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1、Chapter 9 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析 阻抗、导纳的概念；电路方程的相量形式，线性电路定理的相量 描述和应用；瞬时功率、平均功率、无功功率、视在功率、复功率；最大功率传输；主 要 内 容9-1 9-1 阻抗和导纳阻抗和导纳 一.阻抗 阻抗角 iuZ 欧姆定律的相量形式 IZU 阻抗模 IUZ ZiuiuZIUIUIUdefZ 1.阻抗 Z 的代数形式jXRZ 电抗电阻 sinIm cosReZZZZXZZRRZRR ：感抗，：LXjXLjZLLLL容抗，：1 1 CXjXCjZCCCC RLC串联电路的阻抗 相量模型是一种运用相量能很方便地对正弦稳态电路进行分析、计算的假想模

2、型。ZZjXRCLjRCjLjRIUZ)1(1 CLXXXCL 1)arctan(,22RXXRZZZZZXZRsin ,cos阻抗角 RXXCLZarctan 的等效阻抗）（）（）（0 ZNjXRj流呈电感性，电压超前电ZCLXZ,0 ,1 ,0)1流呈电容性，电压滞后电ZCLXZ,0 ,1 ,0)2相呈电阻性，电压电流同ZCLX,0 ,1 ,0)3 例9-1：串联电路中，,求电流以及各元件的电压。VtuFCHLRS 2cos210 25.0 2 2，解：VUS 0101）（452222242 2jjjZZZZCLR）（VIjIZUUVIIZUUVIjIZUUAZUICcdCRbcRLabL

3、S 135252 45252 452104 45253）（VttutuVttutuVttutuAtticdCbcRabL )1352cos(10)()()452cos(10)()()452cos(20)()()452cos(5)(4）（二.导纳 yuiYUIUIZY1 导纳模UIY 导纳角 uiy 导纳 Y 的代数形式 电纳电导 sinIm cosReyyYYBYYGUYIjBGY RLC并联电路的导纳 RGYRR1 ：感纳，：1 1 1 LBjBLjLjYLLLL容纳，：CBjBCjYCCCC 1 1 11）（LCjRCjLjRYLCyBBLCBYjBG 1 导纳角 GBBLCyarctan

4、4.)()()(jBGjYyyyYBYGGLCGBBGYsin cos 1 arctanarctan22，呈容性，电流超前电压 ,0 ,1 ,0)1YLCBy呈感性，电流滞后电压 ,0 ,1 ,0)2YLCBy相呈电阻性，电压电流同 ,0 ,1 ,0)3YLCBy三.导纳和阻抗的关系 22)()()()()()(1)()(0,1)()(1)()(ZXjZRjXRjBGjYjZjYjZyZ )()()(,)()()()()()(,)()()(2222jYBXjYGRjZXBjZRG或RLC串联：2222 ,)1(XRXjXRRYjXRCLjRZRLC并联：2222 ,)1(BGBjBGGZjBG

5、LCjGY情况，或含有受控源时，可有 90 0)(Re 00ZjZN9-2 9-2 阻抗（导纳）的串联和并联阻抗（导纳）的串联和并联1.n 个阻抗串联 nkkneqZZZZZ121nkUZZUeqkk,3,2,1 ,2.n 个导纳并联 nkkneqYYYYY121nkIYYIeqkk,3,2,1 ,3.两个阻抗的串联和两个导纳的并联 两个阻抗串联：UZZUUZZUZZZ221121,两个导纳的并联：IYYIIYYIYYY221121,IZZZIIZZZIZZZZZ211221212121,例9-2：图示电路中,求各支路电流和电压 .,10 ,1000 ,5.0 ,1021FCRLR,/314

6、,100sradVUS10U解：设 则,0100SU，1000 1021RRZZ 47.318 1 157 jCjZjLjZCL，设 与 并联等效阻抗为 Z10，有2RZCZ）（13.28911.9233.7245.303/210jZZZCR总输入阻抗为 ，且eqZ 30.5299.166 )13.13211.102(110jZZZZLReqARUIAZUIVIZUAZUICeq 03.2018.0 97.6957.0 03.2007.182 30.5260.0 210210110109-3 9-3 电路的相量图电路的相量图 电路的相量图：反映 KCL、KVL 和电压、电流相位关系的图。相量图

7、可以直观地显示各相量之间的关系、并且可用来辅助电路的分析与计算。2.以电路串联部分的电流相量为参考，根据 VAR 确定有关电压相量与电流相量之间的夹角，再根据回路上的 KVL 方程，用相量平移求和的法则，画出回路上各电压相量所组成的多边形。1.以电路并联部分的电压相量为参考，根据支路的 VAR 确定各并联支路的电流相量与电压相量之间的夹角,然后,再根据结点上的 KCL 方程，用相量平移求和法则画出结点上各支路电流相量组成的多边形。例9-3：PP226 解：串联电路，以电流相量 为参考，确定 与 的夹角（阻抗角），画出 的多边形。IUICLRUUUU例9-4：PP227 画出 例9-2的相量图

8、例9-5：下图中电压表U,U1和U2的读数分别为 100V，171V 和240V，Z2 =j60 ，试求阻抗 Z1。解：设 ,则 AI 0460240VIZU 90240 2221 UUUS90240171100158.11042.69 240sin171sin100cos171cos100111（舍去）或 02.4003.1558.11075.420458.110171 02.4003.1542.6975.420442.691711111jIUZjIUZ2212111221114171 ,4 ,）（另：XRIUZAZUIjXRZ2212121410060 ）（）（，XRIUZZZZ15.03

9、 02.40 1 RX，一.利用 求解UYIIZU 或 作出正弦稳态电路的相量模型，依照电阻电路的处理方法求 输入阻抗或导纳，各支路电流相量以及电压相量等.2.记住基本元件的阻抗和导纳（R,L,C 的阻抗与导纳）;3.串联部分总阻抗 nkkZZ14.并联部分总导纳 nkkYY1ZYYZ1 ,1 1.同一元件的阻抗与导纳互为倒数，同一对端钮之间的阻抗与导纳互为倒数，即 ;9-4 9-4 正弦稳态电路的分析正弦稳态电路的分析例9-6：电路如下图所示，,求 VtuS 3000cos240)(,)(,)(tititiLC 解：，相量模型如下图 ，输入阻抗为VUS 040NkjjjjjZZab 9.36

10、5.25.12211)21)(1(5.15.1mAZUIS 9.36169.365.2040mAIjjjIjjjIIC 1.983.11)1(2112111mAjjjIIL 3.553.2521121mAtti )9.36 3000cos(216)(mAttiC )1.98 3000cos(23.11)(mAttiL )3.55 3000cos(23.25)(例9-7：电路如下图所示，,求 对 的相位关系。tUuSS cos2)(0tu)(tuS解：VUUSS 0 00220 1arctan)1(1UCRCRRUCjRRUUSSCR 1arctan 00 1arctan0CRS0uSu超前90

11、 ,0 ;0 ,90 1arctan0 CR另解：1）先画 （一般画在实轴上）；I 2）再画出各元件电压 （根据元件电压，电流的相位关系）；0UUR 3）根据 ，可得 ，从相量图上可知，超前 ，且CSUUUKVL0 ,SU0USUCRtgCRRICIUUtgC 1 ,1 10例9-8：求下图所示相量模型中 的相位关系。21 UU与解一：iiUIRIRU11 9090 1)1(22iiUCIICjICjU9090 ii90 12UU超前解二：利用相量图：先画 ；再画 ；确定 。I21 ,UU例9-9：并联电路如下图所示，用相量图表明各电流相量的关系。解:先画 ；SU 同相，超前 角 （除非R=0

12、）；SUI 1与2ISU9021III 例9-10：下图所示移相电路常用于雷达指示器电路中，可调电阻 r 的中点接地，试证明在正弦电压 作用下，若 ，则正弦电压 的有效值相等，相位依次相差 。SUCR 14321,uuuu90解：的中点接地）点至接地点的电压，且为 1 (21111rUUUUSg902121 11212SSSgUUcjRRUUUU180212133SSgUUUU902121 13434SSSgUUcjRRUUUU90 的有效值均为外施电压有效值的一半，相位依次相差 。4321,uuuu二.相量模型的网孔分析法和结点分析法 例9-11：电路如下图所示，求解 。)()(21titi

13、和解：相量模型如右图所示，其中2 1,4 jCjZjLjZCL网孔方程为121212)24(40104)43(IIjjIjIjIjAjIAjI 3.5677.2133020 7.2924.14710 21AttiAtti )3.5610cos(277.2)()7.2910cos(224.1)(3231例9-12：电路相量模型如下图所示，试列出结点电压相量方程。解:结点1：01)10151()5110110151(21UjjUjjj)5.0()5110151101()10151(21jUjjjUjj结点2：5.0)1.01.0(1.0011.0)2.02.0(2121jUjUjUjUj5)1(1

14、0)1(2 2121jUjUjUjUj例9-13：单口网络如下图所示，试求输入阻抗及输入导纳。解二：相量模型如上图 b 所示，则解一：设 ，则 ，又因 ，故得AIe 1VUe 1eeIjUU2)1(jjjU23211jjIUZe23 22222)3()1()3(26321jjjZYeaeaIUUIUUj)3(eIjUj31)3(2224)1(42623jjjIUZe三.运用戴维南定理及诺顿定理求解 例9-14：单口网络及相量模型如下图所示，试求在 的等效相量模型和 的等效相量模型。srad/4srad/10解：时srad/4 )56.404.14()201/()87()4(jjjjZSjjZj

15、Y )0209.00644.0()4(1)4(时srad/10 )02.1135.4()81/()207()10(jjjjZ例9-15：用戴维南定理求下图所示相量模型中的电流相量。SjjZjY )0785.003099.0()10(1)10(例9-16：正弦稳态单口网络如下图所示，试求戴维南等效相量模型。解：求VjjjjUUabCC 4.6347.42105010050010 :)(00求 160202100200)50/(100200 :00jjjjjjZZ求AjZUIIC 53.1160224.0100160204.6347.4100 :0022解:(1)求 ：结点电压方程为CU0SCCC

16、IUCjUCCjG011 )(0)(01CCCmUCjUCjg)()(120GgCjCCIgCjUmCCSmCCSCCIUZ00(2)求 ：先求短路电流，再由 计算 0Z0Z111)(UgCjUgUCjImCmCSC)(11CSCCjGIU)()(1CSmCSCCCjGIgCjI)()(1210GgCjCCCCjGIUZZmCCCSCOCab相量分析相量分析（例9-5 PP 228）结点电压方程和回路电流方程结点电压方程和回路电流方程（例9-6 PP 229）；戴维南定理戴维南定理（例9-7 PP 229）；求电路中电流求电路中电流（例9-8 PP 231）。1.瞬时功率瞬时功率 9-5 9-

17、5 正弦稳态电路的功率正弦稳态电路的功率)cos(2)cos(2iutItUuip)cos()cos(2iuttUI)2cos()cos(iuiutUIUI)2cos(cosiutUIUIiu p0,N 吸收功率，p0,发出功率（斜线部分，u 与 i 方向相反）；p 以 角频率变化；2 恒定分量 cosUI正弦分量 角频率为)2cos(iutUI2)22sin(sin)22cos(coscosuutUItUIUI)cos(2)cos(2iutItUuip)2cos()cos(iuiutUIUI 不可逆分量 ,非正弦周期量，与 R 有关。0)(2cos1cosutUI 可逆分量 ,正弦量，与 X

18、 有关。表明端口内部与外施电源之间周期性地变换能量。)(2sinsinutUI2.平均功率平均功率dttUITpdtTPTiuT00)22cos(cos11cosUI称为功率因数 cos 若 N 是无源的，;ZZUIPIZUcos,若 N 中含有独立电源，为电压 与电流 的相位差角，可正可负；UIP 若N 中含有受控源，可能大于 ，此时，该网络 对外提供能量。Z900P3.无功功率无功功率 p 的可逆分量的幅值 (乏：Var),sin UIdefQ “吸收”无功功率；“发出”无功功率；0sin0sin Q 反映了N 内部与外部往返能量的交换情况。4.视在功率视在功率 (伏安：VA)UIdefS

19、 5.R,L,C 元件的瞬时功率，有功功率和无功功率元件的瞬时功率，有功功率和无功功率 0 ,iuR吸收能量 0)(2cos1utUIp022RRQGURIUIP 2 ,iuL)(2sin )(2sinsinuutUItUIp正负交替变换p0LPLULIUIUIQL22sin2212LLQLIW 2 ,iuC)(2sinsinutUIp)(2sinutUI正负交替变换p0CP221sinCUICUIUIQC2212CCQCUW 串联电路，RLCiusinUIQ cosUIP 若一端口 N 的阻抗为：)arctan(),1(RXCLjRZz又有 ,故 ZZZXZRIZUsin,cos,)arct

20、an(,22PQQPS22coscosRIIZUIPCLQQICLXIIZUIQ222)1(sinsinsin,cosSQSP 例9-17：单口网络电压 ,电流 ,且为关联参考方向，求网络吸收的平均功率。Vtu )10314cos(2300Ati )45314cos(25055)45(10 ,50 ,300ZAIVUWUIP 861055cos50300cos0解：例9-18：求下图所示电路中电源提供的功率。7.2906.847443444)44(43jjjjjjZ解：AZUI 24.106.810 1AIII jjjjII2 24.1 4444 1112WUIPWIIP 8.107.29co

21、s24.110cos 8.10424.1324.143 222221或例9-19：电路及其相量模型如下图所示，求单口网络的功率。解法一：解法二：解法三：WUIPiu 1200)5.180cos(65.12100)cos(WRIP 1200320221WUIP 12001.53cos20100)1.53(0cos1例9-20：接续上题，求单口网络的视在功率和功率因数。VAUIS 126565.12100电流超前（容性电路）949.012651200cosSP解：例9-21：下图所示电路中，电路处于稳态，试求电源提供的P、Q，并计算 S、，并验证 。AtiS 2cos25)(2CLWWQ解:(1)

22、31321)2)(1(2jjjjjZ WZIP 75Re2 VarZIQ 325Im2电流滞后 994.0cosSPZVAQPS 3822522（2）设 则,05AIAjjjjI 5.2673.3532052121AjjjjI 4536.2531052112JILWL 48.373.35.02121221JUCWCC 39.15.0236.25.0212122)(2 35.8)39.148.3(22)(2CLCLWWQVarWW 例9-22：工厂中及自动控制系统中使用的感应电动机是电感性负载，功率因数较低，为提高负载的功率因数，可并联大小适当的电容。如下图所示：设有一 的感应电动机，功率因数为

23、 0.5，试求：KWHZV50 ,50 ,220(1)电源供应的电流和无功功率；(2)如果并联电容器，使功率因数达到 1，问所需的电容值是多少？此时电源供应的电流是多少？解:（1）LLLUIPcosAUPILLL 4555.02201050cos3KVarUIQLLL 7.86sin （2）并联贮能性质相反的电容元件可减少电源与感性负载间徒劳往返的能量交换。并联电容后0 1 CLQQQKVarQQLC 7.86 2CUQC又 电动机电流滞后电压的角度为 ，并联电容后，超前 ，若电容合适，可使 与 同相，且使电源提供的电流大为降低。605.0cos1LCI90 UIU 2UQCCFC 57022

24、20100107.86 23AAUPI455221 1.平均功率和无功功率可根据电压相量 和电流相量 来计算。UIjQPjUIUIUIIUiusincos 2.复功率 S)(2 CLWWjPjQPIUdefS 复功率守恒 kkQQPP ,对无源一端口：UYIIZU 或222jXIRIZII IZIUS 或 222)(jBUGUYUUYUIUS 9-6 9-6 复功率复功率iiuIIIIUU ,例 9-23：施加于电路的电压 ，输入电流 ，电压、电流为关联参考方向，试求 。Vttu )30314cos(2100)(Atti )60314cos(250)(?S3.正弦稳态单口网络功率关系符号 名称

25、 公式 备注 p 瞬时功率 tjeIUIUuip 2*Re Re P 平均功率 *22 ReRe RecosIUYUZIUIPZ 有功功率，iuZ Q 无功功率 )(2 Im ImImsin*22CLZWWIUYUZIUIQ 瞬时功率交变分量最大值 2221 ,21CUWLIWCL S 视在功率*22 IUYUZIUIS 动态元件瞬时功率最大值 S 复功率 jQPIUS*功率因数 YGZRSPZcos 电流滞后 ,0Z 解：AIVU 6050 30100VAjIUS 25004330305000605030100*VarQWP 2500 4330 例 9-24：电路如下图所示，,试求每一元件吸

26、收的无功功率，并计算整个电路的无功功率。AjIAjI 5050 ,5010041VjU 05001VjU 2002004 解：KVarjIUQ 25)50100(500Im)(Im*111KVarjjIUUIUQ 35)50100)(200300(Im )Im()(Im*141*222KVarjjIIUIUQ 10)10050)(200200(Im )(ImIm*414*333KVarjjIUQ 20)5050)(200200(ImIm*44404321QQQQQ 例 9-25：电路如下图所示，试求两负载吸收的总复功率，并求输入电流（有效值）。解:KVAS 5.128.0101031KWSPZ

27、 10cos111KVarSSQZ 5.7)8.0cossin(sin11111KVAjjQPS 5.710111KVAS 256.0101532KWP 152KVarSSQZ 20)6.0sin(cossin12222KVAjjQPS 2015222KVAjSSS 6.26951.275.122521 KVAS 951.27AUSI 2.12230010951.27 3求提高求提高 的并联电容值（的并联电容值（例9-10 PP 239）。cos9-7 9-7 最大功率传输最大功率传输设 固定，Z 可变，求负载获得最大功率的条件。eqOCZU、1若 R、X 均可变化，欲使 P 最大，则222)

28、()(eqeqOCXXRRRUP 0)()()(2 ,2222eqeqeqOCeqXXRRXXRUXPXX负载获得最大功率的条件为 称为共轭匹配。eqeqeqZZXXRR ,2.若 ，且 可变，而 不变 ZZZsincos ZjZZZ)sin()cos(ZXjZRUIeqeqOC222)sin()cos(cosZXZRZUPeqeqOC 0)()(2)(,242OCeqeqeqeqURRRRRRRRPRR此时 eqOCRUP42max诺顿定理*eqYY eqSCGIP42max由 ，得 0ZddP22eqeqXRZ负载获得最大功率的条件是 称为模匹配 eqZZ 当负载是纯电阻时，最大功率获得的

29、条件则是RZ eqeqeqRXRR22 例9-26：电路如下图所示，试求负载功率。若（1）负载为 5 电阻；（2）负载为电阻且与电源内阻抗模匹配；（3）负载与电源内阻抗为共轭匹配。解：5.632.11105jZeq 5 )1LLRZAjZIeq 451010100141501410WPL 5005102 2.11 )2eqLLZRZAjZIeq 7.3142.7102.16014150141WRIPLL 6172.1142.722 105 )3*jZjXRZeqLLLAjZZUILeq 021001001410 WZIPL 10005)210(Re22最佳匹配最佳匹配(例9-11 PP 242)例9-27：电路如下图所示，若 ZL 的实部、虚部均能变动，若使 ZL 获得最大功率，ZL 应为何值，最大功率是多少？解：先用戴维南定理求出从 a,b 端向左看的等效电路。VjjUOC 45104529010210101.14 5.05.0452111jjjZeq共轭匹配时,获得最大功率LLZjZ ,5.05.0WPL 505.04102max