 （）设直线 AB 的方程为 myx2， 则直线 CQ 的方程

21、为 y=m(x2)，可得 Q(1，3m)设 A(x1，y1)，B(x2，y2) 将 myx2 代入 y26x 并整理得 y26my120，那么 y1y212， 8 分 则|AC| |BC|(1m2) | y1y2 |12(1m2)，|QC|29(1m2)即|AC| |BC| 4 3|QC| 2，所以 4 3 21.（本小题满分 12 分） 【答案】 （）m1（）见解析 【解析】 （）由 m0 得 f(x)的定义域为(0，)， f(x) 1 x 11x x ，当 x1 时，f(x)0； 当 0x1 时，f(x)0，f(x)单调递增； 当 x1 时，f(x)0，f(x)单调递减 故当 x1 时，f

22、(x)取得最大值 0， 则 f(1)0，即 lnm0， 故 m1 （）g(x)xexm，令 h(x)xexm， 则 h(x)(x1)ex，当 x1 时，h(x)0； 当 x1 时，h(x)0，h(x)单调递减； 当 x1 时，h(x)0，h(x)单调递增 故当 x1 时，h(x)取得最小值 h(1)e 1m0 当 x1 时，h(x)0，h(x)无零点， 注意到 h(m)memm0，则 h(x)仅有一个零点 x0，且在(1，m)内 由（）知 lnxx1，又 m0，则 1 2 ln(m1)(0， 1 2 m) 而 h( 1 2 ln(m1)h(lnm1) m1lnm1m m1( m11)m 1 m

23、10，则 x0 1 2 ln(m1)， 故 h(x)仅有一个零点 x0，且 1 2 ln(m1)x0m 即 g(x)仅有一个极值点 x0，且 1 2 ln(m1)x0m 22.（本小题满分 10 分） 【答案】 （）(x1)2(y 3)21（）104 3，104 3 【解析】 （）设 A(x，y)，则 xcos，ysin， 所以 xBcos( 3 ) 1 2 x 3 2 y；yBsin( 3 ) 3 2 x 1 2 y， 故 B( 1 2 x 3 2 y， 3 2 x 1 2 y) 由|BM|21 得( 1 2 x 3 2 y2) 2 ( 3 2 x 1 2 y) 21， 整理得曲线 C 的方

24、程为(x1)2(y 3)21 （）圆 C： x1cos， y 3sin （ 为参数） ，则|OA|2|MA|24 3sin10， 所以|OA|2|MA|2104 3，104 3 23.（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 【答案】 （）见解析（）见解析 【解析】 （）由 abcd0 得 adbc0，即(ad)2(bc)2， 由 adbc 得(ad)24ad(bc)24bc，即(ad)2(bc)2， 故 adbc （）a abbcddc abbaccdd( a b ) ab ( c d ) dc ( a b ) ab ( d c ) cd ， 由（）得 abcd，又 a b 1，所以( a b ) ab ( a b ) cd ， 即( a b ) ab ( d c ) cd ( a b ) cd ( d c ) cd (ad bc) cd 1， 故 aabbcddcabbaccdd