用待定系数法求二次函数解析式课件.ppt

1、用待定系数法求二次函数解析式用待定系数法求二次函数解析式二次函数解析式的三种表示形式二次函数解析式的三种表示形式(1)一般式一般式(2)顶点式顶点式(3)交点式交点式)0(2acbxaxy)0,)(0,2)0)()(2121xxXcbxaxyaxxxxay轴轴交交于于两两点点（与与条条件件：若若抛抛物物线线),)0()(2khakhxay顶点坐标（一）方法：（一）方法：例例1.已知二次函数图象经过已知二次函数图象经过A(2,-4),B(0,2),C(-1,2)三点，求此函数的解析式。三点，求此函数的解析式。解解：设二次函数解析式为：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c 图象过图象过A(2,-

2、4),B(0,2)，C(-1,2)4a+2b+c=-4 c=2 a-b+c=2 解得解得 a=-1,b=-1，c=2 函数的解析式为：函数的解析式为：y=-x2-x+2一、设一、设二、代二、代三、解三、解四、还原四、还原方法（一）方法（一）：1.一般式：一般式：y=ax2+bx+c(a0)已知图象上已知图象上任意三点坐标任意三点坐标，特别是已知函，特别是已知函数图象与数图象与y y轴的交点坐标轴的交点坐标（0 0，c c）时，使用时，使用一般式很方便。一般式很方便。解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为解得解得已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0,-30,-3）（4

3、,54,5）（1,01,0）三点，求这个函数的解析式？）三点，求这个函数的解析式？二次函数的图象过点（二次函数的图象过点（0,-3）（）（4，5）（）（1,0）c=-3 a-b+c=016a+4b+c=5a=b=c=y=ax2+bx+c-3所求二次函数为所求二次函数为1-2y=x2-2x-3解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为已知抛物线的顶点为（已知抛物线的顶点为（1 1，4 4），），且过点（且过点（0 0，3 3），求抛物线的解析式？），求抛物线的解析式？又又点点(0,-3)在抛物线上在抛物线上a-4=-3,所求的抛物线解析式为所求的抛物线解析式为 y=(x-1)2-4顶点为顶点为

4、（1，4）a=1y=a(x-1)1)2 2-4-4y=a(x-h)2+k y=a(x-1)2-4 例例2.已知一个二次函数的图象经过点已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当并且当x=3时有最大值时有最大值4，试确定这个二次，试确定这个二次函数的解析式。函数的解析式。解法解法1：（利用一般式）（利用一般式）设二次函数解析式为：设二次函数解析式为：y=ax2+bx+c由题意知由题意知16a+4b+c=-3-b/2a=3(4ac-b2)/4a=4解方程组得：解方程组得：a=-7b=42c=-59二次函数的解析式为：二次函数的解析式为：y=-7x2+42x-59解法解法2：（利用顶点式）（利

5、用顶点式）设二次函数解析式为：设二次函数解析式为：y=a(x-h)2+k当当x=3时，有最大值时，有最大值4顶点坐标为顶点坐标为(3,4)y=a(x-3)2+4函数图象过点（函数图象过点（4，-3）a(4-3)2+4=-3a=-7y=-7(x-3)2+4=-7x2+42x-59二次函数的解析式为：二次函数的解析式为：y=-7x2+42x-59例例2.已知一个二次函数的图象经过点已知一个二次函数的图象经过点(4,-3)，并且当并且当x=3时有最大值时有最大值4，试确定这个二次，试确定这个二次函数的解析式。函数的解析式。解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为已知一个二次函数的图象过点（已知一

6、个二次函数的图象过点（0,-30,-3）（4,54,5）对称轴为直线对称轴为直线x=1=1，求这个函数的解析式？，求这个函数的解析式？y=a(x-1)2+k 思考：怎样设二次函数关系式思考：怎样设二次函数关系式 2.2.顶点式顶点式 y=a(x-h)2+k(a0)已知对称轴方程已知对称轴方程x=h、最值最值k或顶或顶点坐标点坐标（h,k）时优先选用顶点式。时优先选用顶点式。解：解：设所求的二次函数为设所求的二次函数为 y=a(x-x1)(x-x2)a(0+1)(0-3)=-3已知一个二次函数的图象过点（已知一个二次函数的图象过点（0,-30,-3）（-1,0-1,0）（3,03,0）三点，求这

7、个函数的解析式？三点，求这个函数的解析式？所求二次函数为所求二次函数为y=x2-2x-3 y=a(x+1)(x-3)过过（-1,0）（3,0）过过（0,-3）a=13交点式交点式 y=a(x-x1)(x-x2)知道抛物线与知道抛物线与x x轴的轴的两个交点的坐标两个交点的坐标，或，或一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐一个交点的坐标及对称轴方程或顶点的横坐标时选用两根式比较简便标时选用两根式比较简便例例4 4 已知二次函数图像已知二次函数图像如图所示，求其解析式如图所示，求其解析式解法一：解法一：设解析式为A(-1,0)A(-1,0)在抛物线上在抛物线上 a =-1 =-1即：即：(a0)结

8、果需化成一般式结果需化成一般式例例4 4 已知二次函数图像已知二次函数图像如图所示，求其解析式如图所示，求其解析式解法二：解法二：设解析式为顶点顶点C C（1 1，4 4）对称轴对称轴 x=1=1A(-1,0)A(-1,0)、B B点关于点关于 x=1x=1对称对称BB（3 3，0 0）A(-1,0)A(-1,0)、B B（3 3，0 0）和）和C C（1 1，4 4）在抛物线上，）在抛物线上，解得解得 所以所以(a0)例例4 4 已知二次函数图像已知二次函数图像如图所示，求其解析式如图所示，求其解析式解法三：解法三：设解析式为顶点顶点C C（1 1，4 4）对称轴对称轴 x=1=1A(-1,

9、0)A(-1,0)、B B点关于点关于 x=1=1对称对称BB（3 3，0 0）又又CC（1 1，4 4）在抛物线上，）在抛物线上，即即(a0)3)(1(xxay4)3)(11(xa a =-1 =-1)3)(1(xxy顶点是（顶点是（0，0）设：设：y=ax顶点在顶点在y轴上轴上设：设：y=ax+k顶点在顶点在x轴上轴上设设：y=a(x-h)特殊的设法：例例5 5 将抛物线将抛物线 向左平移向左平移4 4个单位，向下平移个单位，向下平移3 3个单位，求平移后抛个单位，求平移后抛物线解析式物线解析式平移不改变形状，只改变位置选择顶点式解解：=（x+1)2+5顶点顶点（-1，5）平移后平移后顶点

10、顶点（-5，2）y=(x+5)2+2即即y=x2+10 x+27例例6 6 已知抛物线过已知抛物线过（1，1）和和（4，4）且顶点在且顶点在x轴上，求抛物线解析式轴上，求抛物线解析式解：解：设解析式为设解析式为(1,1)(1,1)、（、（4 4，4 4）在抛物线上）在抛物线上(a0)2)(hxay 22)4(4)1(1haha 2111ha 29122ha442 xxy2)2(xy2)2(91 xy9494912 xxy解得解得 或或或或即即1412108642-2-15-10-551015g x 2+49 f x 2-4（三）练习题（三）练习题 二次函数图象经过点二次函数图象经过点 (1,4

11、),(-1,0)和和(3,0)三点，三点，求二次函数的解析式。求二次函数的解析式。解法解法1：（：（一般式一般式）设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=ax2+bx+c 二次函数图象过点二次函数图象过点(1,4),(-1,0)和和(3,0)a+b+c=4 a-b+c=0 9a+3b+c=0 -得：得：2b=4 b=2 代入代入、得：得：a+c=2 9a+c=-6 -得：得：8a=-8 a=-1 代入代入 得：得：c=3 函数的解析式为：函数的解析式为：y=-x2+2x+3解法解法2：（：（顶点式顶点式）抛物线与抛物线与x轴相交两点轴相交两点(-1,0)和和(3,0)，1=(-1+3)/2 点

12、点(1,4)为抛物线的顶点为抛物线的顶点由题意设二次函数解析式为：由题意设二次函数解析式为：y=a(x+h)2+k y=a(x-1)2+4 抛物线过点抛物线过点(-1,0)0=a(-1-1)2+4 得得 a=-1 函数的解析式为：函数的解析式为：y=-1(x-1)2+4 =-x2+2x+3解法解法3：（：（交点式交点式）由题意可知两根为由题意可知两根为x1=-1、x2=3设二次函数解析式为设二次函数解析式为y=a(x-x1)(x-x2)则有：则有：y=a(x+1)(x-3)函数图象过点函数图象过点(1,4)4=a(1+1)(1-3)得得 a=-1 函数的解析式为：函数的解析式为：y=-1(x+

13、1)(x-3)=-x2+2x+3根据下列条件求二次函数解析式根据下列条件求二次函数解析式(1)抛物线过点抛物线过点(0,0)(1,2)(2,3)三点三点解法解法:抛物线过一般三点抛物线过一般三点 通常设一般式将三点坐标代入通常设一般式将三点坐标代入 求出求出a,b,c的值的值解解:设二次函数解析式为设二次函数解析式为:y=ax2+bx+c(a0)则则32420cbacbac解得：解得：02521cba所求的抛物线解析式为所求的抛物线解析式为:xxy25221(2)抛物线顶点是抛物线顶点是(2,-1)且过点且过点(-1,2)解法解法(一一)可设一般式列方程组求可设一般式列方程组求a,b,c解法解

14、法(二二)可设顶点式可设顶点式解解:抛物线的顶点为抛物线的顶点为(2,-1)设解析式为设解析式为:y=a(x-2)2-1把点把点(-1,2)代入代入 a(-1-2)2-1=2221(2)13141333yxyxx所求的解析式为：即：13a 解得：(3)图象与图象与X轴交于轴交于(2,0)(-1,0)且过点且过点(0,-2)解法解法(一一)可设一般式可设一般式解法解法(二二)可设交点式可设交点式解解:抛物线与抛物线与X轴交于点轴交于点(2,0)(-1,0)设解析式为设解析式为:y=a(x-2)(x+1)把点把点(0,-2)代入代入a(0-2)(0+1)=-2解得解得 a=1所求解析式为所求解析式

15、为y=(x-2)(x+1)即即:y=x2-x-2解析解析式的求法式的求法 解析式解析式使用范围使用范围1.一一般般式式 已已知任意知任意 三三个点个点2.顶顶点点式式y=ax2+bx+cy=a(x+h)2+k1)已知函数与已知函数与x轴只有一个交点轴只有一个交点（或函数的顶点在（或函数的顶点在x轴上）轴上）k=03.特殊特殊式式3)已知任意三点，其中两点是已知任意三点，其中两点是函数与函数与x轴两交点轴两交点2)已知函数图象的顶点在已知函数图象的顶点在y轴上轴上h=01)已知顶点已知顶点（-h,k)及另一点及另一点2)平移变换平移变换4交点式交点式；y=a(x-x1)(x-x2)知道抛物线与知

16、道抛物线与x轴的两个交点轴的两个交点的坐标，或一的坐标，或一个交点的坐标个交点的坐标及对称轴方程及对称轴方程或顶点的横坐或顶点的横坐标时选用两根标时选用两根式比较简便式比较简便二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象特殊位置：的图象特殊位置：顶点在顶点在y轴上轴上顶点在顶点在x轴上轴上b=00顶点顶点在在原点上原点上b=0，c=0图象图象经过经过原点原点c=0图象经过图象经过(1,2)a+b+c=2顶点在顶点在y=2x-1上上1)2(2442ababac例例1已知抛物线已知抛物线y=x2+mx+2m-m2,根据下列条件求根据下列条件求m 值值(1)抛物线经过原点 (2)抛物线的顶点在x轴上(

17、3)抛物线的顶点在y轴上(4)抛物线的对称轴为直线x=1(5)抛物线的顶点在直线y=2x+1上(6)抛物线与x轴两个交点间的距离为34c=0m1=0,m2=2=0b=0m=012ab)44,2(2abacab点 在直线上3421axx58m1=0,m2=,m2=252 m1=m=-2,m2=4512m1=形形数数 旋转180度x轴对称y轴对称原点对称形状大小开口方向对称轴顶点坐标改变改变改变改变改变改变改变改变改变改变改变改变改变改变改变改变二、抛物线的变换二、抛物线的变换 1、抛物线、抛物线y=3x2-12x+13关于关于x轴对称的轴对称的 解析式是什么？解析式是什么？2、抛物线、抛物线y=

18、3x2-12x+13关于关于y轴对称的轴对称的 解析式是什么？解析式是什么？3、抛物线、抛物线y=3x2-12x+13关于原点对称的关于原点对称的 解析式是什么？解析式是什么？1.抛物线抛物线y=ax2+bx+c与与y=-x2形状形状相同相同,对称轴是直线对称轴是直线x=3,最高点在最高点在直线直线y=x+1上上,求抛物线解析式求抛物线解析式;Y=-(x-3)2+42.已知直线已知直线y=kx+b与与x轴相交于轴相交于点点A的横坐标为的横坐标为2,与抛物线与抛物线y=ax2相交于相交于B、C两点两点,且点且点B与点与点P(-1,1)关于关于y轴对称轴对称.(1)求直线和抛物线的解析式求直线和抛

19、物线的解析式;(2)若抛物线上有一点若抛物线上有一点D,使使SAOD =SBOC,求点求点D的坐标的坐标.3.已知抛物线已知抛物线 y=ax2+bx+c 与直线与直线y=kx+4 相交于点相交于点A(1,m),B(4,8),与与x轴交于坐标原点轴交于坐标原点O和点和点C.(1)求直线和抛物线解析式求直线和抛物线解析式.(2)在在x轴上方的抛物线是否存在轴上方的抛物线是否存在D点点,使得使得SOCD=SOCB.若存在若存在,求出所求出所有符合条件的点有符合条件的点;若不存在若不存在,说明理由说明理由.设抛物线的解析式为设抛物线的解析式为 ,则则a(3-1)a(3-1)2 2-1=-3,-1=-3

20、,解得解得:a=-:a=-1)1(2xay21抛物线的解析式为抛物线的解析式为:1)1(212xy 5.某抛物线是将抛物线某抛物线是将抛物线yax2向右平移一个向右平移一个单位长度，再向下平移一个单位长度得到的，单位长度，再向下平移一个单位长度得到的，且抛物线过点且抛物线过点(3，-3)求该抛物线的解析式求该抛物线的解析式 解解:6.6.已知二次函数的对称轴是直线已知二次函数的对称轴是直线x x1 1，图象，图象上最低点上最低点P P的纵坐标为的纵坐标为-8-8，图象经过点，图象经过点(-2(-2，10)10)，求这个函数的解析式，求这个函数的解析式 分析分析:这类题型可由顶点坐标这类题型可由

21、顶点坐标(h(h，k)k)，设函数解析式为，设函数解析式为y ya(x-h)a(x-h)2 2k(a0)k(a0)，在本题，在本题中，可设中，可设y ya(x-1)a(x-1)2 2-8-8，再将，再将x x-2-2，y y1010代入求得代入求得a a2 2，y y2(x-1)2(x-1)2 2-8-8即即y y2x2x2 2-4x-6-4x-6 A-8xyX=17.已知二次函数的图象与已知二次函数的图象与x轴的两交点的距离轴的两交点的距离是是4，且当，且当x1，函数有最小值，函数有最小值-4，求这个，求这个二次函数的解析式二次函数的解析式(-1,0)(3,0)X=1 如图，直角如图，直角A

22、BC的两条直角边的两条直角边OA、OB的长分别是的长分别是1和和3，将，将AOB绕绕O点按逆时点按逆时针方向旋转针方向旋转90，至，至DOC的位置，求过的位置，求过C、B、A三点的二次函数解析式。三点的二次函数解析式。CAOBDxy(1，0)（0，3）（-3，0）2、已知、已知:抛物线抛物线y=ax2+bx+c过点（过点（-5，0）、）、（0，）（）（1，6）三点，直线）三点，直线L的解析式为的解析式为y=2x-3，（，（1）求抛物线的解析式；（）求抛物线的解析式；（2）求证：）求证：抛物线与直线无交点；（抛物线与直线无交点；（3）若与直线）若与直线L平行的直平行的直线与抛物线只有一个交点线与

23、抛物线只有一个交点P，求，求P点的坐标。点的坐标。25试一试：试一试：点拔：点拔：（1）25321xxy（2）证抛物线和直线的解析式组成的方程组无解）证抛物线和直线的解析式组成的方程组无解（3）设与）设与L平行的直线的解析式为平行的直线的解析式为y=2x+n则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一则：此直线和抛物线的解析式组成的方程组只有一个解。即个解。即=02、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c有最大值，它与直有最大值，它与直线线 y=3x-1交于交于A（m，2）、）、B（n，5），且其中一），且其中一个交点为该抛物线的顶点，求（个交点为该抛物线的顶点，求（1）此二次函数

24、的解）此二次函数的解析式；（析式；（2）当）当x取何值时，取何值时，y随随x的增大而增大。的增大而增大。分析：分析：先求出先求出A、B两点的坐标：两点的坐标：A（1，2）、）、B（2，5）若若A（1，2）为顶点：）为顶点：设解析式为设解析式为y=a(x-1)2+25=a+2 a=35=a+2 a=3又又函数有最大值函数有最大值,a=3 a=3不合不合,舍去舍去.若若B（2，5）为顶点：）为顶点：设解析式为设解析式为y=a(x-2)2+52=a+5 a=-32=a+5 a=-3则解析式为则解析式为y=-3(x-2)2+5讲例：讲例：1、已知：二次函数、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶

25、点为的图象的顶点为P（-2，9），且与），且与x轴有两个交点轴有两个交点A、B（A左左B右），右），SABC=27，求：（，求：（1）二次函数的解析式；（）二次函数的解析式；（2）A、B两点的坐标；（两点的坐标；（3）画出草图；（）画出草图；（4）若抛物线与）若抛物线与y轴轴交于交于C点，求四边形点，求四边形ABCP的面积。的面积。试一试：试一试：(1)y=-x2-4x+5(2)A(-5,0),B(1,0)(4)S=30 2、把抛物线、把抛物线y=ax2+bx+c向下平移向下平移1个单位，个单位，再向左平移再向左平移5个单位时的顶点坐标为（个单位时的顶点坐标为（-2，0），），且且a+b+c=

26、0，求，求a、b、c的值。的值。试一试：试一试：点拔：点拔：设原抛物线的解析式为设原抛物线的解析式为y=a（x+m）2+n则平移后抛物线的解析式为则平移后抛物线的解析式为y=a（x+m+5）2+n-1根据题意得：根据题意得：012)5(nm13nmy=ay=a（x-3x-3）2 2+1=ax+1=ax2 2-6ax+9a+1-6ax+9a+1a-6a+9a+1=0a-6a+9a+1=0 3、已知：抛物线已知：抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示：的图象如图所示：（1）求此抛物线的解析式；）求此抛物线的解析式；（2）当）当x取何值时，取何值时，y0？（3）将抛物线作怎样的一次）将抛物线作怎样

27、的一次平移平移,才能使它与坐标轴仅有才能使它与坐标轴仅有两个交点两个交点,并写出此时抛物线并写出此时抛物线的解析式。的解析式。xyoABDC-15-2.5讲例：讲例：4、如图，抛物线、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线与直线y=kx+4相交相交于于A（1，m），），B（4，8）两点，与）两点，与x轴交于原点轴交于原点及及C点，（点，（1）求直线和抛物线的解析式；（）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点在抛物线上是否存在点D，使，使SOCD=SOCB，若存在，求出点若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。；若不存在，请说明理由。23讲例：讲例：xyoABC（1）y=x+4A（1

28、，5）084165ccbacbay=-xy=-x2 2+6x+6x4、如图，抛物线、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线与直线y=kx+4相交相交于于A（1，m），），B（4，8）两点，与）两点，与x轴交于原点轴交于原点及及C点，（点，（1）求直线和抛物线的解析式；（）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点在抛物线上是否存在点D，使，使SOCD=SOCB，若存在，求出点若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。；若不存在，请说明理由。23xyoABC（1）y=x+4y=-xy=-x2 2+6x+6x（4，8）（6，0）4、如图，抛物线、如图，抛物线y=ax2+bx+c与直线与直线y=kx+4相交相交于于A（1，m），），B（4，8）两点，与）两点，与x轴交于原点轴交于原点及及C点，（点，（1）求直线和抛物线的解析式；（）求直线和抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点在抛物线上是否存在点D，使，使SOCD=SOCB，若存在，求出点若存在，求出点D；若不存在，请说明理由。；若不存在，请说明理由。23xyoABCy=-xy=-x2 2+6x+6x（4，8）（6，0）（2）SOCB=24设点设点D坐标为（坐标为（x，y）2423|621yy=y=1212