电动力学总结课件.ppt

1、经典电动力学总结经典电动力学总结本讲回顾总结电磁场产生、传播和衍射的基本概念本讲回顾总结电磁场产生、传播和衍射的基本概念 第一章第一章基础：麦克斯韦方程组和边界条件基础：麦克斯韦方程组和边界条件0BDJtDHtBE)(BvEQFtJEJ 电荷守恒定律电荷守恒定律 罗伦兹力公式罗伦兹力公式 欧姆定律欧姆定律MHBPED000 线性介质线性介质 其中其中VpPiVmMiP21nPP MJM P,iiiie xevPPJVtV极化电荷极化电荷磁化电流磁化电流极化电流极化电流n21feHH边值条件边值条件n210eEEn21feDDn210eBB电磁场能量守恒形式为电磁场能量守恒形式为vftwStDE

2、tBHtwHES ,BHDEwBES21 ,1线性介质中线性介质中利用电磁场唯一性定理，通过求解拉普拉斯方程（或利用电磁场唯一性定理，通过求解拉普拉斯方程（或者镜像法，格林函数）主要研究电偶极矩、电四极矩者镜像法，格林函数）主要研究电偶极矩、电四极矩和磁偶极矩产生的稳态场。和磁偶极矩产生的稳态场。1 1 静电场的标势静电场的标势,0E DE在均匀各向同性线性介质中在均匀各向同性线性介质中,D=E,2边值边值关系关系21fnn1122第二、三章：静电场和稳恒磁场第二、三章：静电场和稳恒磁场0()d()4VxVxr2 2 偶极和四极矩电势为偶极和四极矩电势为0001()d,41()d,413()d

3、.4VVijijVQxVpx x VDxx xV 2,011111()()d42!ijVi jijxxxxx VRRx x R(0)01()4QxR(1)30011()44p RxpRR 2(2),0111()46iji jijxDx x R 3 稳恒磁场的矢势稳恒磁场的矢势AB)0(,2AJA()d()4J xVA xr3()()()d4J xrB xA xVr 12AA矢势边界关系矢势边界关系0,1111()()d42!iji jA xJ xxxx VRRR 1(1)00333()44RRRBAxmmmRRR 无自由电流分布空间时，稳恒磁场的标势无自由电流分布空间时，稳恒磁场的标势fp0p

4、02fp00,/EEPDEPE m0m000m2mm00,/HHMBHMH 电象法电象法 的结论的结论,qq xak 22222214()()qqxyzaxyza(2)(2)接地导体球外点电荷接地导体球外点电荷aRb200RQQa 001()4R QQPrar(1)接地无限大导体板附近的点电荷接地无限大导体板附近的点电荷q (3)(3)接地导体球内点电荷接地导体球内点电荷aRb211RQQa 101()4RQQPrar(1)(1)直角坐标系直角坐标系4 4 拉普拉斯方程的解拉普拉斯方程的解 分离变量法分离变量法 zZyYxXzyx,222222222222dzd1dyd1dxd1ZZYYXX(

5、2)(2)球坐标系球坐标系 QPrrUmPRdRcmPRbRaRmnmnnnmnnmmnmnnnmnnmsincoscoscos),(,11cos),(nnnnnnPRbRaR1(3)(3)柱坐标系柱坐标系 zZQRz,i()e()ekzZ zQ01dd1dd2222RxxRxxR 阶贝塞耳函数阶贝塞耳函数(4)(4)极坐标系极坐标系)sincos()(ln(),(vDvCRBRADCRBARvvvvvvv00000()(,)()d()(,)(,)()dVSxG x xxVxG x xG x xxSnn 格林函数格林函数201()()G xxx 5 5 格林函数和格林公式给出泊松方程的解格林函

6、数和格林公式给出泊松方程的解 例1 如图导体球壳球壳内离球心O为d1处有点电荷q1，球壳外离球心为d2处有点电荷q2求空间的电势分布解：首先要注意到球壳内外空间是两个独立的区域可分别求解壳内电势满足：0111210s|)(所在处外除q 壳外电势满足：001012222 ,q ss|)(所在处外除先求球外情况，分析条件,利用叠加原理分解成一些我们会求的问题+显然都可解.对球内情况,我们知道屏蔽结果使得内部电势等于原来接地时的结果加上一个常数(球壳电势)例2 有一正限长均匀接地导体圆柱,半径为R0,置于均匀电场E0中,E0的方向和圆柱体轴线垂直,求圆柱体外的电势分布和柱面上的面电荷密度.解 圆柱体

7、无限长,电势显然与柱长无关,只需取垂直于圆柱轴的截面来研究,可简化为二维问题.取柱轴上某点为原点,E0方向为极轴的极坐标系,由于不存在体电荷密度,电势满足二维拉普拉斯方程.)sincos(/)ln(),(vDvCRBRARBARvvvvvvv00用叠加原理=1+2,1=0-E0Rcos,E0是匀强场的势.2是圆柱面电荷产生的势.面电荷可能分为均匀和不均匀两部分,在无穷远,前者势的形式为1nR,后者至多为一常数,由于00001,cos,ln,RRRERRRR在在所以用上述边界条件求待定系数用上述边界条件求待定系数,考虑到对称性考虑到对称性,应该有应该有Dv000,RR由vvvvvvvRBARBR

8、ARBARBA200000000000,ln,ln所以电势所以电势12000vvvvvRRRvARRBcosln,cos,RER00由,ln,00001101RBEAvAvv得到得到RRERERRRcoscoslnln20000000第一项是一无限长均匀带电圆柱的电势,它对应柱面上的均匀面电荷,0(即原点)时此项为零.第二项对应匀强场.第三项相应于柱面上非均匀面电荷.面电荷面电荷cosln|00000020ERRRRR第一项是均匀面电荷,它在柱体内激发的电场为零.第二项是非均匀分布,它贡献的总电量是零,它在柱体内激发的电场正好与均匀电场抵消.例例3 试用格林函数证明试用格林函数证明:在无电荷空

9、间任在无电荷空间任点的电势恒等于以该点的电势恒等于以该点为球心的任一球面的电势的平均值点为球心的任一球面的电势的平均值.证 设点p是无电荷空间中的任一点.以p为球心,以R0为半径作一球面S0,R0的大小是任意的.但球面内不能包含电荷.本题要证明的是：球心p点的电势等于球面电势的平均值,即0201()()d4SxxSR以此球面为边界面,因为球内无电荷、由格林公式知球心点的电势00()(,)()(,)()dSxG x xxG x xxSRR 将球面上的电势当作边界条件,应取球内第一类边值的格林函数.于是上述积分中的000111(,)|0(,)4SG x xG x xRR 0201()()d4Sxx

10、SR0200(,)11|4R RG x xRR 电磁波在介质和金属中的传播及其在界面的反射和电磁波在介质和金属中的传播及其在界面的反射和折射，折射，产生电磁波的谐振腔和定向传播波导产生电磁波的谐振腔和定向传播波导.,222222tBtBBtEtEE1 电磁场波动方程电磁场波动方程ii(,)()e(,)()ettE x tE xB x tB x时谐电磁波时谐电磁波22ik.0,02222BkBEkE亥姆霍兹方程亥姆霍兹方程第四章：电磁波传播第四章：电磁波传播2 介质界面的反射和折射介质界面的反射和折射sinsinsin sinsin21nn1212112tancoscoscoscostan2co

11、s2cos sincoscossincosppnnrnnntnn1212112sincoscoscoscossin2cossin2coscossinssnnrnnntnn 3 布儒斯特角布儒斯特角:1212tanBrewsternn4 全内反射全内反射12121 sinnnnnc如果如果c222212cos1 sini sin1isin1n n21221222121sin21sinnnnnnc22i212221coscosi2iecoscosispnncdcdcdrnncdcd相移问题相移问题5 平面电磁波在金属中传播及其在界面的反射和折射平面电磁波在金属中传播及其在界面的反射和折射i22i0

12、,Ek EBE ki0(,)eertrE r tE 2122221良导体良导体i4eRHeE磁场相位比电磁场相位比电场滞后场滞后45度度平面电磁波在金属界面的反射和折射和全内反射时相平面电磁波在金属界面的反射和折射和全内反射时相似，有相位移动。似，有相位移动。谐振腔谐振腔2222zyxkkkzkykxkAEzkykxkAEzkykxkAEzyxzzyxyzyxxcossinsinsincossinsinsincos321321,LpkLnkLmkzyx0321AkAkAkzyx232221LpLnLmmnp mnp称为谐振腔的本征频率称为谐振腔的本征频率波波 导导zikyxzzikyxyzik

13、yxxzzzyekxkAEyekxkAEyekxkAEsinsincossinsincos321,bnkamkyx0321AikAkAkzyx(m,n)型的截止角频率为型的截止角频率为22,bnammnc2222kkkkzyx例4 一个波导管横截面是一等腰直角三角形.直角边长为a,管中为真空,试求允许传播的波型,截止频率和电磁场.解:取坐标系如图波导管中E应满足的方程为000022EkEkE ,边界条件:y=0面,00yEEEyzx,边界条件:x=a面,00 xEEExzy,边界条件:x=y面,00nEEEEnzyx,边长为a的方形波导的电场强度满足上述方程组及前两个边界条件,它的表达式是i1

14、i2i3cossinesincosesinsinezzzk zxxyk zyxyk zzxyEAk xk yEAk xk yEAk xk y123i0 xyzk Ak Ak A其中,bnkamkyx 为求三角形波导的E,只需从上述解中选出满足最后一个边界条件的即可30AxykkAA21xkxkxkxkxkxkAAEEyxxyyxyxtantancossincossin21由于是yxkkAA,21iicossinesincose0zzk zxxxk zyxxzEAk xk yEAk xk yE 321,mamkkyx 2222222amc k-kkxz/截止频率为amc/2的TEmm波由于Ex,

15、Ey不独立,Ez又必须为零,所以TM波不存在.这亦可从H的表达式看出.11iiyyxxEEEEHEijkzzxy电磁场的矢势和标势理论电磁场的矢势和标势理论ABtAE0 A(1)库仑规范库仑规范012tcA(2)(2)洛伦兹规范洛伦兹规范011120222202222tcAtcJtAcA(3)(3)达朗贝尔方程达朗贝尔方程电偶极矩远场辐射电偶极矩远场辐射VrcrtxJtxAd,4,0 i0ed4kRA xJ xVR i0e4kRA xpRi0i30i20ie41e4ie4kRRkRRkRRRRkBAepRp ec RcEBcB ep eekc R 电磁波的衍射电磁波的衍射0222232001R

16、eRe22sin232RRRcSEHBeBpcB eec R1 1 基尔霍夫基尔霍夫(Kirchhoff)(Kirchhoff)公式公式 i1e1id4krsrxnkSrrr 22301d43pPS Rc2 小孔衍射小孔衍射 120120ii012ii012ieed4ieecoscosd4kRkkxRSkRkkxSxkkeSRSR 电磁场的动量电磁场的动量BJEfJJtgf电荷罗伦兹力电荷罗伦兹力2020001211BEI IBBEEJJScHEBEg200012cos2iwP 电磁场的辐射压强为电磁场的辐射压强为若电磁波从各方向入射若电磁波从各方向入射,对对 平均后得平均后得3wP 例例5

17、设有一设有一 电矩振幅为电矩振幅为p0,频率为频率为 的电偶极子位于距理想导体平面的电偶极子位于距理想导体平面为为a处处,p0平行于导体平面平行于导体平面.设设a 处电磁场及辐射能流处电磁场及辐射能流.解 辐射场中电偶极子p以及它在理想导体表面上感应出的电荷电流,产生，先求出,的等效电荷,电流,再由它们和p求辐射场 先求等效电荷,用镜象法.为满足方程,电象必须在导体表面下,p和p的位置对导体表面对称,但方向相反.由于p离导体表面很近,所以,处在p产生的近场内,近场是似稳场.推迟效应可以忽略,由同时刻的电荷、电流激发,激发规律与静电场及稳恒电流磁场相同.又知:两个电流元在近场激发的磁场服从毕奥萨

18、伐尔定律.于是理想导体的另一边界条件Bn0也已满足,等效电流为-Ill Ipl Ip,i30i301e41e4kRRkRRRBp ec REp eec R利用:1212ii123012111ee4kRkRRRBBBp ep ecRR考虑远场,得12ii3014kRkRRBp eeec R)cos(),cos(2221aaRkkRRkkRii1222coscosiiiii2eeeee2isin(cos)eicos ekakakRkRkRkRkRkaka 考虑三维空间,epepR sin232i030isincose4kRtapBec RcossincosRxR例例6 如图如图,在在 z 轴的正、

19、负轴上对称放置两个相同的振荡电偶轴的正、负轴上对称放置两个相同的振荡电偶极于极于P1P2P0e-i t.求下述两种情况下的辐射功率求下述两种情况下的辐射功率,(1)h ,(2)h 的条件不满足的条件不满足.解解 (1)h 时时,P1、P2构成一个小区域体系构成一个小区域体系.体系体系的的P P0e-i t,MD0.所以它可视作位于原点所以它可视作位于原点的电偶极子的电偶极子,产生电偶极辐射产生电偶极辐射,辐射场是单独的辐射场是单独的p1的两倍的两倍.EEl十十E2=2El,B=2B1,11142221SHESRe2420301d3pPS Rc(2)h 的条件不满足时，体系巳不是小区域，体系的辐

20、射场的条件不满足时，体系巳不是小区域，体系的辐射场EEl+E2,B=B1+B2ReRe122102121212121BEBESSHHEES1212ii112233010211e,e44kRkRRRBpeBpec Rc R222111nBcEnBcE,由于由于 h R,分母中的分母中的R1和和R2可以认为等于可以认为等于R,n1和和n2也约等于也约等于n.所以所以21SS 式中的第三项是两个偶极于场的干涉项式中的第三项是两个偶极于场的干涉项,它们的指数因子它们的指数因子cos,coshRkRhRkR2221由于由于h 不满足不满足,所以上两式中的所以上两式中的R1、R2都不能用都不能用R代替代替

21、 122142212i*2icos012223300sinee44RRk RRkhnc pepencpEBc Rc R1221BEBE*ReRe242301300112d2cos(2cos)sin831sin(2)2cos(2)22pPS RPkhdckhPPkhkhkh 例例 有线偏振平面波有线偏振平面波Ee=E0e-i(kx-t)(E0=Ek)照射到一个均匀介质照射到一个均匀介质球球(,=0)上上,引起介质球极化引起介质球极化.设平面波的波长远大于球半径设平面波的波长远大于球半径R0,求介质球产生的辐射场和能流求介质球产生的辐射场和能流.解解 应该求出介质球范围内的实际电场应该求出介质球范

22、围内的实际电场,然后由然后由P(-0)E求出系统的电偶极矩求出系统的电偶极矩P，再由，再由P求出辐射场求出辐射场,由场求能流由场求能流.球内的电场球内的电场EEe+E,E 由球极化质产生由球极化质产生.先求出先求出E满足的满足的方程、边值关系和边界条件方程、边值关系和边界条件.由题设由题设R0 .以球心为坐标原点以球心为坐标原点,在球及其附近满足在球及其附近满足kR kR0 0,所以所以Ee=E0e-i t,介质球位于外电场中介质球位于外电场中,但外场随时间变化但外场随时间变化.由于由于R0 ,说明电磁波在球内传播说明电磁波在球内传播(或推迟或推迟)的时间可以忽略的时间可以忽略.认为在球及其附

23、近是一似稳场认为在球及其附近是一似稳场,所以所以 电场的方程是电场的方程是00EE,球面上的边值关系是球面上的边值关系是1t2t01n2n,EEEE 边界条件为边界条件为R,E Eoe-i t为匀强外电场为匀强外电场.(R 的意思的意思是是R为为R0的数倍的数倍,但仍满足但仍满足kR0,还是近场还是近场)由上所述由上所述,除外电场除外电场Ee随时间变化外随时间变化外,问题与位于无限大匀强问题与位于无限大匀强静电场中的介质球无区别静电场中的介质球无区别,其解已在静电场中求出其解已在静电场中求出.球内的电场球内的电场i0003 e2tE kE是是匀强场匀强场介质球被均匀极化，球的总电偶极矩介质球被均匀极化，球的总电偶极矩3i000033i000004e44e332ttRE kpR PREpk20pp2ii033002i020sin1ee44sine4kRtkRRkRtRpBp eec Rc RpEcB eec R422*023200sin1Re232RpSEBec R事实上事实上,在小球内在小球内A的方程是的方程是220fmp22()AAJJJct 由题目知由题目知,自由和磁化电流为零自由和磁化电流为零,所以所以p0p,/d(,),i4Jx tr cVA x tJPr 由由p,/di,pJx tr cVp 1,d0,2pmxJx tV由对称性由对称性,p3d0,0pDxx VP 由于