643余弦定理、正弦定理应用举例 高中数学必修第二册课件.pptx

1、人 教 A 版 高 中 数 学 必 修 第 二 册6.4.3(3)余弦定理、正弦定理应用举例广信数学组复习复习正弦定理：正弦定理：余弦定理：余弦定理：RCcBbAa2sinsinsinAbccbacos2222Baccabcos2222Cabbaccos2222，bcacbA2cos222cabacB2cos222abcbaC2cos222变形复 习复 习正弦定理的变形：正弦定理的变形：CRcBRbARasin2,sin2,sin2RcCRbBRaA222sin,sin,sincbaCBA:sin:sin:sin三三角形面积公角形面积公式式：CabBcaAbcSABCsinsinsin2121

2、21课堂引入课堂引入 在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题题。解决这类问解决这类问题题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量。的工具进行测量。具体测量时，我们常常遇到具体测量时，我们常常遇到“不能到达不能到达”的困难，这就需要设计的困难，这就需要设计恰当的测量方案，下面我们通过几道例恰当的测量方案，下面我们通过几道例题题来说明这种情况。来说明这种情况。需要注意的是，需要注意的是，题题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件。事

3、实上，这些条件往往隐含着相应测量问条件。事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题题在某种特定在某种特定情景和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情景与条件限情景和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情景与条件限制下的恰当方案。制下的恰当方案。探索新知探索新知 仰角：目仰角：目标标视线在水平线上方的叫仰角视线在水平线上方的叫仰角;俯角：目俯角：目标标视线在水平线下方的叫俯角；视线在水平线下方的叫俯角；方位角：北方向线顺时针方向到目方位角：北方向线顺时针方向到目标标方向线的夹角。方向线的夹角。N方位角方位角60水平线水平线目标方向线目标方向线视视线线视视线线仰角仰角俯角俯角几个概念几个概念 课堂典例

4、课堂典例例例9：A,B两点都在河的对岸（不可到达）两点都在河的对岸（不可到达）,设计一种测量设计一种测量A,B两点两点间的距离的方法，并求出间的距离的方法，并求出A,B间的距离间的距离分析：分析：计算出河的这一岸的一点计算出河的这一岸的一点C到对岸两到对岸两点的距离，再测出点的距离，再测出BCA的大小，借助于的大小，借助于余弦定理可以计算出余弦定理可以计算出A，B两点间的距离两点间的距离.课堂典例课堂典例解：解：测量者可以在河岸边选定两点测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得，测得CD=a，并且在，并且在C，D两点分别测得两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA=，在在ADC和和BDC

5、中，应用正弦定理得中，应用正弦定理得sin()sin()sin()sin 180()aaAC；sinsin.sin()sin 180()aaBC计算出计算出AC和和BC后，再在后，再在ABC中，应用余弦中，应用余弦定理计算出定理计算出AB两点间的距离为两点间的距离为DCBA222cos.ABACBCACBC 课堂探究课堂探究如何测量地球与月亮之间的距离如何测量地球与月亮之间的距离?早在早在1671年年,两位法国天两位法国天文文学家为了测量地球与月球之间学家为了测量地球与月球之间的距离的距离,利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角,测量测量计算出计算出,的大小和

6、两地之间的距离的大小和两地之间的距离,从而算出了地球与从而算出了地球与月球之间的距离约为月球之间的距离约为385400km.AB 背景背景资料资料 课堂典例课堂典例底部不能到达的底部不能到达的 测量高度测量高度 ABEGCDH分析：由于建筑物的底部分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高所以不能直接测量出建筑物的高.由解直角由解直角三三角形的知识，只要能角形的知识，只要能测出一点测出一点C到建筑物的顶部到建筑物的顶部A的的距离距离CA,并测出由点并测出由点C观察观察A的仰的仰角，就可以计算出建筑物的高角，就可以计算出建筑物的高.例例10 如图，如图，AB

7、是底部是底部B不可到达的一座建筑物，不可到达的一座建筑物，A为建筑物的为建筑物的最高点。设计一种测量建筑物高度最高点。设计一种测量建筑物高度AB的方法，并求出建筑物的的方法，并求出建筑物的高度。高度。课堂典例课堂典例)sin(sinaAChahAChAEAB)sin(sinsinsin解：选择一条水平基线解：选择一条水平基线HG,HG,使使H,G,BH,G,B三三点在同一条直点在同一条直线上，由在线上，由在H,GH,G两点用测角仪器测得两点用测角仪器测得A A的仰角分别是的仰角分别是，CD=a,CD=a,测角仪器的高是测角仪器的高是h.h.那么，在那么，在 ACD ACD中，根据正弦定理可得中

8、，根据正弦定理可得)sin(sinaACBEAHGDCh ha a 课堂典例课堂典例例例11：位于某海域位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的的B处有处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西甲船南偏西30,且与甲船相距且与甲船相距7 n mile的的C处的乙船处的乙船.那么乙船前往营救那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度（精确到少度（精

9、确到1）?需要航行的距离是多少海里（精确到需要航行的距离是多少海里（精确到1n mile）?测量角度问测量角度问题题 课堂典例课堂典例解：解：根据题意，画岀示意图由余弦定理，得根据题意，画岀示意图由余弦定理，得于是于是由正弦定理，得由正弦定理，得 ，于是，于是由于由于 0C90,所以所以 .因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46+30=76,大约需要航行大约需要航行24 n mile.ACABACABBC589217202720120222222)(cos)(milenBC242412020sinsin C1235242320Csin46C

10、 课堂练习课堂练习课后练习课后练习3 一艘海轮从一艘海轮从A出发，沿北偏东出发，沿北偏东75的方向航行的方向航行67.5n mile后到达海岛后到达海岛B,然后从然后从B出发，沿北偏东出发，沿北偏东32的方的方向航行向航行54.0n mile后到达海岛后到达海岛C.如果下次航行直接从如果下次航行直接从A出发出发到达到达C,此此船应该沿怎船应该沿怎样样的方向航行，需要航行多少距离的方向航行，需要航行多少距离（角度精确到（角度精确到0.1,距离精确到距离精确到0.01n mile）?解：在解：在 ABC中，中，ABC1807532137，根据余弦定理，根据余弦定理，15.113137cos0.54

11、5.6720.545.67cos22222ABCBCABBCABAC 课堂练习课堂练习练习：在海岸练习：在海岸A处发现北偏东处发现北偏东45距离距离A处处 海里的海里的B处有一艘走私船，在处有一艘走私船，在A处北偏西处北偏西75的方向，距离的方向，距离A处处2海里的海里的C处的缉私船奉命以处的缉私船奉命以 海里海里/小时的速度追截走小时的速度追截走私船私船.此时走私船正以此时走私船正以10海里海里/小时的速度从小时的速度从B处向北偏东处向北偏东30方向逃窜，问缉私船什么方向能最快追上走私船？方向逃窜，问缉私船什么方向能最快追上走私船？310解解:如图如图若要最快追上走私船，则两船到若要最快追上

12、走私船，则两船到D点时点时所用时间相等所用时间相等.假设在假设在D处相遇处相遇,设缉私船用设缉私船用t h在在D处追上走处追上走私船私船,如图如图.则有则有CD=，BD=10tt 310)13(课堂练习课堂练习方向能最快追上走私船方向能最快追上走私船即缉私船沿北偏东即缉私船沿北偏东所以所以中，由正弦定理得中，由正弦定理得在在的正东方向，所以的正东方向，所以在在即即，中，由正弦定理知，中，由正弦定理知，在在由余弦定理得，由余弦定理得，中，中，在在 603021310120sin10sinsin120309045226232sin,sin120sin66120cos2)13(22)13(cos21

13、2045752,13222222BCDttCDCBDBDBCDBCDCBDCBABCABCABCACBCABCBCBCBACACABACABBCBACACABABC 课堂典例课堂典例求解求解三三角形应用角形应用题题的一般步骤：的一般步骤：（1）分析：理解）分析：理解题题意，分清已知与未知，画出示意图；意，分清已知与未知，画出示意图；（2）建模：根据已知条件与求解目）建模：根据已知条件与求解目标标，把已知量与求解量尽，把已知量与求解量尽量集中在有关的量集中在有关的三三角形中，建立一个解斜角形中，建立一个解斜三三角形的数学模角形的数学模型；型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三三角形，求角形，求得数学模型的解；得数学模型的解；（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问实际问题题的解的解.