函数单调性的判别法学习培训模板课件.ppt

1、2.4 导数的应用(118)32.4.1 函数单调性的判别法函数单调性的判别法xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)(xf0)(xfabBA2.4 导数的应用(118)4证证),(,21baxx ,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf ,012 xx,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调增加上单调增加在在baxfy ,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上单调减少上单调减少在在baxfy 2.4 导数的应用(118)5例例1 1解解e1,

2、xy ,)0,(内内在在,0 y函数单调减少；函数单调减少；,),0(内内在在,0 y.函函数数单单调调增增加加注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性(,).D 且且2.4 导数的应用(118)6单调区间求法：单调区间求法：问题问题:函数在定义区间上不是单调的，但在各个函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调部分区间上单调若函数在其定义域的某个若函数在其定义域的某个区间区间内是单调的，则

3、该内是单调的，则该区间称为函数的区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点是单调区间的导数等于零的点和不可导点是单调区间的可能可能分分界点界点方法方法:.,)()(0)(数数的的符符号号然然后后判判断断区区间间内内导导的的定定义义区区间间来来划划分分函函数数不不存存在在的的点点的的根根及及用用方方程程xfxfxf 2.4 导数的应用(118)7例例2 2解解.31292)(23的单调区间的单调区间确定函数确定函数 xxxxf).,(:D12186)(2 xxxf)2)(1(6 xx得，得，解方程解方程0)(xf.2,121 xx时，时，当当1 x,0)(xf上单调增加；上单调增加

4、；在在1,(时，时，当当21 x,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在2,1 时，时，当当 x2,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),2单调区间为单调区间为，1,(，2,1).,22.4 导数的应用(118)8例例3 3解解.)(32的单调区间的单调区间确定函数确定函数xxf).,(:D)0(,32)(3 xxxf.,0导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当0 x,0)(xf上单调增加；上单调增加；在在),0 时，时，当当 x0,0)(xf上单调减少；上单调减少；在在0,(单调区间为单调区间为，0,().,0 32xy 2.4 导数的应用(118)9例例4 4证证.)1ln(,0

5、成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则,0)(),0(,),0)(xfxf可导，可导，且且上连续上连续在在上单调增加；上单调增加；在在),0,0)0(f时，时，当当0 x,0)0()()1ln(fxfxx).1ln(xx 即即注意注意:区间内个别点导数为零不影响区间的单调性区间内个别点导数为零不影响区间的单调性.例如例如,3xy ,00 xy.),(上单调增加上单调增加但在但在2.4 导数的应用(118)102.4.6 小结与思考题小结与思考题1单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的区间换成其它有

6、限或无限区间，结论定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立仍然成立.利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式数和证明不等式.2.4 导数的应用(118)11思考题思考题 若若0)0(f，是是否否能能断断定定)(xf在在原原点点的的充充分分小小的的邻邻域域内内单单调调递递增增？2.4 导数的应用(118)12思考题解答思考题解答不能断定不能断定.例例 0,00,1sin2)(2xxxxxxf )0(f)1sin21(lim0 xxx 01 但但0,1cos21sin41)(xxxxxf2.4 导数的应用(118)13)212(1 kx

7、k当当 时，时，0)212(41)(kxfk kxk21 当当 时，时，01)(kxf注意注意 可以任意大，故在可以任意大，故在 点的任何邻点的任何邻域内，域内，都不单调递增都不单调递增k00 x)(xf2.4 导数的应用(118)14课堂练习题课堂练习题2.4 导数的应用(118)152.4 导数的应用(118)16课堂练习题答案课堂练习题答案2.4 导数的应用(118)172.4 导数的应用(118)182.4.2 曲线的凹凸性及其判别法曲线的凹凸性及其判别法问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoABC2.4 导数的应用(118)19xyo1x2x)(xfy 图形上

8、任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方曲线凹凸的特点：曲线凹凸的特点：2.4 导数的应用(118)20凹凸弧的定义：凹凸弧的定义：;),()(,2)()()2(,),(,),()(212121内内的的图图形形是是凹凹的的在在那那末末称称恒恒有有两两点点内内任任意意如如果果对对内内连连续续在在设设baxfxfxfxxfxxbabaxf ;),()(,2)()()2(,),(212121内内的的图图形形是是凸凸的的在在那那末末称称恒恒有有内内任任意意两两点点如如果果对对baxfxfxfxxfxxb

9、a 2.4 导数的应用(118)21.)(,)(,)(),(,)(的的或或凸凸内内的的图图形形是是凹凹在在那那末末称称的的或或凸凸内内的的图图形形是是凹凹且且在在内内连连续续在在如如果果baxfbabaxf曲线凹凸的判定：曲线凹凸的判定：xyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y2.4 导数的应用(118)22判别法：判别法：.,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在二阶导数二阶导数内具有内具有在在上连续上连续在在如果如果baxfx

10、fbaxfxfbababaxf 2.4 导数的应用(118)23例例 5 5.3的凹凸性的凹凸性判断曲线判断曲线xy 解解,32xy ,6xy 时，时，当当0 x,0 y为凸的；为凸的；在在曲线曲线0,(时，时，当当0 x,0 y为凹的；为凹的；在在曲线曲线),0.)0,0(点点是是曲曲线线由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意：注意：2.4 导数的应用(118)24曲线的拐点及其求法曲线的拐点及其求法注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.拐点的求法：拐点的求法：证证,)(二阶可导二阶可导xf,)(存存在在且且连连续续xf 2.4 导数的应用(118)25,)(

11、0两边变号两边变号在在则则xxf ,)(,(00是是拐拐点点又又xfx,)(0取取得得极极值值在在xxf 必要必要由可导函数取得极值的由可导函数取得极值的.0)(0 xf条件得条件得方法方法1:1:,0)(,)(00 xfxxf且且的的邻邻域域内内二二阶阶可可导导在在设设函函数数;)(,(,)()1(000即即为为拐拐点点点点变变号号两两近近旁旁xfxxfx .)(,(,)()2(000不是拐点不是拐点点点不变号不变号两近旁两近旁xfxxfx ,)()(0两边变号两边变号在在即即xxfxf 2.4 导数的应用(118)26例例 6 6.14334凹、凸的区间凹、凸的区间的拐点及的拐点及求曲线求

12、曲线 xxy解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(),32()32,0(032)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32(2.4 导数的应用(118)27).,32,32,0,0,(凹凸区间为凹凸区间为2.4 导数的应用(118)28方法方法2:2:.)()(,(,0)(,0)(,)(00000的拐点的拐点线线是曲是曲那末那末而而且且的邻域内三阶可导的邻域内三阶可导在在设函数设函数xfyxfxxfxfxxf 例例 7 7.)20(cossin的拐点的拐点求曲线求曲线 xxxy解解,

13、sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy ,0 y令令.47,4321 xx得得2)43(f,0 2)47(f,0 2.4 导数的应用(118)29内曲线有拐点为内曲线有拐点为在在2,0).0,47(),0,43(.)()(,(,)(000的的拐拐点点是是连连续续曲曲线线也也可可能能点点不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意:2.4 导数的应用(118)30例例 8 8.3的拐点的拐点求曲线求曲线xy 解解,0时时当当 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可导点是不可导点yyx ,0,)0,(y内内但在但在;0,(上是凹的上是凹的曲线在曲线在,

14、0,),0(y内内在在.),0上是凸的上是凸的曲线在曲线在.)0,0(3的拐点的拐点是曲线是曲线点点xy 2.4 导数的应用(118)31曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1,2.2.4.6 小结与思考题小结与思考题22.4 导数的应用(118)32思考题思考题设设)(xf在在),(ba内二阶可导，且内二阶可导，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，则，则,(0 x)(0 xf是否一定为是否一定为曲线曲线)(xf的拐点？举例说明的拐点？举例说明.2.4 导数的应用(118)33思考题解答思考题

15、解答例例4)(xxf),(x0)0(f但但)0,0(并不是曲线并不是曲线)(xf的拐点的拐点.2.4 导数的应用(118)34课堂练习题课堂练习题2.4 导数的应用(118)35课堂练习题答案课堂练习题答案2.4 导数的应用(118)362.4.3 函数的极值及求法函数的极值及求法oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x2.4 导数的应用(118)37.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的的一一个个极极小小值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如

16、果果存存在在着着点点的的一一个个极极大大值值是是函函数数就就称称均均成成立立外外除除了了点点任任何何点点对对于于这这邻邻域域内内的的的的一一个个邻邻域域如如果果存存在在着着点点内内的的一一个个点点是是内内有有定定义义在在区区间间设设函函数数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 极值的定义：极值的定义：2.4 导数的应用(118)38函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.函数极值的求法：函数极值的求法：设设)(xf在在点点0 x处处具具有有导导数数,且且在在0 x处处取取得得极极值值,那那末末

17、必必定定0)(0 xf.定理定理(必要条件必要条件).)()0)(的的驻驻点点做做函函数数叫叫的的实实根根即即方方程程使使导导数数为为零零的的点点xfxf 注意注意:.,)(是是极极值值点点但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定点点的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻可可导导函函数数xf2.4 导数的应用(118)39例如例如,3xy ,00 xy.0不是极值点不是极值点但但 x定理定理 (第一充分条件第一充分条件)2.4 导数的应用(118)40 xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)xyoxyo0 x0 x (非极值点情形非极值点情形)如图所示：如图所示：2.4 导数

18、的应用(118)41求可导函数极值的步骤求可导函数极值的步骤:);()1(xf 求导数求导数;0)()2(的根的根求驻点，即方程求驻点，即方程 xf;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值2.4 导数的应用(118)42例例 9 9解解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf.3,121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,(),3()3,1(1 3)(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1(f极大值极大值,10)3)(1(3 xx2

19、.4 导数的应用(118)43593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下2.4 导数的应用(118)44定理定理(第二充分条件第二充分条件)证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000,0 异号，异号，与与故故xxfxxf )()(002.4 导数的应用(118)45时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有,0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有,0 2.4 导数的应用(118)46例例1010解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)(xf.2,421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx,66)(

20、xxf )4(f,018 )4(f故极大值故极大值,60 )2(f,018 )2(f故极小值故极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下2.4 导数的应用(118)47Mm注意注意:2.4 导数的应用(118)48例例1111解解.)2(1)(32的极值的极值求出函数求出函数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 x;0)(xf时，时，当当2 x.0)(xf.)(1)2(的极大值的极大值为为xff.)(在该点连续在该点连续但函数但函数xf注意注意:函数的不可导点也可能是函数的极值点函数的不可导点也可能是函数的极值点.M2

21、.4 导数的应用(118)49求函数极值的步骤：求函数极值的步骤：);()1(xf 求导数求导数.)4(求极值求极值函数的驻点和不可导点同称为函数的函数的驻点和不可导点同称为函数的临界点临界点.(2)(2)求函数的临界点；求函数的临界点；2.4 导数的应用(118)50极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件.(注意使用条件注意使用条件)2.

22、4.6 小结与思考题小结与思考题32.4 导数的应用(118)51思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？2.4 导数的应用(118)52思考题解答思考题解答不正确不正确例例 0,20),1sin2(2)(2xxxxxf当当0 x时，时，)0()(fxf)1sin2(2xx 0 2.4 导数的应用(118)53当当0 x时，时，当当0 x时时，,0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因因而而)(xf在在0 x的的两两侧侧都都不不单单调调.故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1sin2(2)(2.4 导数的应用(118)54课堂练习题课堂练习题2.4 导数的应用(

23、118)552.4 导数的应用(118)56课堂练习题答案课堂练习题答案2.4 导数的应用(118)572.4.4 曲线的渐近线曲线的渐近线1 1、渐近线的定义：、渐近线的定义：.)(,)(一条渐近线一条渐近线的的就称为曲线就称为曲线那么直线那么直线趋向于零趋向于零的距离的距离到某定直线到某定直线如果点如果点移向无穷远时移向无穷远时沿着曲线沿着曲线上的一动点上的一动点当曲线当曲线xfyLLPPxfy 2.4 导数的应用(118)582 2、水平渐近线、水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于 x.)()()(lim)(lim的一条水平渐近线的一条水平渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或

24、如果如果xfybybbxfbxfxx 例如例如,arctan xy 有水平渐近线两条有水平渐近线两条:.2,2 yy2.4 导数的应用(118)593 3、铅直渐近线、铅直渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 x.)()(lim)(lim000的的一一条条铅铅直直渐渐近近线线就就是是那那么么或或如如果果xfyxxxfxfxxxx 例如例如,)3)(2(1 xxy有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条:.3,2 xx2.4 导数的应用(118)604 4、斜渐近线、斜渐近线.)(),(0)()(lim0)()(lim的一条斜渐近线的一条斜渐近线就是就是那么那么为常数为常数或或如果如果xfybax

25、ybabaxxfbaxxfxx 斜渐近线求法斜渐近线求法:,)(limaxxfx .)(limbaxxfx .)(的的一一条条斜斜渐渐近近线线就就是是曲曲线线那那么么xfybaxy 2.4 导数的应用(118)61注意注意:;)(lim)1(不存在不存在如果如果xxfx,)(lim,)(lim)2(不存在不存在但但存在存在axxfaxxfxx .)(不不存存在在斜斜渐渐近近线线可可以以断断定定xfy 例例1212.1)3)(2(2)(的的渐渐近近线线求求 xxxxf解解).,1()1,(:D2.4 导数的应用(118)62 )(lim1xfx,)(lim1xfx,.1是曲线的铅直渐近线是曲线的

26、铅直渐近线 x xxfx)(lim又又)1()3)(2(2lim xxxxx,2 21)3)(2(2limxxxxx 1)1(2)3)(2(2lim xxxxxx,4.42是是曲曲线线的的一一条条斜斜渐渐近近线线 xy2.4 导数的应用(118)63的两条渐近线如图的两条渐近线如图1)3)(2(2)(xxxxf2.4 导数的应用(118)642.4.5 函数图形的描绘函数图形的描绘利用函数特性描绘函数图形，利用函数特性描绘函数图形，步骤如下步骤如下：第一步第一步第二步第二步2.4 导数的应用(118)65第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜确定函数图形的水平、铅直渐近线

27、、斜渐近线以及其他变化趋势渐近线以及其他变化趋势;第五步第五步2.4 导数的应用(118)66作图举例：作图举例：例例1313.2)1(4)(2的图形的图形作函数作函数 xxxf解解,0:xD非奇非偶函数非奇非偶函数,且无对称性且无对称性.,)2(4)(3xxxf .)3(8)(4xxxf ,0)(xf令令,2 x得驻点得驻点,0)(xf令令.3 x得得特特殊殊点点2)1(4lim)(lim2 xxxfxx,2 ;2 y得水平渐近线得水平渐近线2.4 导数的应用(118)672)1(4lim)(lim200 xxxfxx,.0 x得铅直渐近线得铅直渐近线列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间

28、,凹凸区间及极值点和拐点凹凸区间及极值点和拐点:x)3,(),0()2,3(3)0,2()(xf)(xf 00)(xf 2 0 不存在不存在拐点拐点极小值极小值间间断断点点3)926,3(2.4 导数的应用(118)68:补补充充点点);0,31(),0,31(),2,1(A),6,1(B).1,2(C作图作图xyo2 3 2111 2 3 6ABC2.4 导数的应用(118)692)1(4)(2 xxxf2.4 导数的应用(118)70例例1414解解),(:D偶函数偶函数,图形关于图形关于y轴对称轴对称.22()e,2xxx ()0,x 令令,0 x得驻点得驻点()0,x 令令.1,1 x

29、x得得特特殊殊点点1:0()0.4.2Wx 22(1)(1)()e.2xxxx 221lim()lime2xxxx ,0.0 y得水平渐近线得水平渐近线2.4 导数的应用(118)71x)1,(),1()0,1(1)1,0()(x )(x 00)(x 01 拐点拐点极大值极大值 21)21,1(e 列表确定函数升降区间列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:0拐点拐点)21,1(e xyo11 21 2.4 导数的应用(118)72221()e2xx 2.4 导数的应用(118)73例例1515.1)(23的图形的图形作函数作函数 xxxxf解解),(:D无奇偶性及

30、周期性无奇偶性及周期性.),1)(13()(xxxf).13(2)(xxf,0)(xf令令.1,31 xx得驻点得驻点,0)(xf令令.31 x得特殊点得特殊点:补补充充点点),0,1(A),1,0(B).85,23(C列表确定函数升降、列表确定函数升降、凹凸区间及极值点与拐点凹凸区间及极值点与拐点:2.4 导数的应用(118)74x)31,(),1()31,31(31)1,31(0311 拐点拐点极大值极大值2732)2716,31(0)(xf)(xf)(xf 极小值极小值0 xyo)0,1(A)1,0(B)85,23(C11 3131 2.4 导数的应用(118)75123 xxxy2.4

31、 导数的应用(118)76函数图形的描绘综合运用函数性态的研究函数图形的描绘综合运用函数性态的研究,是导是导数应用的综合考察数应用的综合考察.xyoab最大值最大值最小值最小值极大值极大值极小值极小值拐点拐点凹的凹的凸的凸的单增单增单减单减)(xfy 2.4.6 2.4.6 小结与思考题小结与思考题5 52.4 导数的应用(118)77思考题思考题 两坐标轴两坐标轴0 x，0 y是否都是是否都是函数函数xxxfsin)(的渐近线？的渐近线？2.4 导数的应用(118)78思考题解答思考题解答0sinlim xxx0 x不不是是其其图图象象的的渐渐近近线线.1sinlim0 xxxxxysin

32、2.4 导数的应用(118)79课堂练习题课堂练习题2.4 导数的应用(118)80课堂练习题答案课堂练习题答案2.4 导数的应用(118)812.4 导数的应用(118)82*补充补充1 1：最值的求法：最值的求法oxyoxybaoxyabab.,)(,)(方法求得方法求得用本节的用本节的上的最大值与最小值可上的最大值与最小值可在在点，则点，则限个临界限个临界上连续，并且至多有有上连续，并且至多有有在在若函数若函数baxfbaxf2.4 导数的应用(118)83求最值的步骤求最值的步骤:1.求函数的临界点求函数的临界点;2.求区间端点及临界点的函数值求区间端点及临界点的函数值,比较大小比较大

33、小,最最大者即最大值大者即最大值,最小者即最小值最小者即最小值.注意注意:如果区间内只有一个极如果区间内只有一个极(大或小大或小)值值,则这则这个极个极(大或小大或小)值就是最值就是最(大或小大或小)值。值。2.4 导数的应用(118)84应用举例：应用举例：例例1 16 6解解)1)(2(6)(xxxf.4,314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程,0)(xf.1,221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34)1(f;7;142)4(f2.4 导数的应用(118)85，最大值最大值142)4(f比较得比较得.7)1(f最小值

34、最小值14123223 xxxy2.4 导数的应用(118)86点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例1 17 7 一汽车从河的北岸一汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟的分钟的速度向正北行驶，同时一摩托车从河的南岸速度向正北行驶，同时一摩托车从河的南岸B处向正东追赶，速处向正东追赶，速度为度为2千米千米/分钟分钟 问摩托车何问摩托车何时与汽车相距最时与汽车相距最近？近？2.4 导数的应用(118)87解解公里公里5.0(1)建立两车相距函数关系：建立两车相距函数关系：),(分分发起追赶的时间发起追赶的时间处出处出为摩托车从为摩托车从设设Bt两车相距函数两车相距函数22)24()

35、5.0()(ttts 公公里里4B A)(ts)(ts.)()2(的最小值点的最小值点求求tss )(ts.)24()5.0(5.7522ttt ,0)(ts令令得唯一驻点得唯一驻点.5.1 t.5.1分钟距离最近分钟距离最近处起追赶后处起追赶后故摩托车从故摩托车从B2.4 导数的应用(118)88实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;值值大大或或小小函函数数值值即即为为所所求求的的最最点点，则则该该点点的的若若目目标标函函数数只只有有唯唯一一驻驻)(2.4 导数的应用(118)89例例1 18 8 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓

36、要出租，当租套公寓要出租，当租金定为每月金定为每月180元时，公寓会全部租出去，当元时，公寓会全部租出去，当租金每月增加租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费20元的整修维护元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？费试问房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套，1018050 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20(x 1018050 x2.4 导数的应用(118)90 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570

37、 x 0)(xR350 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xR)(10890 元元 2.4 导数的应用(118)91点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例1919形面积最大形面积最大所围成的三角所围成的三角及及线线处的切线与直处的切线与直使曲线在该点使曲线在该点上求一点，上求一点，曲边曲边成一个曲边三角形，在成一个曲边三角形，在围围及抛物线及抛物线，由直线由直线808022 xyxyxyxy2.4 导数的应用(118)92解解如图如图,),(00yxP设设所所求求切切点点为

38、为为为则切线则切线PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16,8(200 xxB),0,8(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x2.4 导数的应用(118)93,0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍去舍去 xx8)316(s.0.274096)316(为极大值为极大值 s.274096)316(最大者最大者为所有三角形中面积的为所有三角形中面积的故故 s2.4 导数的应用(118)94注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局

39、部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.2.4.6 2.4.6 小结与思考题小结与思考题5 52.4 导数的应用(118)95思考题思考题2.4 导数的应用(118)96思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点.例例xxfy )(1,0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0(f2.4 导数的应用(118)97课堂练习题课堂练习题2.4 导数的应用(118)98课堂练习题答案课堂练习题答案2.4 导数的应用(118)991 1、弧微分、弧微分NRTA0 xMxxx .),()(内具有连续导数内具有连续导数在区间在区间设函数设函数b

40、axfxyo00(,),A xy规定：规定：;)1(增增大大的的方方向向一一致致曲曲线线的的正正向向与与 x,)2(sAM .,取取负负号号相相反反时时取取正正号号一一致致时时的的方方向向与与曲曲线线正正向向当当ssAM*补充补充2 2：弧微分与曲率：弧微分与曲率基点：基点：(,)M x y为任意一点为任意一点.2.4 导数的应用(118)100).(xss 单调增函数单调增函数),(yyxxN 设设如图，如图，NTMTMNMN|,0时时当当 x22)()(yxMN xxy 2)(121d,yx sMN|d,s22(d)(d)MTxy 21d,yx dNTyy ,02d1d.syx 故故,)(

41、为为单单调调增增函函数数xss 2d1d.syx 故故弧微分公式弧微分公式NMTRA0 xxxx xyo2.4 导数的应用(118)1012 2、曲率、曲率曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。1M3M)2 2M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段弯曲程度弧段弯曲程度越大转角越大越大转角越大转角相同弧段越转角相同弧段越短弯曲程度越大短弯曲程度越大1 )2.4 导数的应用(118)102)S S).M.MC0Myxo.skMM 的的平平均均曲曲率率为为弧弧段段（设曲线设曲线C是光滑的，是光滑的，.0是是基基点点M,sMM （.切切线线转转角角为为M

42、Msks 0lim曲线曲线C在点在点M处的曲率处的曲率d.dks 0dlimdsss 在在存在的条件下，存在的条件下，2.4 导数的应用(118)1033.3.曲率的计算公式曲率的计算公式注意注意:(1)直线的曲率处处为零直线的曲率处处为零;(2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且且半径越小曲率越大半径越小曲率越大.,)(二阶可导二阶可导设设xfy ,tany 2dd,1yxy 322.(1)yky ,arctany 有有2d1d.syx 2.4 导数的应用(118)104,),(),(二阶可导二阶可导设设 tytx 3222()()()().()()ttttkt

43、t ,)()(ttdxdy .)()()()()(322tttttdxyd 2.4 导数的应用(118)105例例2020?2上哪一点的曲率最大上哪一点的曲率最大抛物线抛物线cbxaxy 解解,2baxy ,2ay .)2(12232baxak 显然显然,2时时当当abx .最最大大k,)44,2(2为抛物线的顶点为抛物线的顶点又又aacbab .最大最大抛物线在顶点处的曲率抛物线在顶点处的曲率2.4 导数的应用(118)106点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停).(1),(,的半径的半径为圆弧轨道为圆弧轨道到到率连续地由零过渡率连续地由零过渡使曲使曲如图如图缓冲段缓冲段弯道之间接入

44、一段弯道之间接入一段稳，往往在直道和稳，往往在直道和驶平驶平容易发生事故，为了行容易发生事故，为了行的曲率突然改变的曲率突然改变道时，若接头处道时，若接头处铁轨由直道转入圆弧弯铁轨由直道转入圆弧弯RR例例21212.4 导数的应用(118)107.1)1(,06103RARlRlOOAOAlOAxxxRly的曲率近似为的曲率近似为时，在终端时，在终端很小很小并且当并且当为零为零的曲率的曲率在始端在始端的长度，验证缓冲段的长度，验证缓冲段为为，其中，其中缓冲段缓冲段作为作为，通常用三次抛物线通常用三次抛物线 xyoR),(00yxA)0,(0 xCl2.4 导数的应用(118)108xyoR),

45、(00yxA)0,(0 xC证证如图如图的的负负半半轴轴表表示示直直道道，x.,是是圆圆弧弧轨轨道道是是缓缓冲冲段段 ABOA（在缓冲段上在缓冲段上,212xRly .1xRly ,0,0,0 yyx处处在在.0 Ok故缓冲始点的曲率故缓冲始点的曲率实际要求实际要求,0 xl lB2.4 导数的应用(118)10920210 xRlyxx 有有221lRl,2Rl 010 xRlyxx lRl1,1R 的的曲曲率率为为故故在在终终端端A0232)1(xxAyyk 2322)41(1RlR ,1Rl.1RkA 得得,422Rl略去二次项略去二次项xyoR),(00yxA)0,(0 xClB2.4

46、 导数的应用(118)1104、曲率圆与曲率半径、曲率圆与曲率半径D)(xfy Mk1 .),(,.1,).0(),()(处的曲率圆处的曲率圆称此圆为曲线在点称此圆为曲线在点如图如图作圆作圆为半径为半径为圆心为圆心以以使使在凹的一侧取一点在凹的一侧取一点处的曲线的法线上处的曲线的法线上在点在点处的曲率为处的曲率为在点在点设曲线设曲线MDkDMDMkkyxMxfy ,曲曲率率中中心心 D.曲率半径曲率半径 xyo2.4 导数的应用(118)1111.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数曲率互为倒数.1,1 kk即即注意注意:2.曲线上一点处的曲

47、率半径越大曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点曲线在该点处的曲率越小处的曲率越小(曲线越平坦曲线越平坦);曲率半径越小曲率半径越小,曲曲率越大率越大(曲线越弯曲曲线越弯曲).3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似称为曲线在该点附近的二次近似).2.4 导数的应用(118)112例例2222xyOQP.,.70,/400,)(40002QPvOxy椅的压力椅的压力飞行员对座飞行员对座俯冲到原点时俯冲到原点时求求千克千克飞行员体重飞行员体重秒秒米米处速度为处速度为点点在原在原俯冲飞行俯冲飞行单位为米单位为米飞

48、机沿抛物线飞机沿抛物线 解解如图如图,受力分析受力分析,PQF 视飞行员在点视飞行员在点O作匀速圆周运动作匀速圆周运动,.2 mvF O点处抛物线轨道的曲率半径点处抛物线轨道的曲率半径2.4 导数的应用(118)113002000 xxxy,0.200010 xy得曲率为得曲率为.200010 xxk曲率半径为曲率半径为.2000 米米 2000400702 F),(4.571)(5600千克力千克力牛牛 ),(4.571)(70千克力千克力千克力千克力 Q).(5.641千克力千克力 即即:飞行员对座椅的压力为飞行员对座椅的压力为641.5千克力千克力.2.4 导数的应用(118)114运用

49、微分学的理论运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性研究曲线和曲面的性质的数学分支质的数学分支微分几何学微分几何学.基本概念基本概念:弧微分弧微分,曲率曲率,曲率圆曲率圆,曲率半曲率半径径.曲线弯曲程度的描述曲线弯曲程度的描述曲率曲率;曲线弧的曲线弧的(二次二次)近似代替近似代替曲率圆曲率圆(弧弧).|1|yky 时，时，注：当注：当2.4.6 小结与思考题小结与思考题52.4 导数的应用(118)115思考题思考题 椭圆椭圆 上哪上哪些点处曲率最大？些点处曲率最大？,cos2tx tysin3 2.4 导数的应用(118)116思考题解答思考题解答2322)cos9sin4(6tt 232)cos54(6t 要使要使 最大，最大，k232)cos54(t 必有必有 最小，最小，23,2 t此时此时 最大，最大，k.)()()()()()(2322ttttttk 2.4 导数的应用(118)117课堂练习题课堂练习题2.4 导数的应用(118)118课堂练习题答案课堂练习题答案