成都市川大附中2022-2023高三上学期文科数学期中试卷+答案.pdf
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1、第 1页/共 5页川大附中川大附中 2022-2023 年度上期高年度上期高 2023 届半期考试数学文科届半期考试数学文科第卷(选择题,共第卷(选择题,共 60 分)一、选择题(本大题共分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合|(3)(1)0Axxx,2|1By yx,则AB等于()A.(1,)B.1,)C.(1,3D.(1,)2.在复平面内,复数 z 满足(1 i)2z,则复数 z 对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.
2、第三象限D.第四象限3.记等差数列 na的前 n 项和为nS,若1122S,则13911aaaa()A.2B.4C.8D.164.方程24lnxx的解所在的区间是()A.1,12B.31,2C.3,22D.52,25.已知某样本的容量为 100,平均数为 80,方差为 95,现发现在收集这些数据时,其中的两个数据记录有误,一个错将 90 记录为 70,另一个错将 80 记录为 100在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为x,方差为2s,则()A.80 x,295s B.80 x,295s C.80 x,295s D.80 x,295s 6.若tan2,则sin1 sin2sincos
3、()A.65B.25C.25D.657.函数22ln(1)()cosxxf xxx的图象大致为()A.B.第 2页/共 5页C.D.8.下列命题中,不正确的是()A.在ABC中,若AB,则sinsinABB.在锐角ABC中,不等式sincosAB恒成立C.在ABC中,若coscosaAbB,则ABC必是等腰直角三角形D.在ABC中,若60B,2bac,则ABC必是等边三角形9.在ABC中,点 D 在 BC 上,且满足14BDBC,点 E 为 AD 上任意一点,若实数 x,y 满足BExBAyBC ,则12xy的最小值为()A.2 2B.4 3C.42 3D.94 210.已知某几何体的三视图如
4、图所示,其中小方格是边长为 1 的正方形,则该几何体的外接球的表面积为()A.68B.52C.36D.4811.设点 P 是抛物线1C:24xy上的动点,点 M 是圆2C:22(5)(4)4xy上的动点,d是点 P 到直线=2y的距离,则|dPM的最小值是()A.5 22B.5 21C.5 2D.5 2112.函数 yf x,xR,12021f,对任意的xR,都有 230fxx成立,则不等式 32020f xx的解集为()A.,1 B.1,1C.1,D.,1第卷(非选择题,共第卷(非选择题,共 90 分)分)第 3页/共 5页二、填空题:本大题共二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小
5、题 5 分,共分,共 20 分分13.已知向量6,3a ,2,1bm,若2/aba,则实数m_.14.已知函数 f x是定义在 R 上的奇函数,当,0 x 时,22f xxx,若实数m 满足2log3fm,则 m 的取值范围是_15.已知数列 na的首项12a,其前n项和为nS,若121nnSS,则7a _16.已知函数()sin()f xx(0,R)在区间75,126上单调,且满足74123ff(1)若5()6fxf x,则函数()f x的最小正周期为_;(2)若函数()f x在区间213,36上恰有 5 个零点,则的取值范围为_三、解答题:共三、解答题:共 70 分解答应写出文字说明、证明
6、过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721题为必考题,每个试题考生都必须作答第题为必考题,每个试题考生都必须作答第 22,23 题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:题为选考题,考生根据要求作答(一)必考题:60 分分17.某校高二期中考试后,教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析,从男、女生中各随机抽取 100 名学生,分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图,如图所示.(1)若所得分数大于等于 80 分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?(2)在(1)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取 5 人,从这 5 人中任意任取 2 人,求至少有 1 名男生的概
7、率18.如图,在三棱柱111ABCABC-中,M是AC的中点,且1AM 平面ABC,ABAC,2ABAC,13AA.第 4页/共 5页(1)证明:1ABCC;(2)求三棱锥11CABA的体积.19.在nS,12nS,23nS成等差数列,且249S;2111253nnnnaaaa,且0na;20nnSat(t为常数)从这三个条件中任选一个补充在横线处,并给出解答.问题:已知数列 na的前n项和为nS,113a,_,其中Nn.(1)求 na的通项公式;(2)记113lognnba,求数列nnab的前n项和nT.20.已知椭圆 C:222210 xyabab经过点13,2,其右顶点为 A(2,0)(
8、1)求椭圆 C 的方程;(2)若点 P,Q 在椭圆 C 上,且满足直线 AP 与 AQ 的斜率之积为120证明直线 PQ 经过定点,并求APQ 面积的最大值21.已知函数 lnfxxkx(Rk),2xg xx e.(1)求函数 fx的极值点;(2)若 1g xf x恒成立,求k的取值范围.(二)选考题:共(二)选考题:共 10 分请考生在第分请考生在第 22,23 题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分题中任选一题作答如果多做,则按所做的第一题计分22.如图,在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,极轴所在的直线为x轴,建立极坐标系,曲线1C是经过极点且圆心在极轴上直径为 2 的圆
9、,曲线2C是著名的笛卡尔心形曲线,它的极坐标方程为1 sin0,2 .第 5页/共 5页(1)求曲线1C的极坐标方程,并求曲线1C和曲线2C交点(异于极点)的极径;(2)曲线3C的参数方程为cos3sin3xtyt(t为参数).若曲线3C和曲线2C相交于除极点以外的M,N两点,求线段MN的长度.23.设函数 45fxxx的最小值为m.(1)求m;(2)设123,x x xR,且123xxxm,求证:22231212311114xxxxxx.第 1页/共 22页川大附中川大附中 2022-2023 年度上期高年度上期高 2023 届半期考试数学文科届半期考试数学文科第卷(选择题,共第卷(选择题,
10、共 60 分)一、选择题(本大题共分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 60 分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)分在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合|(3)(1)0Axxx,2|1By yx,则AB等于()A.(1,)B.1,)C.(1,3D.(1,)【答案】B【解析】【分析】根据集合的运算的定义求解.【详解】由(3)(1)0 xx解得13x,所以13|Axx,又因为21 1yx,所以|1By y,所以 1,)AB .故选:B.2.在复平面内,复数 z 满足(1 i)2z,则复数 z 对应的点位于()A
11、.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】先求出复数 z,即可求出答案.【详解】2 1 i21 i1 i1 i1 iz,复数 z 对应的点为()1,1-则复数 z 对应的点位于第四象限故选:D.3.记等差数列 na的前 n 项和为nS,若1122S,则13911aaaa()A.2B.4C.8D.16【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的前n项和公式及等差数列性质:若mnpq,则mnpqaaaa即可得到结果.第 2页/共 22页【详解】解:由题知1122S,即1111161111222aaSa,62a,13961184aaaaa.故选:C4.方程24lnxx的解所
12、在的区间是()A.1,12B.31,2C.3,22D.52,2【答案】C【解析】【分析】先将方程转化为函数零点问题,再根据函数的单调性以及零点存在性定理求解.【详解】由24lnxx,得ln240 xx,设 ln24f xxx,则方程24lnxx的解等同于函数 f x的零点;120fxx,所以函数 f x是单调递增的,又33e,ln122,333ln240222f,2ln22 24 0f ,函数 f x的零点在3,22内;故选:C.5.已知某样本的容量为 100,平均数为 80,方差为 95,现发现在收集这些数据时,其中的两个数据记录有误,一个错将 90 记录为 70,另一个错将 80 记录为
13、100在对错误的数据进行更正后,重新求得样本的平均数为x,方差为2s,则()A.80 x,295s B.80 x,295s C.80 x,295s D.80 x,295s【答案】A【解析】【分析】根据平均数和方差公式即可求解.【详解】根据题意知,重新求得样本的平均数为100 8070 100908080,100设收集的 98 个准确数据为1298,x xx,第 3页/共 22页则222221298195(80)(80)(80)(7080)(10080)100 xxx22212981(80)(80)(80)500100 xxx,22222212981(80)(80)(80)(9080)(8080
14、)100sxxx222212981(80)(80)(80)10095100sxxx,故选:A.6.若tan2,则sin1 sin2sincos()A.65B.25C.25D.65【答案】C【解析】【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简,然后增添分母(221sincos),进行齐次化处理,化为正切的表达式,代入tan2 即可得到结果【详解】将式子进行齐次化处理得:22sinsincos2sin cossin1 sin2sinsincossincossincos2222sinsincostantan4 22sincos1 tan1 45故选:C【点睛】易错点睛:本题如果利用tan2,求出
15、sin,cos的值,可能还需要分象限讨论其正负,通过齐次化处理,可以避开了这一讨论7.函数22ln(1)()cosxxf xxx的图象大致为()A.B.第 4页/共 22页C.D.【答案】A【解析】【分析】分析函数 f(x)定义域,排除两个选项,再取特殊值得解.【详解】令 g(x)=2cosxx,x0 时,x2是递增的,cosx 在(0,)上递减,则有 g(x)在(0,)上单调递增,而(0)1,(1)1 cos10gg ,所以存在0(0,1)x 使得0()0g x,()f x中0,xR xx,排除 C、D,2x时()0f x,排除 B,所以选 A.故选:A【点睛】给定解析式,识别图象,可以从分
16、析函数定义域、函数奇偶性、在特定区间上单调性及特殊值等方面入手.8.下列命题中,不正确的是()A.在ABC中,若AB,则sinsinABB.在锐角ABC中,不等式sincosAB恒成立C.在ABC中,若coscosaAbB,则ABC必是等腰直角三角形D.在ABC中,若60B,2bac,则ABC必是等边三角形【答案】C【解析】【分 析】由 正 弦 定 理 和 大 边 对 大 角 判 断 选 项 A,由ABC为 锐 角 三 角 函 数 得022AB,进而sinsincos2ABB即可判断选项 B,再利用正弦定理边化角即可求出22AB或22AB即可判断选项 C,利用余弦定理判断选项 D.【详解】在A
17、BC中,由正弦定理可得sinsinabAB,sinsinABabAB,故选项 A 正确;在锐角ABC中,,0,2A B,且2AB,则022AB,第 5页/共 22页sinsincos2ABB,故选项 B 正确;在ABC中,由coscosaAbB,利用正弦定理可得sin2sin2AB,得22AB或22AB,故AB或2AB,即ABC是等腰三角形或直角三角形,故选项 C 错误;在ABC中,若60B,2bac,由余弦定理可得2222cosbacacB22acacac,即20ac,解得ac,60B ABC必是等边三角形,故选项 D 正确.故选:C.9.在ABC中,点 D 在 BC 上,且满足14BDBC
18、,点 E 为 AD 上任意一点,若实数 x,y 满足BExBAyBC ,则12xy的最小值为()A.2 2B.4 3C.42 3D.94 2【答案】D【解析】【分析】先根据共线向量定理的推论,三点共线的结论可得,41xy,再根据“1”的代换即可求出【详解】因为14BDBC,所以BExBAyBC ,即4BExBAyBD 由,A E D三点共线可得41xy,且0,0 xy所以1212244992 894 2xyxyxyxyyx,当且仅当2xy,即2 2174214xy时取等号故选:D10.已知某几何体的三视图如图所示,其中小方格是边长为 1 的正方形,则该几何体的外接球的表面积为()第 6页/共
19、22页A.68B.52C.36D.48【答案】A【解析】【分析】由三视图可得该几何体为三棱锥PABC,其外接球为长方体的外接球,求出长方体的体对角线可得外接球的直径,从而可求出外接球的表面积【详解】如图,该几何体为三棱锥PABC,其外接球为长方体的外接球,长方体的长为6,宽为 4,高为 4,所以2436 16 1668R,故外接球的表面积为2468R.故选:A11.设点 P 是抛物线1C:24xy上的动点,点 M 是圆2C:22(5)(4)4xy上的动点,d是点 P 到直线=2y的距离,则|dPM的最小值是()A.5 22B.5 21C.5 2D.5 21【答案】B【解析】【分析】根据题意画出
20、图像,将d转化为抛物线上点到准线的距离再加 1,也即是抛物线上点到焦点的距离加 1,若求|dPM的最小值,转化为抛物线上点到焦点距离和到圆上点的距离再加 1 即可,根据三角形两边之和大于第三边,即当112,F P M C共线时,|dPM取最小值为21FCr,算出结果即可.【详解】解:由题知圆2C:22(5)(4)4xy,25,4,2Cr0,1F为抛物线焦点,1y 为抛物线准线,则过点P向1y 作垂线垂足为D,如图所示:第 7页/共 22页则1dPD,根据抛物线定义可知PDPF,1dPF,|dPM=1PFPM,若求|dPM的最小值,只需求PFPM的最小值即可,连接2FC与抛物线交于点1P,与圆交
21、于点1M,如图所示,此时PFPM最小,为2FCr,2min1dPMFCr,第 8页/共 22页220,1,5,4,5 2FCFC,2min15 21dPMFCr.故选:B12.函数 yf x,xR,12021f,对任意的xR,都有 230fxx成立,则不等式 32020f xx的解集为()A.,1 B.1,1C.1,D.,1【答案】D【解析】【分析】结合已知条件分析,需要构造函数 3h xf xx,通过条件可得到2()()30h xfxx,h x在 R 上为增函数,利用单调性比较,即可得出答案【详解】设 3h xf xx,则 230h xfxx,h x在R上为增函数,3(1)(1)12020h
22、f,而33()2020()(1)f xxf xxh,即 1h xh,1x.故选:D.【点睛】本题考查函数单调性的应用之解抽象不等式,构造函数是解决本题的关键,运用导函数提出所构造函数的单调性,属于较难题.第卷(非选择题,共第卷(非选择题,共 90 分)二、填空题:本大题共分)二、填空题:本大题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分13.已知向量6,3a ,2,1bm,若2/aba,则实数m_.【答案】0【解析】【分析】先求出2ab的坐标,再利用向量共线的坐标形式可求m的值.【详解】22,1 2abm ,因为2aba,故2361 2m ,解得0m,故答案为:0.14.已知
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