第2章机电控制系统的数学模型课件1.ppt

1、第2章 机电控制系统的数学模型第第2章章 机电控制系统的数学模型机电控制系统的数学模型2.1概述概述 2.2控制系统微分方程与状态空间描述控制系统微分方程与状态空间描述2.3控制系统传递函数与频率特性控制系统传递函数与频率特性2.4离散控制系统的数学模型离散控制系统的数学模型2.5数学模型的数学模型的MATLAB描述描述第2章 机电控制系统的数学模型2.1 概述概述 数学模型：数学模型：系统输入与输出之间的因果关系，即描述系统系统输入与输出之间的因果关系，即描述系统运动规律的数学表达式。运动规律的数学表达式。为了设计一个机电控制系统，首先需要建立它的数学模型，也就是建模建模。一旦机电系统的数学

2、模型建立起来，就可以采用各种分析方法和计算机工具对系统进行分析和综合。数学模型的常见形式：数学模型的常见形式：把输出量与输入量之间的关系用数学方式表达出来。如，微分方程、传递函数、差分方程等等。系统f(xi)输入xi 输出xo 第2章 机电控制系统的数学模型 G(s)Xi(s)Xo(s)11101110()()()mmommnninnXsb sbsb sbG snmXsa sasa sa 第2章 机电控制系统的数学模型不仅可以描述系统的输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性。特别适用于多输入、多输出系统，也适用于时变系统、非线性系统和随机控制系统。2()1()()1oiUsG sU

3、 sLCsRCs()()()()()()iccdi tu tRi tLu tdtdu ti tCdt()()ocu tu t第2章 机电控制系统的数学模型同一控制系统的数学模型可以表示为不同的形式，需要根据不同情况对这些模型进行取舍，以利于对控制系统进行有效分析与设计。()11()()()()1()LLcicLdi tRi tu tu tdtLLLdu ti tdtC()()ocu tu t1110001LLiccLocdiRidtLLuLduuCdtiuu第2章 机电控制系统的数学模型yx第2章 机电控制系统的数学模型2.2 控制系统的微分方程与状态空间描述控制系统的微分方程与状态空间描述2

4、.2.1 机电控制系统的微分方程机电控制系统的微分方程非齐次方程的一般解（系统的全响应）的形式()()()oohopx txtxt第2章 机电控制系统的数学模型()(1)110()()()()0nnnonoooa xtaxta x ta x t()0ix t 11100nnnna sasa sa第2章 机电控制系统的数学模型例：图所示高通滤波电路，求：1）系统零输入时的自由运动方程及其零输入响应；2）输入信号为正弦交流电压时的正弦输入响应。()()()ooiTu tu tTu tTRC解：系统的微分方程为当系统的输入为零：ui(t)0 时，其系统的自由运动方程（齐次微分方程）为()()0ooT

5、u tu tTRC其零输入响应（自由运动模态）零输入响应（自由运动模态）为1()Ttou tAeTRC式中，A为积分常数与系统的初始条件有关。第2章 机电控制系统的数学模型()()()()()1ooioiTsUsUsTsU sTRCTsUsU sTs当系统的输入为正弦交流电压：ui(t)sint 时，拉氏变换为22()iU ss当系统的输入信号为正弦交流电压时，由系统微分方程两边取拉氏变换得输出响应的拉氏变换为22()11oTsabcUsTsssjsjsT式中，a、b、c为Uo(s)的留数，待定系数。第2章 机电控制系统的数学模型系统的正弦输入时间响应为2222222222221(1)()12

6、(1)(1)()12(1)1()11sjsjsTTsTj TasjTssTTsTj TbsjTssTTsTcsTssTT 11()()Ttj tj toou tL Usaebece由留数定理求得第2章 机电控制系统的数学模型代入待定系数得系统的正弦输入时间响应为1222222(1)(1)()2(1)2(1)1Ttj tj toTj TTj TTu teeeTTT将上式中第一项和第二项合并122221()sin()111tanTtoTTu tteTTT当时间t时，系统的稳态响应为1221()sin()tan1oTu ttTT第2章 机电控制系统的数学模型2.2.2 控制系统的状态空间描述控制系统

7、的状态空间描述 对一个线性定常系统，用高阶常微分方程或传递函数来描述，反映系统输出响应与输入的关系，也称为外部描述。一般只能处理单输人单输出系统，并且对存在于系统内部的中间变量是不能描述的。现代控制理论引入了状态和状态空间的概念，用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，揭示系统的内部特征，也称为内部描述。可以处理多输人多输出系统，而且还可以方便地处理初始条件。因此，作为根据现代控制理论对控制系统进行分析和综合的前提，必须首先建立控制系统在状态空间中的数学模型，即控制系统的状态空间描述。第2章 机电控制系统的数学模型1.例子例子通过下面两个例子说明引人状态空间分析方法建立数学模型的过程以及状态空

8、间的一些基本概念。(1)R-L-C电网络例电网络例u为输入变量，y为输出变量，求它的数学模型根据基尔霍夫电路定律，有电压平衡方程1()diRiLidtu tdtC第2章 机电控制系统的数学模型消去中间变量i，得系统的微分方程为在零初始条件下，用传递函数形式表示为第2章 机电控制系统的数学模型（2）机电系统例）机电系统例 图1-2为直流他励电动机的示意图。第2章 机电控制系统的数学模型根据电枢回路电压平衡方程，有根据电枢回路电压平衡方程，有根据力矩平衡方程，有根据力矩平衡方程，有第2章 机电控制系统的数学模型由电动机原理，有由电动机原理，有消去中间变量消去中间变量i，得，得在零初始条件下，相应的

9、传递函数为在零初始条件下，相应的传递函数为第2章 机电控制系统的数学模型则式则式(1-5)改写为改写为写成矩阵方程写成矩阵方程建立一阶微分方程组建立一阶微分方程组第2章 机电控制系统的数学模型通过上面两个例子，可得如下几个概念：通过上面两个例子，可得如下几个概念：1)高阶微分方程通过选择适当的变量可变为一阶微分方程组。高阶微分方程通过选择适当的变量可变为一阶微分方程组。2)一阶微分方程组的个数等于变量的个数，即等于高阶微分方一阶微分方程组的个数等于变量的个数，即等于高阶微分方程的阶数。程的阶数。3)变量的选择不是唯一的，选择的变量不同，得到的方程组也变量的选择不是唯一的，选择的变量不同，得到的

10、方程组也不同。不同。2.状态变量和状态矢量状态变量和状态矢量 状态是指系统的状态是指系统的运动状态运动状态。状态变量状态变量是完全表征系统运动状是完全表征系统运动状态的且个数最少的一组变量。态的且个数最少的一组变量。n阶微分方程描述的系统有阶微分方程描述的系统有n个独个独立变量，当这立变量，当这n个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动个独立变量的时间响应都求得时，系统的运动状态也就被揭示无遗了。因此，状态也就被揭示无遗了。因此，n阶系统的状态变量就是系统阶系统的状态变量就是系统的的n个独立变量。状态变量选取说明如下：个独立变量。状态变量选取说明如下：1)同一个系统，状态变量的选取不是唯一的。

11、同一个系统，状态变量的选取不是唯一的。2)状态变量相互独立的，其个数应等于微分方程的阶数。状态变量相互独立的，其个数应等于微分方程的阶数。3)状态变量在初始时刻状态变量在初始时刻t0的值，就是系统的初始状态，即系统的值，就是系统的初始状态，即系统的的n个独立初始条件。个独立初始条件。第2章 机电控制系统的数学模型则则x(t)被称为被称为。(1)状态空间与状态轨迹状态空间与状态轨迹 以状态变量x1，x2，xn为坐标轴构成的，n维空间称为状态空间。状态空间中的每 一点都代表了状态变量的唯一的、特定的一组值。换言之，在某一时刻t1的状态矢量x(t1)在状态空间中是一个点，而初始时刻to的状态x(to

12、)是状态空间的一个初始点。随着时间的推移，tto，x(t)将在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。第2章 机电控制系统的数学模型 状态空间：状态空间：所有所有n维状态向量的全体便构成了实数域上的维状态向量的全体便构成了实数域上的n维状态空间。维状态空间。状态轨迹：状态轨迹：在状态空间中，时间在状态空间中，时间t是一个参变量，某一时间是一个参变量，某一时间t的状态是状态空间中的一个点，而一段时间下状态的集合称的状态是状态空间中的一个点，而一段时间下状态的集合称为系统在这一时间段的状态轨迹，有时也称作相轨迹。为系统在这一时间段的状态轨迹，有时也称作相轨迹。（2）输入向量和输出向量）输入向量和输

13、出向量 输入向量：输入向量：将系统的各个输入量看成一个列向量将系统的各个输入量看成一个列向量 。)(tu)()()()(21tutututlul第2章 机电控制系统的数学模型 输出向量：输出向量：将系统的各个输出量看成一个列向量将系统的各个输出量看成一个列向量 。)(ty)()()()(21tytytytmym主意：系统的状态和系统的输出是两个不同的概念。主意：系统的状态和系统的输出是两个不同的概念。系统的输出通常有明确的物理含义，是可以测量的；系统的输出通常有明确的物理含义，是可以测量的；系统的状态不一定有物理含义，不一定可以测量；系统的状态不一定有物理含义，不一定可以测量；在线性系统中，输

14、出是系统状态变量中某一个或某几个的在线性系统中，输出是系统状态变量中某一个或某几个的线性组合。线性组合。第2章 机电控制系统的数学模型用状态变量构成输入、输出与状态之间的关系方程组即为状用状态变量构成输入、输出与状态之间的关系方程组即为状态空间描述。记为态空间描述。记为（1）单输入）单输入-单输出线性定常系统单输出线性定常系统 状态空间描述的一般形式为状态空间描述的一般形式为第2章 机电控制系统的数学模型简洁地写成矩阵形式简洁地写成矩阵形式式中式中 x第2章 机电控制系统的数学模型前述例：前述例：110RLLCA10L b10Cc12xx x0d式中式中第2章 机电控制系统的数学模型在状态空间

15、描述中，上述的式在状态空间描述中，上述的式(1-6)、式、式(1-8)和式和式(1-10)为状态为状态方程，式方程，式(1-7)、式、式(1-9)和式和式(1-11)为输出方程。为输出方程。（2）多输入）多输入多输出系统多输出系统 设有r个输入，m个输出，此时状态空间描述为第2章 机电控制系统的数学模型写成矩阵形式为写成矩阵形式为式中式中,x和和A与单变量与单变量(单输入单输入-单输出单输出)系统相同，分别为系统相同，分别为n维状维状态矢量和态矢量和nn系统矩阵；系统矩阵；第2章 机电控制系统的数学模型第2章 机电控制系统的数学模型同样，状态空间描述由式(1-12)状态方程和式(1-13)输出

16、方程组成。传递函数和状态空间描述如图所示。从状态空间描述和系统框图都能清楚地说明，它们既表征了输人对于系统内部状态的因果关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，即完全表征系统的一切动力学特征，所以状态空间描述是对系统的一种完全的描述。第2章 机电控制系统的数学模型G(s)U(s)Y(s)状状 态态 方方 程程 输输 出出 方方 程程 nxxx21传递函数只能描述系统外部的输入输出关系，并不能反映系传递函数只能描述系统外部的输入输出关系，并不能反映系统内部状态的变化，我们称之为外部描述。统内部状态的变化，我们称之为外部描述。状态空间表达式将输入输出间的信息传递分为两段来描述。状态空间表达式将输

17、入输出间的信息传递分为两段来描述。第一段是输入引起系统内部状态发生变化，用状态方程描述；第一段是输入引起系统内部状态发生变化，用状态方程描述；第二段是系统内部的状态变化引起系统输出的变化，用输出第二段是系统内部的状态变化引起系统输出的变化，用输出方程描述。由此可见，状态空间表达式在一定程度上描述了方程描述。由此可见，状态空间表达式在一定程度上描述了系统内部变量的变化，所以我们称之为内部描述。系统内部变量的变化，所以我们称之为内部描述。第2章 机电控制系统的数学模型例：求前述例例：求前述例1的另一状态方程。的另一状态方程。系统的微分方程为12,xyxy 设状态变量：即系统的状态方程为：即系统的状

18、态方程为：系统的输出方程为：系统的输出方程为：1yx其矩阵方程为其矩阵方程为:1221211xxRxyxxuLCLLC 011RLCLA01LCb1 0c12xx x0d式中，式中，第2章 机电控制系统的数学模型在状态空间分析中，常用状态结构图来反映系统各状态变量在状态空间分析中，常用状态结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。之间的信息传递关系。和经典控制理论相类似，可以用框图表示系统信号的传递关系。单变量系统单变量系统第2章 机电控制系统的数学模型图中用单线箭头表示标量信号传递，用双线箭头表示矢量信号传递。从状态空间描述和系统框图都能清楚地说明，它们既表征了输人对于系统内部状态的因果

19、关系，又反映了内部状态对于外部输出的影响，即完全表征系统的一切动力学特征，所以状态空间描述是对系统的一种完全的描述。多变量系统多变量系统第2章 机电控制系统的数学模型例例-1 一阶微分方程一阶微分方程例例-2二阶微分方程二阶微分方程1yx1221211xxRxyxxuLCLLC 第2章 机电控制系统的数学模型 例例-3 已知三阶单变量系统的状态空间描述为已知三阶单变量系统的状态空间描述为第2章 机电控制系统的数学模型第2章 机电控制系统的数学模型cu1i2i1u1R2R1L2LC2u例例 试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。222211111

20、21iRdtdiLuudtdiLiRuidtduCiccc 122223121,uuiRuyixixuxc 第2章 机电控制系统的数学模型32212231111111221111111xLRxLdtdixuLxLRxLdtdixiCiCdtduxc 32121321222111321000100101110 xxxRyuLxxxLRLLRLCCxxx第2章 机电控制系统的数学模型5.传递函数矩阵传递函数矩阵例：系统如下图所示，输入为例：系统如下图所示，输入为 和和 ，输出为，输出为 。1u2u2x1uR2uRRCC1x2x1i2i3i第2章 机电控制系统的数学模型解：列写回路的电压方程和节点的

21、电流方程解：列写回路的电压方程和节点的电流方程322211223122111idtdxCiidtdxCixuRixRxxuRix选取选取 为状态变量，输出为状态变量，输出 ，得系统的状态空间表，得系统的状态空间表达式为达式为21,xx2xy 222121211121112xyuRCxRCxRCxuRCxRCxRCx第2章 机电控制系统的数学模型设初始条件为零，对上式两端进行拉普拉斯变换，得设初始条件为零，对上式两端进行拉普拉斯变换，得)(1)(2)(2)()(1)(1)(2)(22121211suRCsxRCsxRCsxssuRCsxRCsxRCsxs消去消去 并整理得并整理得)(1sx)(3

22、42)(341)(222212222suRCssCRRCssuRCssCRsx写成向量矩阵形式为写成向量矩阵形式为)()(342341)(212222222susuRCssCRRCsRCssCRsx)()()(ssGsuy第2章 机电控制系统的数学模型其中其中:)(su 输入变量的输入变量的Laplace变换象函数变换象函数:)(sy 输出变量的输出变量的Laplace变换象函数变换象函数)()(2sxs y)()()(21sususu:)(sG 传递函数矩阵传递函数矩阵传递函数矩阵传递函数矩阵)()()()(21sususulsu)()()()(21sysysymsy:)(tu 维输入向量维

23、输入向量l:)(ty 维输出向量维输出向量m第2章 机电控制系统的数学模型)()()()()()()()()()(212222111211ssssssssssGmlmmllggggggggg则对应的系统的传递函数矩阵为则对应的系统的传递函数矩阵为)()()()()()()(2211sussussussyliliiiggg)(0)()()(jkujiijksusys所有g)(sGuy多输入量多输出量的对象常用复线框来表示多输入量多输出量的对象常用复线框来表示第2章 机电控制系统的数学模型6.传递函数矩阵与状态空间表达式之间的关系传递函数矩阵与状态空间表达式之间的关系DuCxyBuAxx)()()

24、()()()(1ssssssuDxCyuBAIx)()()()()()(11ssssssuDBAICuDuBAICyDBAIC1)()(ssG)()()()()()(sssssssuDxCyuBxAx)()()()()()(ssssssuDxCyuBxAI第2章 机电控制系统的数学模型1adj()()det()sIAsIAsIA adj()()det()adj()det()det()sIAG sCBDsIACsIA BsIA DsIA det()0sIA 第2章 机电控制系统的数学模型 设系统的动态方程为设系统的动态方程为试求该系统的传递函数矩阵。试求该系统的传递函数矩阵。1112221122

25、011002011001xxuxxuyxyx 例例:第2章 机电控制系统的数学模型解解:已知已知011010,0020101ABCD 故故11111(2)()02102sss ssIAss 第2章 机电控制系统的数学模型1()()111010(2)010110211(2)102G sC sIABss ssss ss 第2章 机电控制系统的数学模型0100001061161Ab 设系统的状态方程为设系统的状态方程为试求系统的特征方程和特征值。试求系统的特征方程和特征值。例例:第2章 机电控制系统的数学模型3210det()det 01611606116det()(1)(2)(3)0ssIAsss

26、sssIAsss 系统的特征方程为系统的特征方程为解解:特征方程的根为特征方程的根为-1、-2和和-3。矩阵。矩阵A的特征值也为的特征值也为-1、-2和和-3。两者是一样的。两者是一样的。第2章 机电控制系统的数学模型例：求下列系统的传递函数矩阵。例：求下列系统的传递函数矩阵。DuCxyBuAxx其中其中100003,121112,1101,3210DCBA解：解：DBAIC1)()(ssG10000311013211211121ss第2章 机电控制系统的数学模型10000311012131211122312ssss1000032631222632312ssssssss1132122111)2

27、(3ssssssss第2章 机电控制系统的数学模型例：求下列系统的传递函数矩阵。例：求下列系统的传递函数矩阵。DuCxyBuAxx其中其中1000,100011,200101,220233245DCBA解：解：DBAIC1)()(ssG1)(1 AI s）先求（第2章 机电控制系统的数学模型220233245)(ssssAIAIAIAIssadjs)()(1)3)(1()5(26)2(2)2)(5()2(3)1(2)1(4)2)(1()2()1(12sssssssssssss第2章 机电控制系统的数学模型2()G s（）求系统的传递函数矩阵DBAIC1)()(ssG1000200101)2()

28、1()3)(1()5(26)2(2)2)(5()2(3)1(2)1(4)2)(1(1000112sssssssssssss)2()1(496)1(2)2()1(4)1(1223222sssssssss第2章 机电控制系统的数学模型11101110()()()mmommnninnXsb sbsb sbG snmXsa sasa sa 第2章 机电控制系统的数学模型*11()()()()()miinjjs zM sG sKnmN ssp(1,2,)iz im(1,2,)jpjn*mnbKa11101()0nnnnnjja sasa sasp01(1,2,)(,)jjnspjnf a aa第2章 机

29、电控制系统的数学模型(1,2,)(1,2,)(1,2,)(1,2,)ijklT igT jhT ipT jq、22112211(1)(21)()(1)(21)dpqklllT sklghvijjjijKT sT sTsG sesTsT sT s00bKa第2章 机电控制系统的数学模型*11miinjjzKKnmpXHGi(s)XO(s)(s)(s)B(s)E(s)闭环系统的方框图()()1()()G ssH s G s第2章 机电控制系统的数学模型第2章 机电控制系统的数学模型()()()kG sH s G s第2章 机电控制系统的数学模型*11*111()()()()1()1()()nmmj

30、iijiiknnjjjjspKszszF sG sKspsp 第2章 机电控制系统的数学模型例：图所示高通滤波电路，求输入信号为正弦交流电压时的正弦输入响应。()()()ooiTu tu tTu tTRC解：系统的微分方程为()()()()()()1ooioiTsUsUsTsU sTRCUsTsG sU sTs当系统的输入信号为正弦交流电压时，由系统微分方程两边取拉氏变换得传递函数第2章 机电控制系统的数学模型当系统的输入为正弦交流电压：ui(t)Aisint 时，拉氏变换为22()iiAU ss输出响应的拉氏变换为22()11ioATsabcUsTsssjsjsT式中，a、b、c为Uo(s)

31、的留数，待定系数。系统的正弦输入时间响应为11()()Ttj tj toou tL Usaebece第2章 机电控制系统的数学模型2222222222221(1)()12(1)(1)()12(1)1()11iisjiisjiisTAA Tj TTsasjTssTAA Tj TTsbsjTssTAA TTscsTssTT 由留数定理求得代入待定系数得系统的正弦输入时间响应为1222222(1)(1)()2(1)2(1)1Ttj tj tiiioA Tj TA Tj TA Tu teeeTTT第2章 机电控制系统的数学模型将上式中第一项和第二项合并122221()sin()111tanTtioA

32、TTu tteTTT当时间t时，系统的稳态响应为1221()sin()tan1ioA Tu ttTT可见，系统的频率响应的幅值随输入信号频率变化而变化，其相位也是随输入信号的频率变化而变化。当频率趋近无穷大时输出幅值才与输入幅值相等。()()sin()iiu tAAt 第2章 机电控制系统的数学模型22()()()1oiu tTAu tT()sin()iiu tAt()()sin()iiu tAAt 22()sin()1ioA Tu ttT11()()tanttT 第2章 机电控制系统的数学模型()()()jG jAe 22()()1TAG jT11()()tanG jT 222222()()

33、111sjj TTTG jG sjj TTT2222()1TUT22()1TVT第2章 机电控制系统的数学模型()()()()()jG jUjVAe 22)()()()(VUjGA)()()()(UVarctgjG)(cos)()(Re)(AjGU)(sin)()(Im)(AjGV)(sin)()cos()()()(jAeAjGj()cos()sin()jej ImRe)(jG)(1230)(V)(U)(A第2章 机电控制系统的数学模型)(jG对数频率特性曲线)(log20)(ALdB)()(jG第2章 机电控制系统的数学模型0)(1)(ccLA 180)(g第2章 机电控制系统的数学模型2.

34、4 机电离散控制系统的数学模型机电离散控制系统的数学模型D/A控制对象r(t)e(t)c(t)数字控制器A/D检测元件e*(t)u*(t)uh(t)计算机控制系统原理计算机控制系统原理在计算机采样控制系统中，因为在计算机内参与运算的信号在计算机采样控制系统中，因为在计算机内参与运算的信号是二进制数码，所以要利用计算机来实现系统的控制目标，是二进制数码，所以要利用计算机来实现系统的控制目标，首先要在控制系统中通过模数转换器首先要在控制系统中通过模数转换器(AD)，把控制目标的，把控制目标的连续信号转换成数字信号，送给计算机构成的数字控制器，连续信号转换成数字信号，送给计算机构成的数字控制器，经过

35、数字控制器的数字计算，给出的控制信号也是数字量，经过数字控制器的数字计算，给出的控制信号也是数字量，然后再通过数模转换器然后再通过数模转换器(DA)，使数字量恢复成连续的控制，使数字量恢复成连续的控制作用，再去控制被控对象。作用，再去控制被控对象。第2章 机电控制系统的数学模型在分析采样控制系统时，把在分析采样控制系统时，把AD和和DA的工作过程理想化，的工作过程理想化，即认为即认为AD转换相当于一个每隔转换相当于一个每隔T秒瞬时接通一次的理想采秒瞬时接通一次的理想采样开关，它把连续信号变成数字信号；而样开关，它把连续信号变成数字信号；而DA转换则近似于转换则近似于一个保持器，它把数字信号变成

36、连续信号。一个保持器，它把数字信号变成连续信号。图图2.4.2 采样控制系统结构图采样控制系统结构图 由于在离散系统中存在着脉冲或离散的数字信号以及信号由于在离散系统中存在着脉冲或离散的数字信号以及信号的变换过程，因此，在研究这种系统时，虽在一定程度上可以的变换过程，因此，在研究这种系统时，虽在一定程度上可以借鉴在连续系统中应用的一些成熟的方法，但仍然有它本身的借鉴在连续系统中应用的一些成熟的方法，但仍然有它本身的特殊性，必须对其进行单独讨论。特殊性，必须对其进行单独讨论。e*(t)u*(t)uh(t)Gh(s)Gp(s)r(t)e(t)c(t)GD(s)H(s)采样开关第2章 机电控制系统的

37、数学模型 信号采样过程，就是按照一定的时间间隔对系统中的连续信号进行采样，将连续信号变换为时间上离散的脉冲序列的过程。用来实现采样过程的装置称为采样器或采样开关，它可以用一个按一定周期（即采样周期）进行闭合操作的开关来表示。采样开关的采样周期为T，采样开关的采样周期为T，每次闭合时间为，如图2.4.3所示。通常远小于采样周期T和系统中连续部分的时间常数，可以近似的认为0。第2章 机电控制系统的数学模型图2.4.3 模拟信号的采样采样过程可以看成是一个电子系统中的脉冲调制过程。理想的采样器等效于一个理想的单位脉冲序列发生器，它能够产生单位脉冲序列 ，如图2.4.4所示。单位脉冲序列 的数学表达式

38、为)(tT)(tTkTkTtt)()(k=0，1，2为整数 (2.4.1)第2章 机电控制系统的数学模型根据图2.4.4，的数学表达形式可写成：)(*tekkTkTtkTekTttettete)()()()()()()(*(2.4.2)调制器e*(t)e(t)T(t)图图2.4.4 单位脉冲序列和采样信号的调制单位脉冲序列和采样信号的调制第2章 机电控制系统的数学模型 可见，满足单位脉冲函数定义的脉冲串 相当于一种载波信号。实际系统中 t0时，所以上式可改写为)(tT0)(te0*)()()(kkTtkTete综上所述，采样过程相当于一个脉冲调制过程，采样开关的输出信号 可表示为两个函数的乘积

39、，其中载波信号 决定输出函数存在的时刻，而采样信号的幅值由输入信号 决定。)(*te)(tT)(kTe(2.4.3)第2章 机电控制系统的数学模型式中,傅里叶系数；(1)采样信号拉氏变换与连续信号拉氏变换之间关系)(tT 因为理想单位脉冲序列 是一个以T为周期的函数，可以展开为傅里叶级数，其复数形式为 tjkknTseAt)(TdtetTATTtjkTns1)(12/2/Tfss22代入,有 ktjkT*se(t)eT(t)e(t)(t)e1(2.4.4)(2.4.5)为采样角频率。第2章 机电控制系统的数学模型上式反映了采样函数的拉氏变换式 和连续函数拉氏变换式 之间的关系，这表明 是s的周

40、期性函数。故 的拉氏变换为)(*teksjksETsE)(1)(*(2.4.6)(sE)(*sE)(*sE用 代入上式，得到采样信号的傅里叶变换：js kskjETjE)(1)(*(2.4.7)第2章 机电控制系统的数学模型上式反映了采样后的离散信号频谱与连续信号频谱之间的关系。通常，连续函数e(t)的频带宽度有限，其最大截止频率为max，为一孤立的频谱，如图2.4.5a所示。由图2.4.5可见，相邻两部分频谱互不重叠的条件是 s2max (2.4.8)(jE第2章 机电控制系统的数学模型采样之后，离散序列 的频谱是无限多个频谱的周期重复，其幅值 为的1/T，周期为s，k=0时为主频谱。如图2

41、.4.5b所示,根据采样频率s的大小，可能有两种情况，1）当s2max，采样信号的频谱不会发生重迭；2）当s2max，采样信号的频谱发生重迭。香农采样定理的物理意义即是对最高频率的正弦信号，在一个周期内至少应采样两次(正负值各采样一次)。香农采样定理是选择采样周期的一个重要依据。)(*te)(jE)(jE第2章 机电控制系统的数学模型 为使采样后的信号不丢失原连续信号的信息，或者说为了能将采样后的离散信号恢复为原连续信号，必须使采样信号的频谱中各部分相互不重叠，这样就可以采用一个低通滤波器滤掉所有的高频分量，只保留主频谱，这个低通滤波器就是下面要介绍的将离散信号恢复成连续信号的零阶保持器。根据

42、采样定理，在s2max的条件下，离散信号频谱中各分量彼此互不重叠，采用理想的低通滤波器滤去各高频分量，保留主频谱，就可以无失真地恢复为原连续信号。但上述理想滤波器在实际上难以实现，因此，必须寻找在特性上比较接近理想滤波器，而实际上又可以实现的滤波器，在采样控制中应用的保持器就是这种实际的滤波器。保持器是一种采用时域外推原理的装置。结构最简单，应用最广泛的是零阶保持器。微型计算机输出通道中的 DA转换器就是零阶保持器。第2章 机电控制系统的数学模型 零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器。它的作用是把采样时刻kT的采样值e(kT)恒定不变地保持(外推)到下一采样时刻(k+1)T。也就是说，在时间t

43、kT，(k+1)T区间内，它的输出量一直保持为e(kT)这个值。其输入信号和输出信号的关系如图2.4.6所示。零阶保持器的输出信号是阶梯形的，包含着高次谐波，与要恢复的连续信号是有一些区别的。若将阶梯形输出信号的各中点连接起来，可以得到一条比连续信号迟后T/2的曲线，这反映了零阶保持器的相位滞后特性。e*(t)eh(t)零阶保持器图2.4.6 连续信号与采样信号第2章 机电控制系统的数学模型当零阶保持器的输入为单位脉冲时，其输出是一个高度为1，宽度为T的矩形波，即零阶保持器的单位脉冲响应gh(t)。它可以分解为两个单位阶跃函数的叠加（图2.4.7所示）：gh(T)=1(t)-1(t-T)图2.

44、4.7 零阶保持器单位脉冲响应setgLsGTshh1)()(2.4.9)此即是零阶保持器的传递函数。零阶保持器单位脉冲响应的拉氏变换式为第2章 机电控制系统的数学模型令式(2.4.9)中 ，可求得零阶保持器的频率特性为 sj)()()cos1(sin1)(jGjGTjTjejGhhTjh(2.4.10)(2.4.11)幅频特性和相频特性分别为22sin(1 cos)sin(/2)()/2(1 cos)()arctansin2hhTTTGjTTTTGjT 零阶保持器的幅频特性，其幅值随着频率的增大而衰减，具有明显的低通滤波特性，主频谱与连续信号相似，但还存在一些高频分量。因此，其转换后的连续信

45、号与原来的信号是有些差别的。此外，由相频特性可见，采用零阶保持器还将产生相角滞后，对稳定性不利。T越小，采样系统越接近于连续系统，但计算机负担加重，对计算机运算速度等要求越高。第2章 机电控制系统的数学模型 在传统连续系统的控制器设计与分析中，一般应用微分方程、系统的传递函数和频率特性等方法进行研究，其中最重要的工具就是拉氏变换。一个连续信号f(t)的拉氏变换是复变量s的有理分式函数，微分方程通过拉氏变换后也可以转换为s的代数方程，从而大大简化微分方程的求解，方便得到系统的频率特性。而在采样控制系统中存在着脉冲或数字的离散信号以及离散信号与连续信号的变换过程，因此，如果仍沿用拉氏变换得到的传递

46、函数来分析系统，那么拉氏变换就会在运算中给我们带来复变量的超越函数，使得计算与分析难以顺利进行。为了避免这种情况出现，用一种新的工具z变换替代拉氏变换，用差分方程或z传递函数来描述采样控制系统的数学模型。第2章 机电控制系统的数学模型对于连续函数 ，它的拉氏变换为：)(tx0)()()(dtetxtxLsXst0*)()()(kkTtkTxtxx(t)的采样信号为 000*)()()()()(kkTsstkekTxdtekTtkTxtxLsX(2.4.13)(2.4.14)上式中的 是s的超越函数，不便于直接进行运算。因此，我们引入一个新的复变量 ，将它代人式(2.4.14)得sTeTsez

47、取拉氏变换则为 0*)()()(kkzkTxzXtxZ(2.4.15)第2章 机电控制系统的数学模型定义式(2.4.15)为采样函数 的z变换，记为 。)(*tx)()(txZzX由上述z变换的定义可见，z变换实际是拉氏变换的一种变形。严格地讲，z变换只适用于使用离散信号的情况，即z变换式只表征了连续函数在采样时刻的特性，而不能反映采样时刻之间的特性。但人们往往根据习惯称 是 的z变换，这实质上是 指经过采样之后得到的 的z变换。)(zX)(tx)(tx)(*tx 因为z变换是对采样时刻而言，所以 的z变换就是 的z变换。通常把采样周期T当作一个单位，并将 简记为 ，这样，采样序列的z变换即定

48、义为)(*tx)(kTx)(kTx)(kx0*)()()()(kkzkxkxZtxZzX(2.4.16)因而 21)2()1()0()(zxzxxzX这是复变量 的幂级数，只有当其收敛时，才能求得其简短的封闭形式。1z第2章 机电控制系统的数学模型例2.4.1 求单位跃阶函数的z变换。说明：如果能够知道连续函数x(t)在各采样时刻的离散值x(kT)，可以按照定义求x(t)的z变换。解：解：单位跃阶函数在各个采样时刻的值均为1，因此 1201()11 111knkZtzzzz 1111zzz当 ，即 时，级数收敛。11z1z例2.4.2 求函数e-at的z变换。解解：12201atakTkaTa

49、TnaTnkZ eezezezez aTaTezzze111第2章 机电控制系统的数学模型例2.4.3 已知连续函数x(t)的拉氏变换为 ，求函数的z变换。其中，pi是X(s)的极点，ai为极点pi的留数，而 所对应的时间函数为 ，由上例可知其z变换为 ，因此，相应于x(t)的z变换为)2(2)(sssX解：如果连续函数x(t)的拉氏变换X(s)为s的有理函数，并且X(s)的分母多项式能够分解因式时，可以将X(s)展开成部分分式，即 niiipsasX1)(iipsatpiieaTpiiezzaniTpiniTpizeaezzatxZzXii1111)()(211)2(2)(sssssXtet

50、x21)(解解:因为 ，又拉氏反变换得 所以)(1()1()1)(1()1(1111)(2212121121TTTTTezzezzezezzezzX第2章 机电控制系统的数学模型第2章 机电控制系统的数学模型与拉氏变换相类似，z变换也有一些基本定理，根据这些定理，加上熟悉表列出的一些简单函数的z变换，则可以方便地求出一些复杂函数的z变换。设函数 ，则niiitxatx1)()(niiizXazX1)()(即各函数线性组合的z变换，等于各函数z变换的线性组合。这由定理很容易证明，这里就不给出详细证明过程。设在 时连续函数 ，其z变换为 ，则 0t0)(tx)(zX)()(zXzmTtxZm第2章