第5章-电路的动态分析-电路理论-教学课件-.ppt

1、电路理论电路理论华中科技大学电气与电子工程学院华中科技大学电气与电子工程学院何仁平何仁平 20112011年年9 9月月第第5 5章章 电路的动态分析电路的动态分析华中科技大学电气与电子工程学院华中科技大学电气与电子工程学院 20112011年年9 9月月目目 录录5.1 5.1 电路动态响应的基本概念及换路定则电路动态响应的基本概念及换路定则K K未动作前未动作前i=0 ,uC=0i=0 ,uC=Us一一.什么是电路的过渡过程什么是电路的过渡过程i+uCUsRCK+uCUsRCi t=0K K接通电源后很长时间接通电源后很长时间过渡过程：过渡过程：电路由一个稳态过渡到另一个稳态需电路由一个稳

2、态过渡到另一个稳态需要经历的过程。要经历的过程。产生过渡过程的电路及原因产生过渡过程的电路及原因?无过渡过程无过渡过程I电阻电路电阻电路t=0ER+_IK电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，电阻是耗能元件，其上电流随电压比例变化，不存在过渡过程。不存在过渡过程。EtCu电容为储能元件，它储存的能量为电场能量电容为储能元件，它储存的能量为电场能量，其，其大小为：大小为：电容电路电容电路2021dCutiuWtC储能元件储能元件 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电电容的电路存在过渡过程。容的电路存在过渡过程。EKR+_CuCtLi储能元件储能元件

3、电感电路电感电路电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为：大小为：2021dLituiWtL 因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电电感的电路存在过渡过程。感的电路存在过渡过程。KRE+_t=0iL结论结论 有储能元件（有储能元件（L、C）的电路在电路状态发生的电路在电路状态发生变化时（如：电路接入电源、从电源断开、电变化时（如：电路接入电源、从电源断开、电路参数改变等）存在过渡过程；路参数改变等）存在过渡过程；纯电阻（纯电阻（R）电路，不存在过渡过程。电路，不存在过渡过程。电路中的电路中的 u、i在

4、过渡过程期间，从在过渡过程期间，从“旧稳旧稳态态”进入进入“新稳态新稳态”，此时，此时u、i 都处于暂时都处于暂时的不稳定状态，的不稳定状态，所以所以过渡过程过渡过程又称为电路的又称为电路的暂态过程暂态过程。讲课重点讲课重点：直流电路、交流电路都存在过渡过程。：直流电路、交流电路都存在过渡过程。我们讲课的重点是直流电路的过渡过程。我们讲课的重点是直流电路的过渡过程。研究过渡过程的意义研究过渡过程的意义：过渡过程是一种自然现象，过渡过程是一种自然现象，对它的研究很重要。过渡过程的存在有利有弊。有对它的研究很重要。过渡过程的存在有利有弊。有利的方面，如电子技术中常用它来产生各种波形；利的方面，如电

5、子技术中常用它来产生各种波形；不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现不利的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现过压或过流，致使设备损坏，必须采取防范措施。过压或过流，致使设备损坏，必须采取防范措施。说明：说明：换路换路:电路状态的改变。如：电路状态的改变。如：1.电路结构改变电路结构改变2.电路中元件参数的改变电路中元件参数的改变二、换路定则及初始值的确定二、换路定则及初始值的确定换路换路定则定则:在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。不能突变。设：设：t=0 时换路时换路0-换路前瞬间换路前瞬间0-换路后瞬间换路后瞬间)0()0(CCu

6、u)0()0(LLii则：则：换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变的原因解释如下：变的原因解释如下：自然界物体所具有的能量不能突变，自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或能量的积累或 释放释放需要一定的时间。所以需要一定的时间。所以电感电感 L 储存的磁场能量储存的磁场能量）（221LLLiWLW不能突变不能突变Li不能突变不能突变CW不能突变不能突变Cu不能突变不能突变电容电容C存储的电场能量存储的电场能量）（221cCuWc 若若Cu发生突变，发生突变，tuCddi不可能！不可能！一般电路一般电路则则所以电容电压所以电容电压不能突变不

7、能突变从电路关系分析从电路关系分析KRE+_CiuCCCCutuRCuiREddK 闭合后，列回路电压方程：闭合后，列回路电压方程：)dd(tuCi 初始值的确定初始值的确定:求解要点求解要点：1.)0()0()0()0(LLCCiiuu2.根据电路的基本定律和换路后的等效根据电路的基本定律和换路后的等效电路，确定其它电量的初始值。电路，确定其它电量的初始值。初始值初始值（起始值）（起始值）：电路中电路中 u、i 在在 t=0+时时 的大小。的大小。例例1换路时电压方程换路时电压方程:)0()0(LuRiU不能突变不能突变Li 发生了突变发生了突变Lu根据换路定理根据换路定理A 0)0()0(

8、LLii解解:V20020)0(Lu求求:)0(),0(LLui已知已知:R=1k,L=1H,U=20 V、A 0Li设设 时开关闭合时开关闭合0t开关闭合前开关闭合前仍然满足基尔霍夫定律仍然满足基尔霍夫定律iLUKt=0uLuRR已知已知:电压表内阻电压表内阻H1k1V20LRU、k500VR设开关设开关 K 在在 t=0 时打开。时打开。求求:K打开的瞬间打开的瞬间,电压表两端电压表两端的电压。的电压。解解:换路前换路前mA20100020)0(RUiL(大小大小,方向都不变方向都不变)换路瞬间换路瞬间mA20)0()0(LLii例例2.KULVRiL+t=0+时的等时的等效电路效电路mA

9、20)0()0(LLiiVLVRiu)0()0(V1000010500102033VmA20)0(LSiIVSI.KULVRiL+注意注意:实际使用中要加保护措施实际使用中要加保护措施已知已知:K 在在“1”处停留已久，在处停留已久，在t=0时合向时合向“2”求求:LCuuiii、21的初始值，即的初始值，即 t=(0+)时刻的值。时刻的值。例例3 iE1k2k+_RK12R2R11i2iCuLu6V2k+mA5.1)0()0(11RREiiLV3)0()0(11RiuC解：解：换路前的等效电路换路前的等效电路iE1k2k+_RK12R2R11i2iCuLu6V2k+ER1+_RR21iCu）

10、（0Cut=0+时的等效电路时的等效电路mA5.1)0()0()0(1LLiiimA3)0()0(22RuEiCmA5.4)0()0()0(21iiiV3)0()0(11RiEuL)0(LiE1k2k+_R2R1i1i2i3V1.5mA+-Lu计算结果计算结果电量电量iLii 12iCuLu0t0tmA5.1mA5.4mA5.1mA5.10mA3V3V3V30iE1k2k+_RK12R2R11i2iCuLu6V2k+小结小结 1.1.换路瞬间，换路瞬间，LCiu、不能突变。其它电量均可不能突变。其它电量均可能突变，变不变由计算结果决定；能突变，变不变由计算结果决定；0U2.2.换路瞬间，换路瞬

11、间，0)0(0UuC电容相当于理想电电容相当于理想电压源，其值等于压源，其值等于，0)0(Cu电容相当于短电容相当于短路；路；0)0(0IiL3.3.换路瞬间，换路瞬间，电感相当于理想电流源，电感相当于理想电流源，；0I其值等于其值等于0)0(Li，电感相当于断路。电感相当于断路。5-2 5-2 一阶电路的零输入响应一阶电路的零输入响应零输入响应零输入响应(Zero input response)：激励激励(独立电源独立电源)为零，仅由初始储能作用于电路产生的响应。为零，仅由初始储能作用于电路产生的响应。一阶电路：一阶微分方程描述的电路一阶电路：一阶微分方程描述的电路一阶电路过渡过程的求解方法

12、：一阶电路过渡过程的求解方法：(一一)经典法经典法:用数学方法求解微分方程；用数学方法求解微分方程；(二二)三要素法三要素法:求求初始值初始值稳态值稳态值时间常数时间常数 一一 RCRC电路的零输入响应电路的零输入响应已知已知 uC(0-)=U0 求求 uC和和 i.解解 tuCiCdd iK(t=0)+uRC+uCR0)0(0ddUuutuRCCCC RCp1 tRCe1 A 特征方程特征方程ptCeuA 则则初始值初始值 uC(0+)=uC(0-)=U0A=U001 0 ttRCAeUU0uC00 0 teUuRCtc令令 =RC ,称称 为一阶电路的为一阶电路的时间常数时间常数000 t

13、eIeRURuiRCtRCtC0 0 teUuRCtc 秒秒伏伏安秒安秒欧欧伏伏库库欧欧法法欧欧 RC I0ti0iK(t=0)+uRC+uCR时间常数时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短的大小反映了电路过渡过程时间的长短 =R C 大大 过渡过程时间的过渡过程时间的长长 小小 过渡过程时间的过渡过程时间的短短电压初值一定：电压初值一定：R 大大（C不变）不变）i=u/R 放电电流小放电电流小放电时间放电时间长长U0tuc0 小小 大大C 大大（R不变）不变）w=0.5Cu2 储能大储能大U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0 U0 U0 e-1 U

14、0 e-2 U0 e-3 U0 e-5 工程上认为工程上认为 ,经过经过 3 -5 ,过渡过程结束过渡过程结束。：电容电压电容电压衰减到衰减到原来电压原来电压36.8%所需的时间所需的时间。t0 2 3 5 tceUu 0 能量关系能量关系：设设uC(0+)=U0电容放出能量电容放出能量 2021CU电阻吸出能量电阻吸出能量RdtiWR 02RdteRURCt2 00)(2021CU iK(t=0)+uRC+uCR二二.RL.RL电路的零输入响应电路的零输入响应特征方程特征方程 Lp+R=0LR 特征根特征根 p=由初始值由初始值 i(0+)=I0 定积分常数定积分常数AA=i(0+)=I0i

15、(0+)=i(0-)=01IRRUS 00dd tRitiLiK(t=0)USL+uLRR1ptAeti)(0)(00 teIeItitLRpt得得tiLuLdd 令令 =L/R,称为一阶称为一阶RL电路时间常数电路时间常数tLReIi 0 0/0 teRIRLt0/0 teIRLti(0)一定：一定：L大大 起始能量大起始能量大 R小小 放电过程消耗能量小放电过程消耗能量小放电慢放电慢 大大秒秒欧欧安安秒秒伏伏欧欧安安韦韦欧欧亨亨 RL iL(t)uL(t)t0I0-RI0(b)iL(0+)=iL(0-)=1 AuV(0+)=-10000V 造成造成V损坏。损坏。t=0时时,打开开关打开开关

16、K,现象现象：电压表坏了电压表坏了/tLei 电压表量程：电压表量程：50VsVRRL4104100004 0100002500 teiRutLVV分析分析例例iLK(t=0)+uVL=4HR=10 VRV10k 10V+小结：小结：4.4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。称为零输入线性。2.2.衰减快慢取决于时间常数衰减快慢取决于时间常数 RC电路电路 =RC ,RL电路电路 =L/R3.3.同一电路中所有响应具有相同的时间常数。同一电路中所有响应具有相同的时间常数。1.1.一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引一阶电路的零输入响应是

17、由储能元件的初值引起的响应起的响应 ,都是由初始值衰减为零的指数衰减函都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。数。teyty )0()(时间常数时间常数 的简便计算：的简便计算：R1R2L =L/R等等=L/(R1/R2)+-R1R2L例例1例例2R等等C =R等等C零状态响应零状态响应(Zero state response)：储能元件初始能储能元件初始能量为零，电路在输入激励作用下产生的响应量为零，电路在输入激励作用下产生的响应SCCUutuRC dd列方程列方程：iK(t=0)US+uRC+uCRuC(0-)=05-3 5-3 一阶电路的零状态响应一阶电路的零状态响应 非齐次线性常微分方程非

18、齐次线性常微分方程解答形式为：解答形式为：cccuuu 齐次方程的通解齐次方程的通解齐次方程的特解齐次方程的特解一一.RCRC电路的零状态响应电路的零状态响应与输入激励的变化规律有关，某些激励时与输入激励的变化规律有关，某些激励时强制分量强制分量为为电路的稳态解，此时强制分量称为电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量稳态分量RCtCAeu 变化规律由电路参数和结构决定变化规律由电路参数和结构决定全解全解uC(0+)=A+US=0 A=-US由起始条件由起始条件 uC(0+)=0 定定积分常数积分常数 A齐次方程齐次方程 的通解的通解0dd CCutuRC：特解（强制分量）特解（强制分量）Cu=

19、USCu：通解（自由分量，暂态分量）通解（自由分量，暂态分量）Cu RCtSCCCAeUuuu 可设为与输入激励相同的形式，或用稳态解作为特解可设为与输入激励相同的形式，或用稳态解作为特解)0()1(teUeUUuRCtSRCtSSc强制分量强制分量(稳态稳态)自由分量自由分量(暂态暂态)RCtSceRUtuCiddCUsUs/Rticuc0二二.RLRL电路的零状态响应电路的零状态响应L+RiL=USdtdLi)1(eRUitLRSL ddeUtiLutLRSL iLK(t=0)US+uRL+uLR解解iL(0-)=0 求求:电感电流电感电流iL(t)已知已知tLRSAeRUiii tuLU

20、StiLRUS00小结小结：由讨论得知，一阶电路零状态响应的通用表达式为：由讨论得知，一阶电路零状态响应的通用表达式为)1)()(teftf K3 V9 CuK6CiiF50m m)0(tK t K3 V9 )(CuK6 ,00 Cu已知。和试求0 t),()(tituC解：解：tCCutue1)()(RCV6)(CuK2K6/K3R0t 0.1s1050102630 V e1610tt mAe216dd)(10tCCutuCti/V)(tuC0st/6mA/)(ti0st/13解（续）解（续）5-4 5-4 一阶电路的全响应一阶电路的全响应全响应全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生

21、的响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应一一.一阶电路的全响应及其两种分解方式一阶电路的全响应及其两种分解方式iK(t=0)US+uRC+uCRSCCUutuRC dd稳态解稳态解 uC =US解答为解答为 uC(t)=uC+uC非齐次方程非齐次方程=RC tSCeUu A 1.1.全解全解 =强制分量强制分量(稳态解稳态解)+)+自由分量自由分量(暂态解暂态解)暂态解暂态解 tCeu AuC(0+)=A+US=U0 A=U0-US由起始值定由起始值定A强制分量强制分量(稳态解稳态解)自由分量自由分量(暂态解暂态解)0)(0 teUUUutSSC uC-USU0暂态解暂态解uCUS

22、稳态解稳态解U0uc全解全解tuc0iK(t=0)USC+uC+-+uRRuC(0-)=U0=iK(t=0)USC+uC+-+uRRuC(0-)=0+uC(0-)=U0C+uCiK(t=0)+uRR2.2.全响应全响应=零状态响应零状态响应 +零输入响应零输入响应零状态响应零状态响应零输入响应零输入响应)0()1(0 teUeUuttSC t0USuc零状态响应零状态响应U0全响应全响应零输入响应零输入响应 解解:V6)0()0(CCuu,求求合合闭闭时时0RiKt mA35.25.16)0(Ri例例.200PF+_1k2k1kK(t=0)cuiR6V+9V+2k0.5kiR6V+1.56V+

23、_1k2k1kCuiR6V0+电路电路9V+等效等效mA5396)(Ri k3512121等等Rs10311020010356123 0mA25)53(5 teeittR mA3)0(Ri1k2k1k6V9ViRt=时电路：时电路：！teffftf)()0()()(全响应小结全响应小结:1.全响应的不同分解方法只是便于全响应的不同分解方法只是便于更好地理解过渡过程的本质更好地理解过渡过程的本质;2.零输入响应与零状态响应的分解零输入响应与零状态响应的分解方法其本质是叠加，因此只适用方法其本质是叠加，因此只适用于线性电路；于线性电路；3.零输入响应与零状态响应均满足零输入响应与零状态响应均满足齐

24、性原理，但全响应不满足。齐性原理，但全响应不满足。5-5 5-5 一阶电路分析的三要素法一阶电路分析的三要素法RCtCCCCCCeuuuuutu)()0()()(teffftf)()0()()(可得一阶电路微分方程解的通用表达式：可得一阶电路微分方程解的通用表达式：KRE+_CCuiteffftf)()0()()()1)()(teftfteftf)0()(一阶电路全响应微分方程解的通用表达式：一阶电路全响应微分方程解的通用表达式：一阶电路零输入响应微分方程解的通用表达式：一阶电路零输入响应微分方程解的通用表达式：一阶电路零状态响应微分方程解的通用表达式：一阶电路零状态响应微分方程解的通用表达式

25、：=L/R等等 =R等等C其中三要素为其中三要素为:)(f稳态值稳态值-初始值初始值-)0(f时间常数时间常数-teffftf)()0()()()(tf代表一阶过渡过程电路中任一电压、代表一阶过渡过程电路中任一电压、电流随时间变化的函数。电流随时间变化的函数。式中式中 利用求三要素的方法求解过渡过程，称为三要素利用求三要素的方法求解过渡过程，称为三要素法。只要是一阶电路，就可以用三要素法。法。只要是一阶电路，就可以用三要素法。“三要素法三要素法”例题例题求求:电感电压电感电压)(tuL例例1已知：已知：K 在在t=0时闭合，换路前电路处于稳态。时闭合，换路前电路处于稳态。t=03ALLuKR2

26、R1R3IS2 2 1 1H第一步第一步:求起始值求起始值)0(LuA23212)0()0(LLii0)0(Lu？t=03ALLuKR2R1R3IS2 2 1 1Ht=0时等效电路时等效电路3ALLi212V4/)0()0(321RRRiuLLt=0+时等时等效电路效电路2ALuR1R2R3t=03ALLuKR2R1R3IS2 2 1 1H第二步第二步:求稳态值求稳态值)(Lut=时等时等效电路效电路V0)(Lut=03ALLuKR2R1R3IS2 2 1 1HLuR1R2R3第三步第三步:求时间常数求时间常数s)(5.021RL 321|RRRRt=03ALLuKR2R1R3IS2 2 1

27、1HLR2R3R1LR第四步第四步:将三要素代入通用表达式得过渡过程方程将三要素代入通用表达式得过渡过程方程V4)0(Lu0)(Lus5.0 V4)04(0)()0()()(22tttLLLLeeeuuutu第五步第五步:画过渡过程曲线（由初始值画过渡过程曲线（由初始值稳态值）稳态值）V4)04(0)()0()()(22tttLLLLeeeuuutu起始值起始值-4VtLu稳态值稳态值0V 求：求：已知：开关已知：开关 K K 原在原在“3”3”位置，电容未充电。当位置，电容未充电。当 t t 0 0 时，时，K K合向合向“1”1”tituC 、例例23+_E13VK1R1R21k2kC3C

28、ui+_E25V1k2R3 t t 20 ms 20 ms 时，时，K K再再 从从“1”1”合向合向“2”2”解：解：第一阶段第一阶段 （t=0 20 ms，K：31）V000CCuumA301REi初始值初始值K+_E13V1R1R21k2kC3Cui3R1+_E13VR2iCu稳态值稳态值第一阶段（第一阶段（K K：3 31 1）V21212ERRRuCmA1211RREiK+_E13V1R1R21k2kC3Cui3R1+_E13VR2iCu时间常数时间常数k32/21RRRdms2CRd第一阶段（第一阶段（K K：3 31 1）K+_E13V1R1R21k2kC3Cui3R1+_E13

29、VR2iCuCteffftf)()0()()()V(000CCuu)V(21212ERRRuC)(ms2CRd V 22)(002.0tcetu第一阶段（第一阶段（t t=0=020 ms20 ms）电压过渡过程方程：电压过渡过程方程：teffftf)()0()()(mA301REimA1211RREims2CRd 第一阶段第一阶段（t=0 20 ms）电流过渡过程方程：电流过渡过程方程：mA21002.0teti第一阶段波形图第一阶段波形图20mst2)V(Cu下一阶段下一阶段的起点的起点3t）（mAi20ms1说明：说明：2 ms,5 10 ms 20 ms 10 ms,t=20 ms 时

30、，时，可以认为电路可以认为电路 已基本达到稳态。已基本达到稳态。起始值起始值V2)ms20()ms20(CCuu第二阶段第二阶段:20ms mA5.1)ms20()ms20(312RRuEic（K由由 12）+_E2R1R3R2Cui+_t=20+ms 时等效电路时等效电路KE1R1+_+_E23V5V1k12R3R21k2kC3m mCui稳态值稳态值第二阶段第二阶段:(K:12)mA25.1)(3212RRREiV5.2)(23212ERRRRucKE1R1+_+_E23V5V1k12R3R21k2kC3m mCui_+E2R1R3R2Cui时间常数时间常数k1/)(231RRRRdms3

31、CRd 第二阶段第二阶段:(K:12)KE1R1+_+_E23V5V1k12R3R21k2kC3m mCui_CuC+E2R1R3R2i第二阶段第二阶段（20ms）电压过渡过程方程电压过渡过程方程V 5.05.2)20(003.002.0tCetums3CRd V2)ms20(CuV5.2)(Cu第二阶段第二阶段（20ms）电流过渡过程方程电流过渡过程方程mA 25.025.1)20(003.002.0tetimA5.1)ms20(imA25.1)(ims3CRd 第二阶段第二阶段小结：小结：mA 25.025.1)20(V 5.05.2)20(320320ttcetietumA 21)(V

32、22)(22ttcetietu第一阶段第一阶段小结：小结：总波形总波形31.5t1.25i1(mA)20mst22.5Cu(V)tU(v)20ms350开关的动作相当于在电路中加了如下开关的动作相当于在电路中加了如下的信号，这样的信号我们称为阶跃函数。的信号，这样的信号我们称为阶跃函数。5-6 5-6 阶跃函数与一阶电路的阶跃响应阶跃函数与一阶电路的阶跃响应一一 单位阶跃函数单位阶跃函数1.1.定义定义 0)(10)(0)(ttt t(t)012.2.单位阶跃函数的延迟单位阶跃函数的延迟 )(1)(0)(000tttttt t(t-t0)t0013.3.由单位阶跃函数可组成复杂的信号由单位阶跃

33、函数可组成复杂的信号例例 1)()()(0ttttf 1t0tf(t)0(t)tf(t)10t0-(t-t0)iC+uCRuC(0-)=0)(t)()1()(tetuRCtC)(1)(teRtiRCttuc1注意注意)(teiRCt 和和0 teiRCt的区别的区别t0R1i二、一阶电路的阶跃响应二、一阶电路的阶跃响应例：求如图例：求如图RL电路在矩形脉冲电路在矩形脉冲us(t)作用下的作用下的响应电流响应电流i(t)，并作其波形。并作其波形。i(0-)=01us(t)0t(s)t0R=1-+us(t)L=1Hi(t)方法一：方法一：分区间应用三要素法分区间应用三要素法=L/R=1/1=1(s

34、)i(0-)=0 i(0+)=i(0-)=0 i稳态稳态=1/R=1(A)0t t0时：时：故故i(t)=1(1-e-t)=1-e-t (A)0t t000()=1(A)ti te t0 t 时是以时是以i(t0)为为初值的放电过程初值的放电过程1i(t)0t(s)01te t00()0()t ti t e 1-e-t000)1()()(0ttttteeetiti条件：条件：T+ou-CRiuout=0 T+-EoudtduRCRiuuccR0cRciuuuudtduRCui0条件：条件：T积分电路积分电路电路的输出近似电路的输出近似为输入信号的积分为输入信号的积分iutTEoutt=0 T+

35、-Eou+-ou+-t TCRiuoudtiCuucc10RRciuuuuRuRuiiiRRcdtuRCui105-10 5-10 二阶电路的零输入响应二阶电路的零输入响应一、一、RLC串联电路的零输入响应串联电路的零输入响应RKLuL+-i(t)RLC串联电路串联电路+-uRuc+-C已知已知uc(0-)=U0，iL(0-)=0，K于于t=0时刻闭合，分析时刻闭合，分析t0时放电过程中时放电过程中i(t)、uc(t)由由KVL：uc=uR+uL （t0)即：即：1()()()tdi tidRi tLCdt 两边对两边对t 微分：微分：1()()i tRi tLiC 22()1()0d i t

36、R dii tdtL dtLC 整理为：整理为：22()1()0d i tR dii tdtL dtLC 整理为整理为210RssLLC 特征方程特征方程其中：其中：s特征根，又称为电路的特征根，又称为电路的固有频率固有频率。21,21()22RRsLLLC 2RL 令令衰减系数衰减系数（决定响应的衰减特性）（决定响应的衰减特性）21,21()22RRsLLLC 01LC 谐振角频率谐振角频率220 1 1,2 2则则:s s根据根据 和和 0 的相对大小不同，特征根的相对大小不同，特征根s1,2不不同，对应的解的形式不同，有三种情况：同，对应的解的形式不同，有三种情况：01,2(2),sLR

37、C (a a)当当为为 相相 异异 二二 负负 实实 根根：1212()s ts ti tA eA e 012(2),s=s,LRC (b b)当当=-为为 二二 重重 实实 根根：()()ti tABt e 2201,20(2),sdLRjC (c c)当当=-=-12()(cossin)tddi teKtKt 220 d 其其中中=-称称为为衰衰减减振振荡荡角角频频率率过过阻尼阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼220 1 1,2 2s s两个待定系数，两个初始条件两个待定系数，两个初始条件uc(0+)=uc(0-)=U0i(0+)=i(0-)=0可定得系数可定得系数0(2),LRC (1 1

38、)当当时时属属 过过 阻阻 尼尼 情情 况况:1212()s ts ti tA eA e 由由i(0+)=0得：得：A1+A2=0 又由又由uL(0+)=uc(0+)-Ri(0+)=U0-R0=U0得：得：将将i(t)表达式代入并令表达式代入并令t=0+有：有：00(0)LtdiuLUdt 00tUdidtL L(A1S1+A2S2)=U0 由联立得：由联立得：01212()UAAL ss 12012 ()()()s ts tUi teeL ss 故故001()()tcutUidC 1200012()()tssUUeedCL ss 1 212102121()(t0)s sLCs ts tUs

39、es ess 12012 ()()()s ts tUi teeL ss 1202121()()(t0)s ts tcUuts es ess U0波形波形0tuc(t)i(t)tm过过阻尼情况阻尼情况非非振荡过程振荡过程2LRC 原原因因：，能能量量消消耗耗太太快快。电容一直放电（电容功率电容一直放电（电容功率pc=-uc(t)i(t)0)，不能产生振荡。不能产生振荡。电流极大值时刻在电流极大值时刻在t=tm处。处。m()0 tdi tdt 令可求出令可求出0(2)LRC (2 2)当当时时，临临 界界 阻阻 尼尼-()()ti tABt e s1=s2=-可定得系数可定得系数：0UA=0 B=

40、L0U()=Lti tte 0001()U-()C =U(1)(t0)tctutidt e 故：故：由初始条件由初始条件i(0+)=0uc(0+)=U0 uL(0+)=U000UtdiLdt 0U()=Lti tte 0001()U-()C =U(1)(t0)tctutidt e U0波形波形0tuc(t)i(t)tm临界阻尼情况临界阻尼情况波形与过阻尼情况相似，波形与过阻尼情况相似，uc单调衰减，无振荡（处于振单调衰减，无振荡（处于振荡与非振荡的临界状态）。荡与非振荡的临界状态）。0(2),LRC (3 3)当当欠欠阻阻尼尼情情况况12()(cossin)tddi teKtKt 220 d

41、其其中中=-称称为为衰衰减减振振荡荡角角频频率率221,20sdj =-=-（共轭复根）（共轭复根）由初始条件由初始条件i(0+)=0uc(0+)=U0 uL(0+)=U000UtdiLdt 012U K0 KdL 得得：0()sintddUi tetL 001()U-()VARC()=()K VL tcutiddi tRi tLdt （）（）0()(cossin)tcddddUutett 欠欠阻尼情况阻尼情况0t(s)包络线包络线 U0e-tU0uc(t)i(t)2d 减幅减幅振荡振荡欠欠阻尼情况阻尼情况0t(s)包络线包络线 U0e-tU0uc(t)i(t)2d 物理解释：物理解释：R较小

42、，耗能较少，电感可反向对电容进行充电较小，耗能较少，电感可反向对电容进行充电（pc有正有负），将所储存的磁场能重新转化为有正有负），将所储存的磁场能重新转化为电容的电场能，如此反复，形成振荡，直到能量电容的电场能，如此反复，形成振荡，直到能量全部被电阻消耗掉。全部被电阻消耗掉。特例：当特例：当R=0时，时，=R/2L=0,无损耗，无损耗，响应为等幅振荡。响应为等幅振荡。S1,2=j 0 (虚数），称为虚数），称为LC自由振荡自由振荡（正弦波发生器）（正弦波发生器）例：如图例：如图RLC电路，电路，R=4,L=1H,uc(0)=4V,i(0)=2A,t=0时刻时刻K闭合，试分别计算闭合，试分别计

43、算（1）C=1/20F（2）C=1/4F（3）C=1/3F 时电流时电流i(t)。RKLuL+-i(t)RLC串联电路串联电路+-uRuc+-C22()1()0d i tR dii tdtL dtLC 解：解：电路方程为：电路方程为：220 1 1,2 2 s s特征方程特征根：特征方程特征根：0412 221RLL C 其其 中中0111F 20 /)1120radsLC 1 1（）当当 C C=时时，（2 20 002 20 故故（欠欠阻阻尼尼）21,2222024sj 212()(cos4sin4)ti teKtKt 初始条件初始条件 i(0)=2A K1=2 （1）uc(0+)=4V

44、uL(0+)=uc(0+)-R i(0+)=-4V 0(0)4(A/)LtdiusdtL 故故 -2K1+4K2=-4 （2）由由(1)(2)联立得：联立得：K1=2 K2=02()2cos4 (A)t0ti tet 0112F 2/)114radsLC 1 1（）当当 C C=时时，（4 4122ss 2()()ti tABt e 由初始条件由初始条件 i(0)=2A04(A/)tdisdt 可可得：得：A=2 B=02()2(A)t0ti te 02 （临界阻尼）（临界阻尼）故：故：0113F 3 /)113radsLC 1 1（）当当 C C=时时，（3 3312()tti tA eA

45、e 0 （过阻尼）（过阻尼）故：故：22232131 1 1,2 2 s s或或由初始条件由初始条件 i(0)=2A04(A/)tdisdt A1=A2=13()(A)t0tti tee 221()ccsCd uduURu tdtL dtLCLC cchcpu(t)=u(t)+u全解全解1212()s ts tchutA eA e csPuU（用（用稳态解作特解）稳态解作特解）1212()s ts tcsutA eA eU 初始条件初始条件 uc(0+)=0 A1+A2+Us=0 (1)i(0+)=0 0(0)0ctduidtC A1S1+A2S2=0 (2)（设（设s1,2为相异单根）为相异

46、单根）由由(1)(2)有：有：21s21-sA=Us-s12s21sA=Us-s122121()()t0s ts tscsUu tUs es ess 故：故：1212()()t0()s ts tcsduUi tCeedtL ss 强制响应强制响应固有固有（自由）（自由）响应响应122121()()t0s ts tscsUu tUs es ess 1212()()t0()s ts tcsduUi tCeedtL ss 2,LRC(1 1)当当时时过过 阻阻 尼尼（非非 振振 荡荡 充充 电电）Us波形波形0tuc(t)i(t)tm过过阻尼情况阻尼情况(非振荡充电）非振荡充电）()1 t0tcssu tUUte （）()t0tsUi tteL 2,LRC(2 2)当当时时 临临 界界 阻阻 尼尼（非非 振振 荡荡 充充 电电）波形与过阻尼时相似，也是非振荡充电。波形与过阻尼时相似，也是非振荡充电。2,LRC(3 3)当当时时欠欠 阻阻 尼尼（振振 荡荡 充充 电电）()tscsddddUu tUe （c co os st t+s si in nt t）()sint t0tsddUi teL 欠欠阻尼情况（振荡充电）阻尼情况（振荡充电）0t(s)Usi(t)uc(t)