大学生数学竞赛辅导学习培训模板课件.ppt
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1、大学生数学竞赛辅导大学生数学竞赛辅导 1一、极限的计算一、极限的计算1.1.变量替换变量替换 求极限求极限211001lim()lim.1xxxxxexx ;2.2.等价无穷小替换等价无穷小替换 常用等价无穷小:常用等价无穷小:221sintan1cos121ln(1)(1)1ln(1).2xarcxxarcxxxxexxxxxxxx ,21011lim(1)lim(1)nxnxnexenx 1ln(1)0limxxxeex 1ln(1)10(1)limxxxe ex 01ln(1)1limxxxex .2e 1lim(1)nnnen例例 计计算算11 cos0sinlim.xxxx 例例计计
2、算算11 cos00sinlnsinlimlnlim1cosxxxxxxxx 先先取取对对数数,02sinln 11lim12xxxx 02sin1lim12xxxx 13 13=.e 3222ln(1)22(1)(1ln(1)ln(1)xxxxexeeexxx 220(1)(1ln(1)lim.xxxexx例例22ln(1)221ln(1)xxe eexxx220ln(1)lim;xexex 222ln(1)22001ln(1)2limlimxxxxxe exexx 2220ln(1)2limxxxeex 220(1)(1ln(1)lim0.xxxexx 4514lim5xxx 例例551(
3、5)11(5)12limlim552xxxxxx 3.3.应用泰勒公式应用泰勒公式 23012limxxxexx 例例23310()26xxxexx,32333000()1162limlim6xxxxxxexxx 5121lim(1)sinnnkkknn 例例3511sin3!5!xxxx 332622sin6kkkknnnn 111220115lim(1)sinlim(1)(1),6nnnnkkkkk kxxdxnnnn 3333331116632111(1)0().6333nnnkkkk kknnnnnn 1215lim(1)sin.6nnkkknn 64.4.用定积分(二重积分)、导数用
4、定积分(二重积分)、导数 定义求极限:定义求极限:22211111 limlim1()nnnnkknknknn 例例1201tan104dxarcxx 1112lim12nnnnn例例 求求极极限限1111lim12111nnnnnn1011dxx ln2.72203()11(1)0,(sincos)(1)2lim.tanxf xxxffxxfxxx 例例 设设在在的的附附近近有有定定义义,且且在在处处可可导导,求求极极限限22022220(sincos)limtan(1sincos1)(1)sincos1limsincos1tanxxfxxxxxfxxfxx=xxxxx 解解:220sinc
5、os1(1)limtanxxxfxxx 20cos(1cos)2limtanxxxxxx 220122limtanxxxxx 0limtanxxxx 011limtan21xxx 85.5.由递推关系求极限由递推关系求极限1(3)30(3)22nnnnnxxxxx 解解:nx有有界界1(3)(3)0nnnnnnnnxxxxxxxx nx单单调调增增加加limnnxl 存存在在1(3)nnnxxx 在在两两边边取取极极限限(3)lll32l9二、分段函数(连续、求导)二、分段函数(连续、求导)2(1)(1)()lim().1n xn xnx eaxbf xf xe 例例设设,讨讨论论的的连连续续
6、性性与与可可导导性性2,1;1(),1;2,1.xxabf xxaxbx 解解:(1)1,(1),1(1)2ffababf 1()1.abf xx 当当时时,在在处处连连续续1(1)2,(1),abffa当当时时,2,1ab 当当时时,()1.f xx 在在处处可可导导10 分段函数导数的计算,各区间内部用导数公式求导;分段函数导数的计算,各区间内部用导数公式求导;而在分点处,则需用导数定义计算两个单侧导数。若函而在分点处,则需用导数定义计算两个单侧导数。若函数在分点处连续,其单侧导数仍可以直接利用导数公式数在分点处连续,其单侧导数仍可以直接利用导数公式求导。求导。二、分段函数(连续、求导)二
7、、分段函数(连续、求导)11三、微分中值定理及应用(含泰勒公式、积分中值定理)三、微分中值定理及应用(含泰勒公式、积分中值定理):()1(),fxf xx 分分析析由由积积分分得得()(),().F xf xxF x 构构造造证证明明存存在在稳稳定定点点11(0)0,(1)1,().22FFF 0121()F x12()()1()1()ffff 分分析析:()()xF xef xx 令令()()()()1.xf xxxfx 取取,恰恰满满足足1211(0)0,(1),().22FFeFe ().F x证证明明存存在在稳稳定定点点012113acb1 2 141)()()(1),.F xf xx
8、 构构造造证证明明 是是其其零零点点(0)1,(1)1.FF 2)()0,1f x在在上上分分别别用用中中值值定定理理,.联联系系几几何何意意义义1515()0,1(0,1)(0)(1)0,()1211)(,1),()22)(0,),()()1.112f xffffff 例例 设设在在上上连连续续,在在内内可可导导,证证明明:使使得得;使使得得(届届决决赛赛分分)11)()(),12F xf xx证证明明:取取,在在用用零零点点定定理理;2)()()0,.xG xef xx 取取,在在上上用用罗罗尔尔定定理理16006()(,)()0 lim()0,lim()0,()0.()0(,)2.(21
9、5)xxf xfxfxfxxf xf x 例例 设设在在内内具具有有二二阶阶导导数数,且且存存在在一一点点,使使得得证证明明方方程程在在内内恰恰有有 个个实实根根届届预预赛赛分分0lim()0()0.2xfxaxfa 证证明明:由由,使使得得()0()fxfx由由()()0.2xafxfa ,()()()()f xf afxa 由由中中值值定定理理()()2f axa 2()()0f axaxaf x 当当且且时时,;()()0.bbaf b故故存存在在,使使得得0,()0.xbxf x在在上上用用介介值值定定理理,使使得得0lim()0,()0.2xfxaxfa 同同样样,由由,使使得得17
10、0lim()0,()0.2xfxaxfa 同同样样,由由,使使得得()()()()()()02f xf afxaf axa ()()0.bbaf b故故,使使得得0,()0.bxxf x在在上上用用介介值值定定理理,使使得得从而方程至少从而方程至少2 2个根个根.反证易得只有反证易得只有2 2个根个根.123123()()()0,.f xf xf xxxx设设1223(,),()0;(,),()0.xxfxxf则则存存在在存存在在(),()0.fxf 在在区区间间上上用用中中值值定定理理,存存在在,()0.fx 与与矛矛盾盾18泰勒公式的应用泰勒公式的应用7()1,13(1)0(1)1(0)0
11、(1,1)()3.f xffff 例例 设设在在上上具具有有 阶阶连连续续导导数数,且且,求求证证:,使使得得2311(0)10(1)(0)(1)()(1)(10)2!6ffff 2322(0)11(1)(0)1()1(01)2!6ffff 12()()6ff两两式式作作差差,得得12(),fx 在在上上连连续续121()().2mffM12,(1,1)由由介介值值定定理理,使使得得121()()()3.2fff3 3届预赛届预赛1515分分19四、(不)定积分的计算四、(不)定积分的计算1、基本概念和计算、基本概念和计算2201()()3()2().f xf xxf x dxf x 例例 设
12、设连连续续,且且,求求210:3.3x 答答案案3312()().sincosfxf xxx 例例 设设,求求3322221()sincos1(sincos)(sincossincos)2sin-cos(2)(1)22sincos2lnarctan(sincos).632sincosf xdxxxdxxxxxxxdtxxtttxxxxCxx 解解:令令20030,(1,2,)sxnnsIex dx n 例例 设设求求0000111:sxnnsxsxnsxnnnIex dxx deexedxssnIs 解解1201-1!=.nnnnnnn nnnIIIIsssss 从从而而,212、定积分的换元
13、法、分部积分的应用、定积分的换元法、分部积分的应用401sin211sin2xdxx 例例4tx 401cos21cos2tdtt 24202sin2costdtt 224400tan(sec1)tdttdt40tan144t 2021tanadxx 例例2tt 201cotadtt 20tan1tanaatdtt 2200tan21tan1tanaaadxtdtIxt20(1tan)1tan2aax dxx .4I sincos520sin38xxeexIdx 例例cossinsin2220002xtxedx txedtedx 1=.152242ln(9)4ln(9)ln(3)xIdxxx
14、例例9339xtxt 解解:令令42ln(9)ln(9)ln(3)xIdxxx 24ln(3)ln(3)ln(9)tdttt 42ln(3)ln(3)ln(9)tdttt 42ln(3)ln(3)ln(9)xdxxx 422d21.IxI=()()bbaaf x dxxtabf abt dt 一一般般地地,令令2300sin5()().xtf xdtf x dxt 例例设设,求求000()()()f x dxxf xxfx dx 解解:00sinsintxxdtdxtx 00sinsintttdtdttt 00sinsin2.ttdttdtt 24五、变限积分问题(含参量积分)五、变限积分问题
15、(含参量积分)22201(1)(),.xd yfyxf t dtdx 例例设设 具具有有一一阶阶导导数数,求求2326()4()xf xx fx 22223sin(),.xytdtd FF xdytdx (2)(2)设设求求220(3)cos,.yxdyxytdtdx 设设求求221cos().cos()2yxyyxy()Fx 23sin;xtdtt 22222sind Fxxdxx 22sin.xx 212cos()(1)y yyxy25262cos xtu 解解:令令,221sin2sincos2(cos)()xxxyfxt dtf u du 2sin2(sin)2sin2(cos2).d
16、yxfxxfxdx一般方法:一般方法:(1)当参数以因子形式出现在积分号内时,则将含参数的因子)当参数以因子形式出现在积分号内时,则将含参数的因子移到积分号外面;移到积分号外面;(2)如无法将含参数的部分移到积分号外面,则引入变量替换。)如无法将含参数的部分移到积分号外面,则引入变量替换。27000()()4(0)0,lim.()xxxxt f t dtffxf xt dt 例例设设 连连续续,求求00()()xxxf xt dt xtu xf u du 解解:0()xxf t dt 000()()lim()xxxxt f t dtxf t dt 原原式式0000()()lim()xxxxxf
17、 t dttf t dtxf t dt 000()()()lim()()xxxf t dtxf xxf xf t dtxf x 洛必达法则洛必达法则 000()lim()()xxxf t dtf t dtxf x 洛必达法则洛必达法则?0()lim()()xxfxfxf x 0()lim()()xfff x (0)1.2(0)2ff积分中值定理积分中值定理28 001212125()0,()d0()cos d0.00()()0.f xf xxf xx xff 例例 设设在在上上连连续续,=,=求求证证:存存在在,使使0()(),(0)()().xF xf t dtxFxf x 证证明明:令令,
18、则则.fF的的零零点点即即是是 的的稳稳定定点点(0)0,()0.FF 显显然然有有:00()cos df xx x 000cos dcossin dx F x=F xxF xx x()()()0sin d.F xx x ()()sin(0,)F xx 在在内内不不可可能能恒恒为为正正(或或负负),0sin0F=所所以以存存在在,使使得得,sin0()0.F而而29100()6()()()lim()()0.xf xf xg xf xt dtAgxxgxx 例例 设设连连续续,且且,求求,并并讨讨论论在在处处的的连连续续性性(0)0,(0)0.fg解解:易易见见0011()()()(0)xxux
19、tg xf u duf u duxxx令令,则则02()()0()xxf xf u duxgxx 当当时时,0()(0)(0)limxg xggx 001()limxxf u duxx 020()limxxf u dux 2A 0200()()lim()limxxxxf xf u dugxx 0200()()limlimxxxf u duf xxx 2A 30六、二重积分和三重积分六、二重积分和三重积分()ln(1)111.DyxyxdxdyDxyxy 例例 计计算算,其其中中 由由直直线线与与坐坐标标轴轴围围成成的的三三角角形形区区域域解:利用二重积分的坐标变换:解:利用二重积分的坐标变换:
20、,(,)1xx xytxx ytx J x t 令令,11,0.xytytx()ln(1)(lnln)11Dyxyttxxdxdydxdtxyt 100(lnln)1ttdttx dxt 2101tdtt 122012(1)tuudu 令令16.15 xt312222222222(,)1101.lxyzcbalabc 例例 设设 是是过过原原点点,方方向向为为,(其其中中)的的直直线线,均均匀匀椭椭球球(其其中中,密密度度为为)绕绕 旋旋转转(1)求其转动惯量;)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向)求其转动惯量关于方向(,)的最大值和最小值的最大值和最小值.【2届预赛,届预赛,15分分】
21、21)Id dV 解解:OQPld2222222()dOPOQxyzOQ222(,)(,)OQx y zxyz 2222222(1)(1)(1)2()dxyzxyyzzx2()0.xyyzzx dV 其其中中222222(1)(1)(1)Ixyz dV 2222224(1)(1)(1)15abcabc 322222222222(,)1101.lxyzcbalabc 例例 设设 是是过过原原点点,方方向向为为,(其其中中)的的直直线线,均均匀匀椭椭球球(其其中中,密密度度为为)绕绕 旋旋转转(1)求其转动惯量;)求其转动惯量;(2)求其转动惯量关于方向)求其转动惯量关于方向(,)的最大值和最小值
22、的最大值和最小值.【2届预赛,届预赛,15分分】2222222224(,)(1)(1)(1)151.abcIabc 考考察察目目标标函函数数在在约约束束条条件件下下的的条条件件极极值值2222maxmin44()()()().1515abcabcIabzIbcx绕绕 轴轴;绕绕 轴轴33222222121222211:10:217.xyzabczxyabc例例 设设,为为与与的的交交线线,求求椭椭圆圆面面在在 上上各各点点的的切切平平面面到到原原点点的的距距离离的的最最大大值值和和最最小小值值(届届决决赛赛分分)六、极值与条件极值问题六、极值与条件极值问题34七、曲线、曲面积分的计算七、曲线、
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