浙江省台州市2019届高三下学期4月调研数学试题（含解析）.doc

1、 浙江省台州市浙江省台州市 20192019 届高三届高三 4 4 月调研月调研 数学试卷数学试卷 考生注意：考生注意： 1 1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和 答题纸规定的位置上。答题纸规定的位置上。 2 2答题时，请按照答题纸上答题时，请按照答题纸上“注意事项注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本 试题卷上的作答一律无效。试题卷上的作答一律无效。 选择题部分选择题部分 ( (共共 4040 分分) ) 一、选择题：本

2、大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 4040 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。 1.若全集，集合 ，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出，再求出即可. 【详解】解：因为全集，集合， 所以， 故选：D. 【点睛】本题考查了集合的交集和补集，属于基础题. 2.已知 ， 满足条件，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先画出目标不等式组代表的平面区域，再画出目标函数并平移目标函数确定最优解的位

3、置，代入最优解得到 最值即可. 【详解】解：不等式表示的平面区域如下图阴影所示， 画出直线如图中过原点虚线， 平移直线过点，则取得最小值 3 故选：C. 【点睛】 本题考查了简单线性规划问题，属于基础题. 3.已知复数满足（为虚数单位） ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 先解出复数，再求其模长即可. 【详解】解：由，得， 所以 故选：C. 【点睛】本题考查了复数运算，复数的模长，属于基础题. 4.一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由三视图可知，该几何体为放倒的三棱柱，且底面为侧视图中

4、等腰直角三角形，然后结合图中数据计算出体 积即可. 【详解】解：由三视图可知，该几何体为放倒的三棱柱，且底面为侧视图中等腰直角三角形， 所以体积 故选：B. 【点睛】本题考查了三棱柱的三视图，体积的计算，属于基础题. 5.已知，则“ ”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 分充分性和必要性进行讨论即可. 【详解】解：因为，如果 a0，则 b1 一定是负数，必有成立； 如果a0，由成立，则必成立； 反过来，若，则不一定有，如531，但531 不成立 所以是充分不必要条件 故选：A 【点睛】本题考

5、查了命题充分必要条件的判断，属于基础题. 6.已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先由，再由其展开式求出第三项系数即可. 【详解】解：因为 第三项为 所以 故选：D. 【点睛】本题考查了二项式定理的系数问题，属于基础题. 7.已知 ，.则当时，的图像不可能 是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 记，易证记为奇函数，结合选项，讨论各选项的奇偶性，求出对应 ，再验证是否可能为其 图像. 【详解】解：记，得， 对于 A、B，图象关于 y 轴对称，所以，是偶函数，则有 ，时，0，所以 A 不可能，B 有可能。 对于 C、D，图象关于原点

6、对称，所以是奇函数，则有 ，或，C、D 都有可能。 故选：A. 【点睛】本题考查了函数的图像的识别，函数的奇偶性，属于中档题. 8.若平面向量满足：，且 ，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 设向量的夹角为 ，由，得，又由可求出其范 围. 【详解】解：设向量的夹角为 ， 因为，所以， 所以， ， 因为， 所以的取值范围是 故选：B. 【点睛】本题考查了向量的数量积与模长，属于中档题. 9.已知六人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法 数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先把除

7、甲、乙、丙三人外的 3 人先排好队，然后在排甲，再排乙、两. 【详解】解：除甲、乙、丙三人外的 3 人先排好队，共有种，这 3 人排好队后有 4 个空位， 甲只能在丁的左边或右边，有种排法，乙、两的排法有：， 共有：72 种排队方法。 故选：A. 【点睛】本题考查了排列问题，不相邻一般采用插空法，同时要注意特殊优先原则. 10.已知，且函数 .若对任意的不等式恒成立，则实 数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先参变分离得， 然后分类讨论求出得最小值， 列不等式解 出 的范围即可. 【详解】解：因为，不等式恒成立， 所以， 即恒成立， 令，则， 时，0

8、，g（x）递减；时，0，g（x）递增， 所以 g（x）最小值为：， 令（） ， 所以 令 （1）当时，t4，所以的最小值为：， 所以， 即，解得：， 所以 （2）当 1 4 时，所以，的最小值为：， 所以， 即，解得： 所以恒成立。 综合（1） （2）可知： 故选：B. 【点睛】本题考查了函数的综合问题，不等式恒成立问题，参变分离和分类讨论是解题关键，属于难题. 非选择题部分（共非选择题部分（共 110110 分）分） 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 7 7 小题，小题，多空题每题多空题每题 6 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 4 分，共分，共 3636 分。分。 11.我国古

9、代数学著作孙子算经中记载：“今有三人共车，二车空，二人共车，九人步.问人车各几何？” 其大意是：“每车坐 人，两车空出来；每车坐 人，多出 人步行.问人数和车数各多少？”根据题意，其车 数为_辆. 【答案】15 【解析】 【分析】 设车数为 x 辆，列出方程解出答案即可. 【详解】解：设车数为 x 辆，则 3（x2）2x+9， 解得：x15 故答案为：15. 【点睛】本题考查了方程得实际应用，属于基础题. 12.已知为等差数列的前 项和，满足 ，则_，的最小值为_. 【答案】 (1). 5 (2). -9 【解析】 【分析】 先由，解出和 ，然后可求出；算出为 n 的二次函数，由二次函数的最值

10、得出答案. 【详解】解：依题意得：， 解得， 所以， ， 当 n3 时，最小值为9 故答案为：5；-9. 【点睛】本题考查了等差数列基本量的计算，前 n 项和的最值，属于基础题. 13.设实数 ， 满足，则的最大值为_，的最小值为_. 【答案】 (1). 4 (2). 16 【解析】 【分析】 由代入消元，再用配方法可求出的最大值；展开化简可得，可求出 其最小值. 【详解】解：， 当a2 时，的最大值为 4； ， 当ab1 时，的最小值为 16 故答案为：4；16. 【点睛】本题考查了代数式的最值求法，可采用函数思想，也可尝试用基本不等式求解. 14.一个不透明袋中放有大小、形状均相同的小球，

11、其中红球 个、黑球 个，现随机等可能取出小球.当有放 回依此取出两个小球时，记取出的红球数为，则_；若第一次取出一个小球后，放入一个红球 和一个黑球，再第二次随机取出一个小球.记取出的红球总数为，则_. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 先确定，可能的取值，再分别求出其概率，计算期望即可. 【详解】解：可取值为 0，1，2， ， 所以 ； 可取值为 0，1，2， ， 所以 ； 【点睛】本题考查了随机变量的分布列和数学期望，属于中档题. 15.已知 为双曲线的左焦点，过点 作直线与圆 相切于点 ，且与双曲线右 支相交于点 ，若，则双曲线的离心率为_. 【答案】 【解析】 【分析】

12、 取 AB 有中点 D，连 F2D，易得 FAADDBb，F2D2OA2a，BF2BF2a3b2a，然后在 RtBDF2中列 勾股方程，得到的关系，求出离心率. 【详解】解：如下图，取 AB 有中点 D，连 F2D， 因为，所以 FAADDB， 因为 O 为 FF2的中点，A 为 FD 的中点，OAFD， 所以 OAF2D，F2DFD，F2D2OA2a， 在直角三角形 FAO 中，FA 2OF2OA2c2a2b2， 所以 FAb，又由双曲线的定义，得：BFBF22a， 所以 BF23b2a， 在 RtBDF2中，解得：。 离心率：e 【点睛】本题考查了双曲线的定义与几何性质，寻找关系列出 ab

13、c 有关的其次方程是关键. 16.在中，是 边上的中线，ABD .（1）若，则CAD_； （2）若， 则的面积为_. 【答案】 (1). (2). 【解析】 【分析】 （1）先由余弦定理可得，得到三角形 ADC 为等边三角形，； （2） 对ABD 和ABC 中分别用余弦定理得到方程组，解出，然后求出面积. 【详解】解： （1）在三角形 ABD 中，由余弦定理得 所以，所以， 所以， 又 为中点，所以， 所以三角形 ADC 为等边三角形， 所以； （2），所以，设， 在ABD 中，即， 又在ABC 中，即， 联立两式解得， 所以， 解得， 【点睛】本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面

14、积公式，属于中档题. 17.已知正方体中， 为的中点，在平面 内，直线，设二面角的平面 角为 ，当 取最大值时，_. 【答案】 【解析】 【分析】 设直线交于， 过 作交于 ， 连结交于 H， 易证得平面， 所以为二面角的平面角，设，求出的最小值，此时最大，求 出结果即可. 【详解】解：设直线交于， 因为直线， 为的是中点，所以 为的中点， 过 作交于 ，则， 连结交于 H，则 为的中点，过 作交于点 ，则 为中点， 因为平面，所以平面， 所以，所以为二面角的平面角，即， 问题转化为在上找一点 ，使最大， 设正方体的边长为 ，则， ， 当，即 为中点时，最小，最大 此时， 【点睛】 本题考查了

15、二面角的平面角的求法，找到二面角是关键，属于难题. 三、解答题：本大题有三、解答题：本大题有 5 5 小题，共小题，共 7474 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.已知函数， . （）求的单调递增区间； （）若关于 的方程在上有解，求实数 的取值范围. 【答案】 （）； （）. 【解析】 【分析】 （） 先用降幂公式和辅助角公式化简函数到， 再求单调增区间即可；（） 先求出函数 在上的值域，然后得出 的范围. 【详解】解： （）因为 由，得 所以的单调增区间为 （）因为，所以， 所以 因为方程在上有解，所以 【点睛】本题考查了三角函

16、数的性质与综合，化简函数到是这类问题的关键. 19.如图棱锥的底面是菱形， ，侧面垂直于底面，且是正三角形. （）求证：； （）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】 （）见解析； （）. 【解析】 【分析】 （）取中点 ，连接、，易证，所以平面，； （）易证面 ， 故可以点 为坐标原点，分别为建立空间直角坐标系， 写出各点坐标， 求出和平面 的法向量 ，然后由得出答案. 【详解】解： （）如图，取中点 ，连接、 因为是正三角形，所以 又因为菱形，所以是正三角形，所以 又，平面 所以平面 因为平面 所以 （）因为侧面垂直于底面，面面， 所以面 如图，以点 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 ,，

17、 则， 设平面的法向量 则，取，得， 所以，记直线与平面所成角为 所以 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查了空间中垂直关系的证明，直线与平面所成的角，在找角不是很熟练的情况下，选择建系 用空间向量求夹角是一个好办法. 20.设数列的前 项和为，已知 ， （）求证数列为等比数列，并求通项公式； （）若对任意的，都有，求实数 的取值范围 【答案】 （）； （）. 【解析】 【分析】 （）由，得两式相减，化简后可得，所以为等比 数列，然后求出其首项和公比，写出通项公式； （）代入参变分离得，记，然 后用作差法求出最大项，从而求出的最小值，得出答案. 【详解】解： （）由，得 两式相减

18、得，即 所以，即 所以为等比数列， 在中，令,得 所以首项， 所以 所以 （）由，得 所以 记，则 当时，即 当时，即 所以当时，最大为 所以当时，最小为 所以. 【点睛】本题考查了数列的通项公式求法，最小项的求法，综合程度较高，属于中档题. 21.已知斜率为 的直线经过点，且直线交椭圆于 ， 两个不同的点. （）若，且 是的中点，求直线的方程； （）若随着的增大而增大，求实数 的取值范围. 【答案】 （）； （）或. 【解析】 【分析】 （）设直线的方程，联立得到韦达定理，由点 是中点，得，联立韦达定理可求解出 ； （）设直线的方程，联立得到韦达定理，利用弦长公式求出，换元进行简化，由随着的

19、 增大而增大，得到不等式解出 的范围. 【详解】解： （）设，直线的方程为， 联立椭圆方程，得 所以， 因为点 是中点，所以，代入得， 所以，解得 所以直线的方程为 （）设，直线的方程为， 联立椭圆方程得 所以， 所以 记，则 记, 由随着的增大而增大，所以随着 的增大而增大 所以函数在上单调递减 当时，显然不成立 当时，有，解得或 【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，联立直线与椭圆方程得到韦达定理是解决这类问题的重要方法. 22.已知函数（ 为自然对数的底数， ）. （）若关于 的方程有三个不同的解，求实数 的取值范围； （）若实数 ， 满足，其中，分别记：关于 的方程在上两个不同的解

20、为，；关于 的方程在上两个不同的解为，求证：. 【答案】 （）； （）见解析. 【解析】 【分析】 （）求导，解不等式和得到函数的单调性，结合特殊点函数值，可大致得到函数简图， 求出 的范围； （）先构造函数，可证出当和时，即 ，然后代入，结合的单调性求出得出不等式组，再相加即可证出所需结论. 【详解】解： （）由，得 当和时，单调递增 当时，单调递减 又， 当时，；当时， 因为关于方程有三个不同的解 所以 （）记 所以 当时，单调递减 当时，单调递增 当时，单调递减 当时，单调递增 又因为，所以 所以当和时，即 由题意，不妨设， 所以 因为，且函数在上单调递减 所以，即 同理 因为，且函数在上单调递增 所以 +得： 即 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点问题，综合性较强，巧妙构造函数是解决第（）问 的关键，属于难题.