静电场原理与方法教案课件.pptx

1、静电场原理与方法静电场原理与方法qS 入入出出0e 0q 0eq 根据电场迭加原理，将上述结果推广到任意点电荷根据电场迭加原理，将上述结果推广到任意点电荷系构成的静电场：若闭合曲面包围的电荷的代数和系构成的静电场：若闭合曲面包围的电荷的代数和为为,iiq 0ieiq 則則返回返回第1页/共60页O rRr 由高斯定理有由高斯定理有 2200440eERR Rr 由高斯定理有由高斯定理有 222044eQRQEkRR RE0r第2页/共60页O rRr 由高斯定理有由高斯定理有 330eRQr Rr 由高斯定理有由高斯定理有 222044eQRQEkRR RE0rR23044eERQRr 3Ek

2、QRr 第3页/共60页 ES 由高斯定理有由高斯定理有 0eS 022eES QQ 两面积两面积S、间距间距d平行板电容器当平行板电容器当带电荷量带电荷量Q时，板时，板间电场由电场间电场由电场叠加原理可得为叠加原理可得为0022E 4 kQS 第4页/共60页例例:半径为半径为r的圆板，在与其中心的圆板，在与其中心O距离为距离为d处置一点电荷处置一点电荷q，试求板上电通量试求板上电通量 球冠面上的电通量与圆板的电通量相同！球冠面上的电通量与圆板的电通量相同！qdrR222kqkqERrd 距距q为为R处电场强度大小为处电场强度大小为球冠面积为球冠面积为 2SR Rd 22ekqR RdR 2

3、2012qddr 第5页/共60页例例:在相距在相距d的两根平行细长导线上均匀地分布有异种电荷，其线密度为及的两根平行细长导线上均匀地分布有异种电荷，其线密度为及 求在对称平面上与导线所在平面相距为求在对称平面上与导线所在平面相距为x的一点的一点P的电场强度的电场强度 由高斯定理有由高斯定理有 0el 022eERlR l R02ER 2d2dxP 1E 2EPE1222022EEdx 22220/22222pdEddxx 22024pdExd 第6页/共60页例例:如图，有如图，有“无限长无限长”均匀带电圆柱面，半径为均匀带电圆柱面，半径为R，电荷面密度为，电荷面密度为，试求其场，试求其场强

4、，并作强，并作E（r）图）图 rR 0e 0eES rR RE02eRl l 2eeESrl 01Rr rE0R0 第7页/共60页例例:如图，在一厚度为如图，在一厚度为d的无穷大平板层内均匀地分布有正电荷，其密度为的无穷大平板层内均匀地分布有正电荷，其密度为，求在，求在平板层内及平板层外的电场强度平板层内及平板层外的电场强度E，并作，并作E（r）图）图 dS 2dr 时02eSr 02eESr 2dr 时0eS d 022eESd rE0d/202d 02d 第8页/共60页例例:一点电荷一点电荷q位于一立方体中心，立方体边长为位于一立方体中心，立方体边长为a，试问通过立方体一面的电通量，试

5、问通过立方体一面的电通量是多少？如果点电荷移至立方体的一个角上，这时通过立方体每个面的电通量各是多少？如果点电荷移至立方体的一个角上，这时通过立方体每个面的电通量各是多少？是多少？点电荷位于立方体中心时，通过立方体一个表面的电通量为点电荷位于立方体中心时，通过立方体一个表面的电通量为 06eq 点电荷位于立方体顶点时，点电荷位于立方体顶点时，通过立方体一个表面的电通量为通过立方体一个表面的电通量为 0614eq 024q 第9页/共60页 静电场的两大外观表现静电场的两大外观表现对引入电场的任何带电体产生力的作用对引入电场的任何带电体产生力的作用.当带电体在电场中移动时当带电体在电场中移动时,

6、电场力做功电场力做功,说明电说明电场具有能量场具有能量.描述静电场的基本规律描述静电场的基本规律对一个孤立系统，电荷可在系统各部分之间迁移，但其总量对一个孤立系统，电荷可在系统各部分之间迁移，但其总量保持不变保持不变原来为零的始终为零，原来为某一量原来为零的始终为零，原来为某一量Q Q的，则始的，则始终为终为Q Q，此即电荷守恒定律，此即电荷守恒定律 122=kq qFr在真空中的任何静电场中，通过任一闭合曲面的在真空中的任何静电场中，通过任一闭合曲面的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和的电通量等于这闭合曲面所包围的电荷的代数和的0 0分之一，这就是真空中静电场的高斯定理分之一，这就是真

7、空中静电场的高斯定理0iieq 等效处理方法等效处理方法等效对称替代法等效对称替代法等效电像变换法等效电像变换法第10页/共60页 球在第一次与板接触后获得电量为球在第一次与板接触后获得电量为q，说明有，说明有量值为量值为q的正电荷从板上转移到球上，由电荷守的正电荷从板上转移到球上，由电荷守恒可知，此时板上电量为恒可知，此时板上电量为(Q-q),球与板这一系统中的总电量是按比例球与板这一系统中的总电量是按比例分配到球上与板上的分配到球上与板上的qQq 当多次操作直至最终板上电量又一次为当多次操作直至最终板上电量又一次为Q但不能但不能向与之接触的球迁移时（此时两者等电势），球上电向与之接触的球迁

8、移时（此时两者等电势），球上电量达到最大量达到最大:maxqqQQq maxqqqQQ 例例:一个金属球借助导电薄板从起电机上获得电荷，板在每次与球接一个金属球借助导电薄板从起电机上获得电荷，板在每次与球接触后又从起电机上带电至电量为触后又从起电机上带电至电量为Q如果球在第一次与板接触后带如果球在第一次与板接触后带电量为电量为q，求球可获得的最大电量，求球可获得的最大电量.第11页/共60页例例:如图所示，半径相同的两个金属球如图所示，半径相同的两个金属球A、B相距很远，原来不带电，相距很远，原来不带电，C球先与远球先与远处电池正极接触，（负极接地），接着与球处电池正极接触，（负极接地），接着

9、与球A接触，再与接触，再与B球接触；然后又与电池球接触；然后又与电池正极接触，重复上述过程，反复不已已知正极接触，重复上述过程，反复不已已知C球第一次与电池接触后的带电量为球第一次与电池接触后的带电量为q，第一次与第一次与A球接触后球接触后A球的带电量为球的带电量为Q1，求，求A球与球与B球最后的带电量球最后的带电量Q与与Q；设设 ，至少经过几次与，至少经过几次与C球接触后，球接触后，A球的带电量可达最后带电量的一半？球的带电量可达最后带电量的一半？1910Qq CAB 设设A A、B B球半径为球半径为R,C球半径为球半径为r,C球与球与A A球第球第1 1次接触后有次接触后有11qQQrR

10、 qQrR 时 电荷不再从电荷不再从C C球移向球移向A A球，故球，故RQqr C球与球与B球接触最终球接触最终亦有亦有 qQrR 11QqqQQ 由式及题给条件由式及题给条件 19rR 若第次若第次C与与A接触后接触后A又获电量又获电量Q2，212qQQQrR 則則22910Qq n次次C、A接触后有接触后有 919104.511010nqq n7 次次返回返回11QqqQ=第12页/共60页r2r1mO 2 1 1S 2S MQq21121coscosrkqFkqr 22222coscosrkqFkqr 带电球壳内场强为带电球壳内场强为零零!320343krErr r第13页/共60页2

11、kQR点电荷点电荷q在两侧场强等值反向在两侧场强等值反向!qEqEq整个带电球内部场强为整个带电球内部场强为0;外表面场强大小为外表面场强大小为设球壳除设球壳除A外其余部分在外其余部分在A处的场强为处的场强为EAA在在A A内侧有内侧有0qAEE 在在A A外侧有外侧有2qAkQEER 22AEkQR 22FkqQR 例例:均匀带电球壳半径为均匀带电球壳半径为R，带正电，电量为，带正电，电量为Q，若在球面上划出很，若在球面上划出很小一块，它所带电量为小一块，它所带电量为q试求球壳的其余部分对它的作用力试求球壳的其余部分对它的作用力 第14页/共60页例例:一个半径为一个半径为a的孤立的带电金属

12、丝环，其中心电势为的孤立的带电金属丝环，其中心电势为U0将此环靠将此环靠近半径为近半径为b的接地的球，只有环中心的接地的球，只有环中心O位于球面上，如图试求球上位于球面上，如图试求球上感应电荷的电量感应电荷的电量 O点点O1点电势均为点电势均为0;环上电荷在环上电荷在OO点的总电势为点的总电势为U U0 00iikqUa 球上感应电荷在球上感应电荷在OO1 1点引起的电势点引起的电势U Ub bO1a bOO点点O1点电势均由环上电荷及点电势均由环上电荷及球上感应电荷共同引起！球上感应电荷共同引起！1ibOikQUUb 环上电荷在环上电荷在OO1 1点的总电势为点的总电势为122iOikqUa

13、b 0212OUaUab 022aUab 022abUk aQb 第15页/共60页例例:正点电荷正点电荷1和正点电荷和正点电荷2分别放置在分别放置在A、B两点，两点间相距两点，两点间相距L现以现以L为直径作一半圆，电荷在此半圆上有一电势最小的位置为直径作一半圆，电荷在此半圆上有一电势最小的位置P，设设PA与与AB的夹角为的夹角为，则，则 （用三角函数表示）（用三角函数表示）切向场强为切向场强为0位置为位置为电势最小的位置！电势最小的位置！1222sincoscossinkQkQLL 321tanQQ 1Q2Q3121tanQQ 第16页/共60页例例:电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心

14、电荷均匀分布在半球面上，它在这半球的中心O处电场强度等于处电场强度等于E0两个平面通过同一条直径，夹角为两个平面通过同一条直径，夹角为，从半球中分出一部分球面，从半球中分出一部分球面，如图所示试求所分出的这部分球面上（在如图所示试求所分出的这部分球面上（在“小瓣小瓣”上）的电荷在上）的电荷在O处的电场强度处的电场强度E E0E2 0sin2 EE 小小半球面均匀分布电荷半球面均匀分布电荷在在O点引起的场强可视点引起的场强可视为为“小瓣小瓣”球面电荷球面电荷与与“大瓣大瓣”球面电荷球面电荷在在O点引起的电场的矢点引起的电场的矢量和量和.由对称性及半球几何关系可知由对称性及半球几何关系可知E大大与

15、与E小小垂直，如图所示垂直，如图所示:第17页/共60页例例:有两个异种点电荷，其电量之比为有两个异种点电荷，其电量之比为n，相互间距离为，相互间距离为d试证明它试证明它们的电场中电势为零的等势面为一球面，并求此等势面的半径及其们的电场中电势为零的等势面为一球面，并求此等势面的半径及其中心与电量较小电荷的距离中心与电量较小电荷的距离r Oyx-qnq以小电量电荷所在位置为坐以小电量电荷所在位置为坐标原点，建立直角坐标标原点，建立直角坐标 ,x y 2222kqknqxydxy d-q与与nq在坐标为（在坐标为（x、y）的点电势迭加为零，即有的点电势迭加为零，即有 2222211dndxynn2

16、,01dn 球心坐标球心坐标球半径球半径21ndrn 第18页/共60页例例:半径分别为半径分别为R1和和R2的两个同心半球相对放置，如图所示，两个半的两个同心半球相对放置，如图所示，两个半球面均匀带电，电荷密度分别为球面均匀带电，电荷密度分别为1和和2，试求大的半球面所对应底面，试求大的半球面所对应底面圆直径圆直径AOB上电势的分布上电势的分布 AB大半球面上电荷量为大半球面上电荷量为2112 R 大半球面上电荷在底面引起的电势为整个大半球面上电荷在底面引起的电势为整个大球大球面上电荷引起电势的一半面上电荷引起电势的一半,即即211111122kRUk RR 小半球面上电荷量为小半球面上电荷

17、量为2222 R 小半球面上电荷在其底面引起的电势为整个小球小半球面上电荷在其底面引起的电势为整个小球面上电荷引起电势的一半面上电荷引起电势的一半,即即222222222kRUk RR 根据电场叠加原根据电场叠加原理理,直径直径ABAB上电上电荷分布为荷分布为:11222121221222kRRRRrUrRURrRk 小半球面上电荷在球面外引起的电势亦为小半球面上电荷在球面外引起的电势亦为整个小球面上电荷引起电势的一半整个小球面上电荷引起电势的一半,即即222222kRUr 第19页/共60页例例:一半径为一半径为R、带电量为、带电量为Q的均匀带电球面，试求其上的表面张力系数的均匀带电球面，试

18、求其上的表面张力系数，定义定义为面上单位长度线段两侧各向对方施加的作用力为面上单位长度线段两侧各向对方施加的作用力 R E2 sin2R TT2sin2SR 222sinsin2424QQqRR 208QER 在球面上取一面元在球面上取一面元面元受力如示面元受力如示0220222sin4s2i28n23eQFRQQR 面元周边所受张力合力大小为面元周边所受张力合力大小为2sinsin22TR 面元处于平衡面元处于平衡,则则2220sin232sinsin222QRR 223064QR 返回返回第20页/共60页例例:如图，电场线从正电荷如图，电场线从正电荷q1出发，与正点电荷及负点电荷的连线出

19、发，与正点电荷及负点电荷的连线成成角，则该电场线进入负点电荷角，则该电场线进入负点电荷q2的角度的角度是多大？是多大？+q1q2以点电荷以点电荷+q1与与-q2为中心，为中心，取一半径取一半径r很小的球面，可很小的球面，可视为其上电场线均匀分布，视为其上电场线均匀分布，穿出穿出2角所对的球冠面的角所对的球冠面的电场线应完全穿入电场线应完全穿入2角所角所对的球冠面，两面上电通对的球冠面，两面上电通量相等：量相等：12220021cos21cos44r rr rqqrr 12sinsin22qq 第21页/共60页-4qq例例:准确地画出两点电荷准确地画出两点电荷q及及4q的电场线分布示意图的电场

20、线分布示意图.若若两电荷相距两电荷相距a，场强为零的点在两点电荷连线延长，场强为零的点在两点电荷连线延长线距线距+q为为x远处远处:2214xxaax 由上题，从由上题，从+q出发，出发，与两电荷连线所成与两电荷连线所成角度在角度在0,之间的之间的电场线进入电场线进入-4q终止终止时与两电荷连线夹时与两电荷连线夹角在角在0,/3之间，之间，如图如图:A第22页/共60页O点电势为点电势为0：0rRqqqlrR 由高斯定理知由高斯定理知0rRqqq Rlr RR lQqr rlR rr lQqR qrRl例例:如图，两个以如图，两个以O为球心的同心金属球壳都接地，半径分别是为球心的同心金属球壳都

21、接地，半径分别是r、R现在离现在离O为为l（rlR）的地方放一个点电荷）的地方放一个点电荷q问两个球壳上的问两个球壳上的感应电荷的电量各是多少？感应电荷的电量各是多少？.第23页/共60页例例:如图所示，将表面均匀带正电的半球，沿线分成两部分，然后将这两部分移开如图所示，将表面均匀带正电的半球，沿线分成两部分，然后将这两部分移开很远的距离，设分开后的球表面仍均匀带电，试比较点与点电场强度的大小很远的距离，设分开后的球表面仍均匀带电，试比较点与点电场强度的大小 AA A2R2RA E1E23EA23EE 第24页/共60页ABCDO203414 若正四面体的四个面电势相同，四面体就是一个等势体，

22、若正四面体的四个面电势相同，四面体就是一个等势体，其中心点电势即可确定，现正四面体其中心点电势即可确定，现正四面体ABCD各面静电势各面静电势均不同，其中心点的电势难以直接确定均不同，其中心点的电势难以直接确定.例例:如图所示，如图所示，正四面体正四面体ABCDABCD各面为导体，但又彼此绝缘已知带各面为导体，但又彼此绝缘已知带电后四个面的静电势分别为、和电后四个面的静电势分别为、和,求四面体中心求四面体中心点的电点的电势势 0 0 1 4 2 3 进行等效替代进行等效替代：另有同样的三个四：另有同样的三个四个面的静电势分别为个面的静电势分别为1、2、3和和4的的正四面体，将它们适当地叠在一起

23、，使正四面体，将它们适当地叠在一起，使四个面的电势均为四个面的电势均为1+2+3+4，中心，中心点点O共点，这个叠加而成的四面体是等势共点，这个叠加而成的四面体是等势体，其中心体，其中心O点电势点电势40=1+2+3+4 第25页/共60页例例:如图所示，在半径为如图所示，在半径为R、体密度为的均匀带电球体内部挖去半径为、体密度为的均匀带电球体内部挖去半径为r的一个小的一个小球，小球球心与大球球心球，小球球心与大球球心O相距为相距为a，试求点的场强，并证明空腔内电场均匀，试求点的场强，并证明空腔内电场均匀 O r1OAE1EAE2r212EEEA110Er3 120Err3A 則則带电球内半径

24、为带电球内半径为r处处场强场强320343krErr 220Er3 0a3 a第26页/共60页BABP OMABAP处带宽设为处带宽设为l 带面积为带面积为2sinslR 均匀带电球电荷面密度为均匀带电球电荷面密度为P处带上电荷量为处带上电荷量为22sin4 QQlRR P处弧上电荷线密度为处弧上电荷线密度为sin2 QlR 例例:如图所示，在半径为如图所示，在半径为R的细圆环上分布有不能移动的正电荷，总电量为的细圆环上分布有不能移动的正电荷，总电量为Q，AB是它的一条直径，如果要使是它的一条直径，如果要使AB上的场强处处为零，则圆环上的电荷应该如何上的场强处处为零，则圆环上的电荷应该如何分

25、布？分布？sin4QR 24QR 第27页/共60页均匀带电金属球表面每一个面元受到均匀带电金属球表面每一个面元受到整个球面其余部分电荷对它的静电力整个球面其余部分电荷对它的静电力大小是大小是 2224ikQQFSRR 则单位面积静电力则单位面积静电力 248FkQPsR 设想另半球对此半球的作用力与压强亦为设想另半球对此半球的作用力与压强亦为P P的气体的气体作用在半球上的压力相平衡，则作用在半球上的压力相平衡，则 2224288kQkQFRRR 22032QR 例例:两个半球合在一起组成一个完整的金属球，球的半径为两个半球合在一起组成一个完整的金属球，球的半径为R，如图，如图所示，求两个半

26、球间的静电斥力所示，求两个半球间的静电斥力.+第28页/共60页+EQE-QEEEEQQ 10r3EQ 而而203ErQ 1200rr33EEd=則則r1r2E d03Ed 可可得得S V d cosVS d 03EVdS 03cosE 例例:在强度为在强度为E的均匀电场中放着一个均匀的金属球，其半径为的均匀电场中放着一个均匀的金属球，其半径为R，由于感应，在，由于感应，在球上产生了表面密度为球上产生了表面密度为的电荷，的电荷，与图中标出的角与图中标出的角有关系求关系式有关系求关系式()第29页/共60页例例:如图所示，如图所示，平面上有一段长为平面上有一段长为l的均匀带电直线的均匀带电直线A

27、B，在该平面取直角坐标，在该平面取直角坐标Oxy，原点原点O为为AB中点，中点，AB沿沿x轴试证明该平面上任一点轴试证明该平面上任一点P的电场线方向沿的电场线方向沿APB的的角平分线；试求该平面上的电场线方程试求该平面上的等势线方程角平分线；试求该平面上的电场线方程试求该平面上的等势线方程.PCEPBAhix i2 1rin siniirnx i 2rnh 2irqnh 元电荷在元电荷在P点点引起的场强引起的场强qikhEn 各点合场强均沿该点各点合场强均沿该点对对AB张角的角平分线张角的角平分线!利用双曲线性质：双曲线上各点切线沿该点与双曲利用双曲线性质：双曲线上各点切线沿该点与双曲线两焦点

28、夹角平分线，而所研究的电场其各点电场线两焦点夹角平分线，而所研究的电场其各点电场线切线沿各点对线切线沿各点对A A、B B张角平分线，则电场线为一簇张角平分线，则电场线为一簇焦距为焦距为l l/2 2的的双曲线双曲线2222212xyala 利用椭圆性质：椭圆上各点法线为该点与椭圆两焦利用椭圆性质：椭圆上各点法线为该点与椭圆两焦点夹角平分线，所研究的电场其各点电场线切线沿点夹角平分线，所研究的电场其各点电场线切线沿各点对各点对A A、B B张角平分线，而等势线与电场线处处垂张角平分线，而等势线与电场线处处垂直，则其等势线即为一簇焦距为直，则其等势线即为一簇焦距为 l l/2 2的的椭圆椭圆22

29、22212xyala 返回返回第30页/共60页例例:如图，无限大的接地导体板，在距板如图，无限大的接地导体板，在距板d处的处的A点有一个电量为点有一个电量为Q的的正电荷，求板上的感应电荷对点电荷正电荷，求板上的感应电荷对点电荷Q的作用力的作用力 QA-Q24kQFd 2016Qd 由于导体板接地，板上电势为零，在点电荷由于导体板接地，板上电势为零，在点电荷Q Q的作用下，板的右侧出现感应电荷的作用下，板的右侧出现感应电荷.由于导体为一等势面，从点电荷由于导体为一等势面，从点电荷Q Q出出发的电场线应处处与导体面正交而发的电场线应处处与导体面正交而终止，因而导体板右侧电场线分布终止，因而导体板

30、右侧电场线分布大致如图所示大致如图所示联想到等量异种电荷的电场：联想到等量异种电荷的电场：导体板上感应电荷对板右侧电场的影响，导体板上感应电荷对板右侧电场的影响，可用与点电荷可用与点电荷Q关于导体面成镜像对称的关于导体面成镜像对称的另一虚设点电荷另一虚设点电荷-Q替代，板上感应电荷对替代，板上感应电荷对Q的作用亦等效于像电荷的作用亦等效于像电荷-Q对对Q发生的作用发生的作用由库仑定律，板上感应电荷对点电荷由库仑定律，板上感应电荷对点电荷Q Q的的作用力大小为作用力大小为第31页/共60页ROrPq q 由导体表面感应由导体表面感应电荷总电量在电荷总电量在O点引起的电势与点引起的电势与点电荷点电

31、荷q在在O点引点引起的电势之和为起的电势之和为零得零得 0kqkqdR 根据唯一性原理可知，等效的像电荷量即为根据唯一性原理可知，等效的像电荷量即为Rqqd 像电荷位置，应令其在球面上任意点引起的电势与像电荷位置，应令其在球面上任意点引起的电势与q在同在同一点电势叠加为零，即满足一点电势叠加为零，即满足 22222cos2coskqkqRdRdRrRr 2222222cos2cos dRrRrR RdRd 2 242322cos d rRRrdR d对任意角位置等式均成立必有对任意角位置等式均成立必有2rRd 22222kRdqkqdrRqFd 例例:如图所示，如图所示，设在一接地导体球的右侧

32、设在一接地导体球的右侧P点，有一点电荷点，有一点电荷q，它与球心的距离为，它与球心的距离为d，球的半径为球的半径为R，求导体球上的感应电荷为多少？点电荷，求导体球上的感应电荷为多少？点电荷q受到的电场力为多大？受到的电场力为多大？第32页/共60页例例:半径为半径为R2的导电球壳包围半径为的导电球壳包围半径为R的金属球，金属球原来具有电的金属球，金属球原来具有电势为势为U，如果让球壳接地，则金属球的电势变为多少？，如果让球壳接地，则金属球的电势变为多少？U金属球上电量设为金属球上电量设为Q1kQUR 由由1URQk球壳接地后设感应电荷的像电荷电球壳接地后设感应电荷的像电荷电量为量为q，由高斯定

33、理，由高斯定理 000Qq1R UqQk 壳接地后球的电势为壳接地后球的电势为Q与与q引起的引起的电势叠加电势叠加12URUUR 212RRUR 第33页/共60页Ecqab-qa qb-qEaEbaE bE c像电荷在像电荷在c点引起的场强大小点引起的场强大小 25kqEd 2452525cEkqEd 例例:两个电量两个电量q相等的正点电荷位于一无穷大导体平板的同一侧，且相等的正点电荷位于一无穷大导体平板的同一侧，且与板的距离均为与板的距离均为d，两点电荷之间的距离为，两点电荷之间的距离为2d求在两点电荷联线求在两点电荷联线的中点处电场强度的大小与方向的中点处电场强度的大小与方向 第34页/

34、共60页例例:如图所示，质子加速器使每个质子得到的动能为如图所示，质子加速器使每个质子得到的动能为E很细的质子束从加速器射很细的质子束从加速器射向一个远离加速器的半径为向一个远离加速器的半径为r的金属球，并留在球上球中心并不处在加速器发射的金属球，并留在球上球中心并不处在加速器发射出的质子运动方向的直线上，而与该直线的垂直距离为出的质子运动方向的直线上，而与该直线的垂直距离为d，且，且dr，加速器工作足，加速器工作足够长时间后，球能充电到多高的电势？计算中取够长时间后，球能充电到多高的电势？计算中取E=2keV，设质子初速度为设质子初速度为v0，当金属球充电到电势为，当金属球充电到电势为U时，

35、质子与时，质子与金属球相切而过，设此时速度设为金属球相切而过，设此时速度设为v，由于质子在向球运，由于质子在向球运动时，只受库仑力且力的方向沿球径向，故对球心动时，只受库仑力且力的方向沿球径向，故对球心O，冲，冲量矩为零，质子角动量守恒：量矩为零，质子角动量守恒：U02rmvmvr mv0mvdr022vEvm4EeUE 由动能定理：由动能定理：15V3400UEe 第35页/共60页例例:需要净化空气中的灰尘，但在一般条件下灰尘沉积下来是较缓慢的，为此可需要净化空气中的灰尘，但在一般条件下灰尘沉积下来是较缓慢的，为此可利用这样一个事实，即灰尘是带电的为模拟净化过程，提出两种装置利用这样一个事

36、实，即灰尘是带电的为模拟净化过程，提出两种装置 第一个装置是，将含有灰尘空气的玻璃圆桶（高第一个装置是，将含有灰尘空气的玻璃圆桶（高h1 m，半径，半径R0.1 m，如，如图示）放在场强图示）放在场强E11104 V/m的电场中，场强方向沿着圆柱形桶的轴向经的电场中，场强方向沿着圆柱形桶的轴向经时间时间t1120 s后，可以观察到容器中所有的灰尘均已沉积在底部后，可以观察到容器中所有的灰尘均已沉积在底部 第二个装置是这样的：沿圆柱桶的轴线紧拉着一根细导线，且将此导线跟高第二个装置是这样的：沿圆柱桶的轴线紧拉着一根细导线，且将此导线跟高压电源相连，电源电压是这样选取的，使在容器壁上场强值恰好等于

37、第一个装压电源相连，电源电压是这样选取的，使在容器壁上场强值恰好等于第一个装置的场强值置的场强值1104 V/m已知在这种情况下场强已知在这种情况下场强E1/r，r为离轴线的距离为离轴线的距离假设尘粒是同种的，其所带电荷量也相等，试确定第二个装置中尘粒沉积到容假设尘粒是同种的，其所带电荷量也相等，试确定第二个装置中尘粒沉积到容器壁所需时间由于空气中的尘粒不多，体电荷可以忽略，认为尘粒沉积过程器壁所需时间由于空气中的尘粒不多，体电荷可以忽略，认为尘粒沉积过程动态平衡，空气阻力与速度成正比，不计重力动态平衡，空气阻力与速度成正比，不计重力 解答解答h2R第36页/共60页第一个装置中，电场力恒定，

38、故尘粒匀速下降时有第一个装置中，电场力恒定，故尘粒匀速下降时有 11E qkv 111htqvhkE 第二个装置中，在距离轴心第二个装置中，在距离轴心r处尘粒速度设为处尘粒速度设为vr，则，则 111rrREt E qqkvvrh 1rRhvrt Rn21limnniiRtnv 11limnniRR itnnRh 1211limnniRtihn 12Rth 6s 读题读题第37页/共60页 电容器相关研究电容器相关研究+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+E 0E电介质的介电常数定义为电介质的介电常数定义为00EEE 0CSd 221

39、1222QUQCUCW 到例到例到例到例6示例示例第38页/共60页 ES 由高斯定理由高斯定理,无限大均匀带电平面的无限大均匀带电平面的电场由电场由 0eS 022eES QQ 两面积两面积S、间距间距d平行板电容器当带电荷量平行板电容器当带电荷量Q时，时，板板间电场由电场叠加原理可得为间电场由电场叠加原理可得为0022E 两板两板间电势差间电势差0Ud 00SQUdSCd 則則第39页/共60页+O ABRRrnn 取取ri由高斯定理由高斯定理,在距球心在距球心ri处场强处场强204eiiqESr 在距球心在距球心ri处处r 其上场强视作恒定其上场强视作恒定,则元电势差为则元电势差为204

40、iABiRRUrnq 电容器两极间电势差为电容器两极间电势差为210lim4nniiqUrr 201lim4nniiqrr 2211limlimnnnniiiArrrRi r 1limnnAAirRi rRi rr 111limnnAAiRi rrRi r 1111111lim21nnAAAAABiRRrRrRrRnrR 0114ABqRR 04ABBARQCURRR 則則第40页/共60页例例:两个半径均为两个半径均为R的导体球相互接触形成一孤立导体，试求此孤立的导体球相互接触形成一孤立导体，试求此孤立导体的电容导体的电容 O1RO1O2+q1解题方向解题方向:若能确定若能确定系统电势为系统

41、电势为U时的电时的电量量Q,可由定义求得可由定义求得C考虑其中考虑其中1球球,电势为电势为U时时,电量电量1URqk +q1O2R+q1引入同样的第引入同样的第2球球,1球将电势叠加球将电势叠加,为维持为维持U,122qq 12ORr+q1-q2-q2对称地对称地,为维持球为维持球2电势电势U,亦设置亦设置像电荷予以抵消像电荷予以抵消为抵消像电荷引起的电势为抵消像电荷引起的电势,再设置再设置下一级像电荷下一级像电荷1132323qqq 223ORr+q3+q3-q4-q4 111121234Qq 2ln2URk 08 ln2CR 第41页/共60页例例:半径分别为半径分别为a和和b的两个球形导

42、体，相距很远地放置，分别带有电的两个球形导体，相距很远地放置，分别带有电荷荷qa、qb，现用一金属导线连接，试求连接后每球上的电荷量及系，现用一金属导线连接，试求连接后每球上的电荷量及系统的电容统的电容.解题方向解题方向:系统总电量守恒，只要确定导系统总电量守恒，只要确定导线连接后系统的电势线连接后系统的电势,可由定义求得可由定义求得C C设连接后两球各带电设连接后两球各带电abqq 由电荷守恒有由电荷守恒有 ababqqqq+由等势且相距很远由等势且相距很远 abkqkqUab解解得得 aabaqqqab abk qabUq abqqCU 則則abk 返回返回第42页/共60页abddh i

43、 i+1123dh解题方向解题方向:不平行电容器等效不平行电容器等效为无穷多个板间距离不等的平为无穷多个板间距离不等的平行板电容器并联行板电容器并联!若无穷均分若无穷均分b01limnnibanCb hdin b 001111limlim1nnnniibaabnb hhdndiin bnd 若无穷均分若无穷均分C10/iiiddaCh bdn 01iiiab ddChdn 101iidChdnab 等式两边取等式两边取n次方极限得次方极限得0Chabdhed 0lnabdhhCd 例例:如图，两块长与宽均为如图，两块长与宽均为a与与b的导体平板在制成平行板电容器时稍有偏斜，使两的导体平板在制成

44、平行板电容器时稍有偏斜，使两板间距一端为板间距一端为d，另一端为（，另一端为（dh），且且h d，试求该空气电容器的电容，试求该空气电容器的电容 第43页/共60页例例:如图所示，由五个电容器组成的电路，其中如图所示，由五个电容器组成的电路，其中C14F，C26F，C10F，求求AB间的总电容间的总电容 C1C1C2C2C3AMNB设在设在A、B两端加一电压两端加一电压U，并设，并设UMUNM(N)处连接三块极板总电量为处连接三块极板总电量为则有则有 -121122213UUUC UC UUUC 解得解得 12815715UUUU 1122815715QUCQUC 于是有于是有 1212871

45、515QQCCCU 74F15C 五电容连接后的等效电容为五电容连接后的等效电容为 五电容连接直观电路如图五电容连接直观电路如图 ABC1C1C2C2C3第44页/共60页例例:如图是一个无限的电容网络，每个电容均为如图是一个无限的电容网络，每个电容均为C，求，求A、B两点间两点间的总电容的总电容 设设n个网格的电容为个网格的电容为Cn,则有则有 22nABnnCCCCCCCC 22220nnCCCC 整理得整理得 312nCC 该无穷网络等效电容该无穷网络等效电容为为 n ABnCC返回返回第45页/共60页例例:如图，一平行板电容器，充以三种介电常数分别为如图，一平行板电容器，充以三种介电

46、常数分别为1、2和和3的的均匀介质，板的面积为均匀介质，板的面积为S，板间距离为，板间距离为2d试求电容器的电容试求电容器的电容 dd1 2 3 3C2C1C0 114SCd 0 332SCd 0 222SCd 23123C CCCCC 等效于等效于C1与串联的与串联的C2、C3 并联并联:01 21 32323222Sd 第46页/共60页例例:在极板面积为在极板面积为S，相距为，相距为d的平行板电容器内充满三种不同的介质，如图所的平行板电容器内充满三种不同的介质，如图所示如果改用同一种介质充满板间而电容与之前相同，这种介质的介电常数应示如果改用同一种介质充满板间而电容与之前相同，这种介质的

47、介电常数应是多少？如果在是多少？如果在3和和1、2之间插有极薄的导体薄片，问的结果应是多少？之间插有极薄的导体薄片，问的结果应是多少？a1 2 3 bcd将电容器划分为如图所示将电容器划分为如图所示a、b、c、d四部分四部分所求等效电容为所求等效电容为a与与b串联、串联、c与与d串联后两串联后两部分并联而成，由部分并联而成，由C可得可得13231323 插入导体薄片插入导体薄片所求等效电容为所求等效电容为1与与2并联与并联与3串联，由串联，由C可得可得 31231222 第47页/共60页例例:球形电容器由半径为球形电容器由半径为r的导体球和与它同心的球壳构成，球壳内的导体球和与它同心的球壳构

48、成，球壳内半径为半径为R，其间一半充满介电常数为，其间一半充满介电常数为的均匀介质，如图所示，求电的均匀介质，如图所示，求电容容.球形电容器的电容球形电容器的电容 04RrCRr 本题电容器等效于介电常数为和本题电容器等效于介电常数为和的两个半球电的两个半球电容器容器并联并联，每个半球电容各为，每个半球电容各为 102RrCRr 202RrCRr 该球形电容器的等效电容为该球形电容器的等效电容为 0221RrrCR Rr第48页/共60页例例:如图所示为共轴的两导体圆柱面组成的电容器长如图所示为共轴的两导体圆柱面组成的电容器长l、半径分别为、半径分别为r和和R两圆两圆筒间充满介电常数为筒间充满

49、介电常数为的电介质求此电容器的电容的电介质求此电容器的电容 设圆柱面电容器电容为设圆柱面电容器电容为C，它由，它由n个电个电容为容为nC的元圆柱面电容串联而成，元圆柱的元圆柱面电容串联而成，元圆柱面电容器可视为平行板电容器，第面电容器可视为平行板电容器，第i个元电个元电容为容为 riri-1012iiir lnCrr 102iiiirrlrr nC 1021iirlrnC nnlimlimnn02 lCreR 02lnrRCl 第49页/共60页1234+q1-q2+q2-q11q 3q 1q +2q +2q 3q 1312qqqq121qqq 124332UUU由由312000qqqCCC

50、即即00SCd 其其中中1223qqq 32012023d qqqUCS 解题方向解题方向:利用电容对两板间利用电容对两板间的电压及极板上的电量的制约的电压及极板上的电量的制约 例例:四块同样的金属板，每板面积为四块同样的金属板，每板面积为S，各板带电量分别为，各板带电量分别为q1、-q1、q2、-q2各板各板彼此相距为彼此相距为d，平行放置如图，平行放置如图，d比板的线尺寸小得多，当板比板的线尺寸小得多，当板1、板、板4的外面用导线的外面用导线连接，求板连接，求板2与板与板3之间的电势差之间的电势差 第50页/共60页例例:如图所示，两块金属平板平行放置，相距如图所示，两块金属平板平行放置，