北师大版 九年级上册第四章《45相似三角形判定定理证明》课件.ppt

1、北师大版数学九年级上册北师大版数学九年级上册第四章第四章 图形的图形的相似相似4.5 4.5 相似三角形定理证明相似三角形定理证明1 1了解相似三角形判定定理的证明过程，知道构造全等三角形是一种有效的证明方法2 2进一步掌握相似三角形的三个判定定理学习目标学习目标我们已经学习过相似三角形的判定定理有哪些？你能证明它们一定成立吗？答：相似三角形的判定定理有：(1)两角分别相等的两个三角形相似；(2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；(3)三边成比例的两个三角形相似回顾旧知回顾旧知知识模块一相似三角形判定定理的证明(一)自主探究如图，已知ABC和A1B1C1，AA1，求证：ABCA1B1C1.

2、证明的主要思路是，在边AD上截取AD_，作DE_，交AC于E，在ABC中构造ADEABC，再通过比例式得AE_，证A1B1C1_ADE，从而得到A1B1C1ABC.A1B1BCA1C1探究新知探究新知定理1：两角分别相等的两个三角形相似.已知：如图，在 ABC 和ABC 中，A=A，B =B.求证：ABC ABCABCABC(二)合作探究证明：在ABC的边AB、AC上，分别截取AD=AB,AE=AC，连结DE。ABCA C B D E AD=AB,A=A，AE=AC ADEABC，ADE=B，又 B=B，ADE=B，DE/BC，ADEABC。ABC ABC如图，在ABC与ABC中，已知A=A，

3、ABAC.A BAC证明：在 ABC 的边 AB 上截取点D，使 AD=AB过点 D 作 DEBC，交 AC 于点 E.DEBC，ADEABC.求证：ABCABC.BACDEBACA DA E.A BAC定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.AE=AC.又 A=A.ADE ABC，ABC ABC.BACDEBAC AD=AB，ABACA BAC，=A DA EACA BACAC，定理3：三边成比例的两个三角形相似.已知：如图，在 ABC 和ABC 中，求证：ABC ABC.CAACCBBCBAABABCACEDB ADDEAE.ABBCACCBA证明:在线段 AB(或延长线)上截取 A

4、D=AB，过点 D 作 DEBC 交AC于点 E.DEBC，ADE ABC.DE=BC，EA=CA.ADEABC，ABC ABC.BCADEA BBCACABBCAC又 ，AD=AB，.DEBCBCBCAEACACAC知识模块二相似三角形判定定理的应用1 1在ABC与ABC中，有下列条件：(一)自主探究AA；CC.如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断ABCABC的共有()A1组B2组C3组D4组C2 2如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BFAE于F，试证明：ABFEAD.证明：矩形ABCD中，ABCD，D90，BAFAED.BFAE，AFB90.AFBD，ABFEAD.例已知，如图

5、，D为ABC内一点，连接BD、AD，分析：由已知条件ABDCBE，DBC公用，所以DBEABC，要证的DBE和ABC，有一对角相等，要证两个三角形相似，可再找一对角相等，或 以BC为边在ABC外作CBEABD，BCEBAD，连接DE.求证：DBEABC.者找夹这个角的两边对应成比例从已知条件中可看到CBEABD，这样既有相等的角，又有成比例的线段，问题就可以得到解决证明：在CBE和ABD中，CBEABD，BCEBAD，CBEABD，在DBE和ABC中，CBEABD，CBEDBCABDDBC，DBEABC.DBEABC且练习 1.如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别是三边上的点，AE=BF

6、=CD，那么ABC与DEF相似吗？请证明你的结论.答：相似证明：ABC为等边三角形ABC60.又AEBFCD，ADFCEB，则AEDCDFBFE.EDDFEF.EDF为等边三角形DEFABC.2.已知：如图，在ABC中，D是AC上的一点，CBD的平分线角AC于E点，且AE=AB.求证AE2ADAC.证明：BE为DBC平分线，DBEEBC.又AEAB，ABEAEB，ABEABDDBEABDEBC，AEBEBCC，ABDC，AA，ABAE，即AE2ADAC.ABDACB.1 1在在RtRtACBACB中，中，C=90C=90，AC=BCAC=BC，一直角三角，一直角三角板的直角顶角板的直角顶角O

7、O在在ABAB边的中点上，这块三角板绕边的中点上，这块三角板绕O O点点旋转，两条直角边始终与旋转，两条直角边始终与ACAC、BCBC边分别相交于边分别相交于E E、F F，连接连接EFEF，则在运动过程中，则在运动过程中，OEFOEF与与ABCABC的关系是的关系是（）（）课堂练习课堂练习A A一定相似一定相似B B当当E E是是ACAC中点时相似中点时相似C C不一定相似不一定相似D D无法判断无法判断A A412 2如图，在正方形如图，在正方形ABCDABCD中，中，E E是是CDCD的中的中点，点点，点F F在在BCBC上，且上，且FC=FC=BCBC图中相似图中相似三角形共有（）三角

8、形共有（）A A1 1对对 B B2 2对对C C3 3对对 D D4 4对对C C3 3如图，如图，ABCABC中，中，ABABACAC，D D，E E两点分别在两点分别在边边ACAC，ABAB上，且上，且DEDE与与BCBC不平行请填上一个你不平行请填上一个你认为合适的条件：认为合适的条件：，使，使ADEADEABCABC（不再添加其他的字母和线段；（不再添加其他的字母和线段；只填一个条件！）只填一个条件！）C=2C=2 4 4如图，如图，ABDABD与与AECAEC都是等边三角形，都是等边三角形，ABACABAC，下列结论中：，下列结论中：BE=DCBE=DC；BOD=60BOD=60；

9、BODBODCOECOE正确的正确的序号是序号是5 5如图，在如图，在ABCABC中，中，ABABACAC，BDBDCDCD，CECEABAB于于E.E.求证：求证：ABDABDCBE.CBE.证明：在ABC中，ABAC，BDCD，ADBC，CEAB，ADBCEB90.又BB，ABDCBE.6 6如图，如图，D D是是ABCABC的边的边BCBC上的一点，上的一点，ABAB2 2，BDBD1 1，DCDC3 3，求证：，求证：ABDABDCBA.CBA.证明：AB2，BD1，DC3，AB24，BDBC1(13)4.AB2BDBC.而ABDCBA.ABDCBA.7.7.如图，在如图，在ABCAB

10、C中，中，AB=8cm,BC=16cm,AB=8cm,BC=16cm,动点动点P P从点从点A A开始沿开始沿ABAB边行动，速度为边行动，速度为2cm/s2cm/s；动点；动点Q Q从点从点B B开始沿开始沿BCBC边运动，速度边运动，速度4cm/s4cm/s，如果，如果P,QP,Q两动点同时运动，那么何时两动点同时运动，那么何时PBQPBQ与与ABCABC相似？相似？解：设t秒后PBQ与ABC相似，PBQABC，解得t2s.当PBQCBA，解得t0.8s.答：0.8s或2s时，QBP与ABC相似相似三角形判定定理的证明定理1：两角分别相等的两个三角形相似.定理的运用定理证明定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.定理3：三边成比例的两个三角形相似.总结新知总结新知再再 见见