人教A版数学必修四培优教程练习：第3章 三角恒等变换3-1-3a.doc

1、 第 - 1 - 页 共 7 页 - 1 - A 级：基础巩固练 一、选择题 1若 sin 6 1 3，则 cos 2 3 2 的值为( ) A1 3 B7 9 C1 3 D7 9 答案 B 解 析 cos 2 3 2 cos 32 cos 2 6 12sin2 6 2sin 2 6 1 7 9. 2若sincos sincos 1 2，则 tan2( ) A3 4 B3 4 C4 3 D4 3 答案 B 解析 sincos sincos 1 2， 2sin2cossincos， 整理得 sin 3cos，即sin cos3tan，tan2 2tan 1tan2 3 4.故选 B 3. 2si

2、n2 1cos2 cos2 cos2( ) Atan2 Btan C1 D1 2 答案 A 解析 原式2sin2 2cos2 cos2 cos2tan2. 第 - 2 - 页 共 7 页 - 2 - 4在ABC 中，若 sinBsinCcos2A 2，则ABC 是( ) A等边三角形 B等腰三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形 答案 B 解析 由 sinBsinCcos2A 2得 sinBsinC 1cosA 2 ， 2sinBsinC1cosA， 2sinBsinC1cos(BC)1cos(BC)， 2sinBsinC1cosBcosCsinBsinC， cosBcosCsinBsinC1

3、，cos(BC)1， 又180 0. B，D 不符合题意 若 sinAcosA 15 3 ，则(sinAcosA)25 312sinAcosA1 sin2A sin2A2 3，满足题意，故选 A 二、填空题 6已知 为第二象限的角，sin3 5，则 tan2_. 答案 24 7 解析 由 sin3 5，且 为第二象限的角得 cos 4 5，得 tan 3 4，tan2 24 7 . 7等腰三角形一个底角的余弦为2 3，那么这个三角形顶角的正弦 值为_ 答案 4 5 9 解析 设 A 是等腰三角形 ABC 的顶角， 则 cosB2 3， sinB 1cos2B1 2 3 2 5 3 . 所以 s

4、inAsin(180 2B)sin2B2sinBcosB2 5 3 2 3 4 5 9 . 8已知角 ， 为锐角，且 1cos2sincos，tan()1 3， 第 - 4 - 页 共 7 页 - 4 - 则 _. 答案 4 解析 由 1cos2sincos， 得 1(12sin2)sincos， 即 2sin2sincos. 为锐角，sin0，2sincos， 即 tan1 2. 解法一：由 tan() tantan 1tantan tan1 2 11 2tan 1 3， 得 tan1. 为锐角， 4. 解法二：tantan() tantan 1tantan 1 3 1 2 11 3 1 2

5、 1. 为锐角， 4. 三、解答题 9在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 1 2，cos 2 在角 的终边上，点 Q(sin2，1)在角 的终边上，且OP OQ 1 2. (1)求 cos2 的值； (2)求 sin()的值 解 (1)因为OP OQ 1 2， 所以1 2sin 2cos21 2， 第 - 5 - 页 共 7 页 - 5 - 即1 2(1cos 2)cos21 2，所以 cos 22 3， 所以 cos22cos211 3. (2)因为 cos22 3，所以 sin 21 3. 所以点 P 1 2， 2 3 ，点 Q 1 3，1 . 又点 P 1 2， 2 3 在角 的终边上

6、， 所以 sin4 5，cos 3 5. 同理，sin3 10 10 ，cos 10 10 ， 所以 sin()sincoscossin 4 5 10 10 3 5 3 10 10 10 10 . 10已知函数 f(x)1 2sin2xsincos 2xcos1 2sin 2 (0)，其 图象过点 6， 1 2 . (1)求 的值； (2)将函数 yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1 2， 纵坐标不 变， 得到函数 yg(x)的图象， 求函数 g(x)在 0， 4 上的最大值和最小值 解 (1)因为 f(x)1 2sin2xsincos 2xcos 1 2sin 2 (0) 所以 f(

7、x)1 2sin2xsin 1cos2x 2 cos1 2cos 1 2sin2xsin 1 2cos2xcos 第 - 6 - 页 共 7 页 - 6 - 1 2(sin2xsincos2xcos) 1 2cos(2x) 又函数图象过点 6， 1 2 ，所以1 2 1 2cos 2 6 ， 即 cos 3 1.又 0，所以 3. (2)由(1)知 f(x)1 2cos 2x 3 ， 将函数 yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1 2，纵坐标不 变，得到函数 yg(x)的图象，可知 g(x)f(2x)1 2cos 4x 3 ， 因为 x 0， 4 ，所以 4x0， 因此 4x 3 3，

8、2 3 . 故1 2cos 4x 3 1. 所以 yg(x)在 0， 4 上的最大值和最小值分别为1 2和 1 4. B 级：能力提升练 14cos50 tan40 ( ) A 2 B 2 3 2 C 3 D2 21 答案 C 解析 4cos50 tan40 4cos50 sin40 cos40 4cos50 cos40 sin40 cos40 4sin40 cos40 sin40 cos40 第 - 7 - 页 共 7 页 - 7 - 2sin80 sin40 cos40 2sin60 20 sin60 20 cos40 3 2 cos20 3 2sin20 cos40 3cos40 cos

9、40 3.故选 C 2 设向量 a(4cos， sin)， b(sin， 4cos)， c(cos， 4sin) (1)若 a 与 b2c 垂直，求 tan()的值； (2)求|bc|的最大值 解 (1)因为 a 与 b2c 垂直， 所以 a (b2c)a b2a c0， 即 4sin()8cos()0，因此 tan()2. (2)由 bc(sincos，4cos4sin)， 得 |b c|2 sin2 2sincos cos2 16cos2 32cossin 16sin2 1730sincos 1715sin2， 当 sin21 时取得最大值，最大值为 32， 所以|bc|的最大值为 4 2.