人教A版高中数学必修五课件：111 2《正弦定理》课件.pptx

1、灿若寒星整理制作灿若寒星整理制作1.上网活动：上网活动：“美丽的山河美丽的山河”图片搜索，感受图片搜索，感受到自然界的美。到自然界的美。2.教师导语：自然界神奇美丽，要揭开其神秘教师导语：自然界神奇美丽，要揭开其神秘的面纱，需要借助于很多数学知识。的面纱，需要借助于很多数学知识。导入：导入：A AB BC C设点设点B B在珠江岸边，点在珠江岸边，点A A在对岸那边，为了测量在对岸那边，为了测量A A、B B两点两点间的距离，你有何好办法呢？（给定你米尺和量器）间的距离，你有何好办法呢？（给定你米尺和量器）A AB BC C设问设问 若将点若将点C C移到如下图所示的位置，你还能求出移到如下图

2、所示的位置，你还能求出A A、B B两点间的距离吗？两点间的距离吗？正弦定理是什么？有哪些证明方法？正弦定理是什么？有哪些证明方法？集体探究学习活动一：集体探究学习活动一：RTX讨论一：讨论一：直角三角形中边角关系有直角三角形中边角关系有哪些？你能总结出一个式子哪些？你能总结出一个式子吗？这个式子对所有三角形吗？这个式子对所有三角形都适用吗？都适用吗？在RtABC中,各角与其对边的关系:caA sincbB sin1sinC不难得到:CcBbAasinsinsinCBAabccc数学建构数学建构在非直角三角形ABC中有这样的关系吗?AcbaCB正弦定理在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相

3、等.CcBbAasinsinsin即RTX讨论二：讨论二：正弦定理有哪些推导方法？正弦定理有哪些推导方法？(1)若直角三角形,已证得结论成立.bADcADCBsin,sin所以AD=csinB=bsinC,即,sinsinCcBb同理可得,sinsinCcAaCcBbAasinsinsin即：DAcbCB图1过点A作ADBC于D,此时有证法1(2)若三角形是锐角三角形,如图1,由(1)(2)(3)知，结论成立CCbADsinsin）（且CcBbAasinsinsin仿(2)可得D(3)若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2,此时也有cADB sin交BC延长线于D,过点A作ADBC，CAcb

4、B图2AcbCBDa利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.RTX讨论三：讨论三：以上证明方法体现了一种以上证明方法体现了一种什么样的数学思维规律？什么样的数学思维规律？答答 体现了由特殊到一般的数体现了由特殊到一般的数学思维规律。学思维规律。1.利用正弦定理可以解决哪两类解利用正弦定理可以解决哪两类解斜三角形的问题？斜三角形的问题？2.在在“已知两边及其中一边对角已知两边及其中一边对角”解三角形问题中解的情况有几种？解三角形问题中解的情况有几种？集体探究学习活动二：集体探究学习活动二：RTX讨论四：讨论四：什么叫解三角形？利用正什么叫解三角形？利用正弦定理可以解决哪两类三角

5、弦定理可以解决哪两类三角形的问题？形的问题？提醒提醒：三角形是由：三角形是由3条边和条边和3个角组成的，那么我们在运用个角组成的，那么我们在运用“正弦定理正弦定理”解三角形时，只需知道其中几个量，就可解三角形时，只需知道其中几个量，就可求出余下的几个量？有没有前提条件？求出余下的几个量？有没有前提条件？结论结论正弦定理的运用条件正弦定理的运用条件：1.已知三角形的两角及任一边；已知三角形的两角及任一边；2.已知三角形的两边已知三角形的两边及其一边所对的角及其一边所对的角。已知三角形的的某些边和角，求其他边和角的过程叫做已知三角形的的某些边和角，求其他边和角的过程叫做解三角形解三角形。数学建构数

6、学建构正弦定理有哪些方面的应用？正弦定理有哪些方面的应用？集体探究学习活动三：集体探究学习活动三：例例1.,sinCsinCc csinBsinBb bsinAsinAa aQ0 00 00 05050B B,100100C C,3030A A:解解Q15.3215.32sin30sin3010sin5010sin50sinAsinAasinBasinBb b0 00 0c(精确到0.01)c(精确到0.01)求b,求b,10,10,a a,100100C C,3030A A在在 ABC中,ABC中,19.7019.70sin30sin3010sin10010sin100sinAsinAasi

7、nCasinCc c0 00 02和19.702和19.70c的长分别为15.3c的长分别为15.3因此b,因此b,ABCbc1010030数学应用：数学应用：例例 2 已知已知a=16，b=，A=30解三角形。解三角形。解：由正弦定理解：由正弦定理sinBsinBb bsinAsinAa a得得2 23 31616sin30sin303 31616a absinAbsinAsinBsinB所以所以6060,或或120120当当 时6060C=9032.32.c c C=30.1616sinAsinAasinCasinCc c3 31616当当120120时时B16300ABC16316变式变

8、式:a=30,b=26,A=30求角求角B，C和边和边c300ABC2630解：由正弦定理解：由正弦定理sinBsinBb bsinAsinAa a得得30301313303026sin3026sin30a absinAbsinAsinBsinB所以所以25.725.70 0,C=180C=1800 0-A-B=124.3-A-B=124.30 0,49.5749.57sinAsinAasinCasinCc ca b A B,三角形中大边对大角RTX讨论五：讨论五：为什么在为什么在“已知两边及已知两边及其中一边对角其中一边对角”解三角形问解三角形问题中有一解、两解和无解三题中有一解、两解和无解

9、三种情况？种情况？ACababsinA 无解无解ACaba=bsinA一解一解ACabbsinA a b两解两解BB1B2BACbaab一解一解a若A为锐角时，各种情况如下已知a，b和A，用正弦定理求B时解的情况数学建构数学建构课堂练习课堂练习课本第课本第9页练习第页练习第2、3题题RTX讨论六：讨论六：已知两边及夹角，怎样求已知两边及夹角，怎样求三角形面积？三角形面积？证明：证明：acsinBacsinB2 21 1bcsinAbcsinA2 21 1absinCabsinC2 21 1S SABCABCBACDabca aABCABCahah2 21 1S S而而bsinCbsinCsin

10、BsinBc cADADh ha aabsinCabsinC2 21 1acsinBacsinB2 21 1S SABCABC同理同理acsinBacsinB2 21 1bcsinAbcsinA2 21 1absinCabsinC2 21 1S SABCABChabcsinAbcsinA2 21 1S SABCABC数学建构数学建构三角形面积公式：三角形面积公式：RTX讨论七：讨论七：正弦定理有哪些方面的应正弦定理有哪些方面的应用？用？1m)1m)到到求山的高度BC(精确求山的高度BC(精确,5 5又测得山顶的仰角为6又测得山顶的仰角为6后到达D处,后到达D处,的斜坡前进1000m的斜坡前进1

11、000m沿倾斜角为20沿倾斜角为20,3535角为角为下A处测得山顶B的仰下A处测得山顶B的仰例3.某登山队在山脚例3.某登山队在山脚0 01000DACEB2065数学应用：数学应用：1000DACEB6520解解：过点过点D作作DE/AC交交BC于于E,1 16 60 0A AD DE E,2 20 0DDA AC C于是，于是，1351356565160160360360ADBADB151520203535BADBAD又又3030ABDABD 定定理理得得：在在 A AB BD D中中，由由正正弦弦(m).(m).2 210001000sin30sin301000sin1351000si

12、n135ABDABDsinsinADBADBADsinADsinABAB在在R Rt t A AB BC C中中，811(m)811(m)sin35sin352 210001000ABsin35ABsin35BCBC答：山的高度约为答：山的高度约为811米。米。课堂练习课堂练习 做课本第做课本第11页第页第3题，求出题，求出上海东方明珠电视塔的高度，并上海东方明珠电视塔的高度，并上网查询验证。上网查询验证。.试判断试判断 ABC的形状ABC的形状,cosCcosCc ccosBcosBb bcosAcosAa a已知已知例4.在例4.在 ABC中,ABC中,解解：由由正正弦弦定定理理，得得k

13、k,s si in nA Aa a令令ksinCksinCc cksinB,ksinB,b bksinA,ksinA,a a代入已知条件，得：代入已知条件，得：cosCcosCsinCsinCcosBcosBsinBsinBcosAcosAsinAsinA即即tanCtanCtanBtanBtanAtanAC C,B BA A),(0 0,C CB B,又又A A,形形。从从而而 A AB BC C为为正正三三角角RTX探讨八：探讨八：请回顾本节课所学内容，并在请回顾本节课所学内容，并在RTX平台上展示平台上展示对本三连堂内容学生个人小结和集体小结：教师课堂总结教师课堂总结三角形中的边角关系正弦定理定理内容定理证明定理应用课堂总结课堂总结1.已知三角形的两角及任一边；已知三角形的两角及任一边；2.已知三角形的两边已知三角形的两边及其一边及其一边所对的角。所对的角。CcBbAasinsinsin课堂作业：课堂作业：1.课本第课本第10-11页页1、2、4、5、6题题;2.学习与评价第学习与评价第1、3页。页。创新型作业或异想天开，提出新问题与方法创新型作业或异想天开，提出新问题与方法 请给出一个三角形是正三角形的条件请给出一个三角形是正三角形的条件并能用正弦定理证明。并能用正弦定理证明。