八年级数学竞赛培优训练勾股定理及其逆定理含解析.doc

1、 勾股定理及其逆定理 【思维入门】 1在ABC 中，若 AC 17，BC 10，AB 13，则ABC 的面积为 ( ) A. 10 B2 3 C.11 2 D6 2如图 161，点 E 在正方形 ABCD 内，满足AEB90.AE6，BE8，则阴影 部分的面积是 ( ) A48 B60 C76 D80 图 161 3如图162，在ABC中，ABAC，ADBC于点D.若AB6，CD4，则ABC 的周长是_ 图 162 4等腰ABC 中，ABAC10 cm，BC12 cm，则 BC 边上的高是_cm. 5如图163，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一 个小正方形密铺成的大

2、正方形若小正方形与大正方形的面积之比为113，则直角 三角形较短的直角边 a 与较长的直角边 b 的比值为_ 6如图 164，RtABC 中，C90，AD 平分CAB，DEAB 于 E，若 AC 图 163 6，BC8，CD3. (1)求 DE 的长； (2)求ADB 的面积 图 164 【思维拓展】 7如图 165，在矩形 ABCD 中，AB2，BC3，AE 是BAD 的平分线，EF AE，则 AF 的长为 ( ) 图 165 A3 2 B4 C2 5 D. 10 8如图 166，已知直角三角形的一直角边长是 4，以这个直角三角形的三边为直径 作三个半圆，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的

3、面积之和是 10，那么以下四个 整数中，最接近图中两个弓形(带点的阴影图形)面积之和的是 ( ) 图 166 A6 B7 C8 D9 9如图 167，矩形纸片 ABCD中，AB3，AD9，将其折叠，使点D与点B重 合，得折痕 EF，则 EF 的长为 ( ) 图 167 A. 3 B2 3 C. 10 D.3 10 2 10如图 168，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，DC 的中点，AM4， AN3，且MAN60，则 AB 的长是_ 11如图169，矩形ABCD中，E是AB的中点，将ADE沿DE折叠后得到GDE， 且点 G 在矩形 ABCD 的内部，延长 DG 交 BC 于点

4、F，若 F 恰是 BC 的中点，则AB AD的 值是_ 12在长方形纸片 ABCD 中，AB1，BC2，设 E 为 AB 的中点，现将纸片折叠，使 A，E 重合，则折痕将长方形纸片分成两部分，那么较大部分面积与较小部分面积之 比的值为_ 13如图 1610，在ABC 中，ACB90.ACBC，延长 AB 至点 D，使 DB 图 169 图 168 AB，连结 CD，以 CD 为直角边作等腰三角形 CDE，其中DCE90，连结 BE. (1)求证：ACDBCE； (2)若 AC3 cm，则 BE_cm. 图 1610 【思维升华】 14已知ABC 中，ABAC2，点 D 在 BC 边的延长线上，

5、AD4，则 BD CD ( ) A16 B15 C13 D12 15如图 1611 所示，P 是长方形 ABCD 内一点，已知 PA3，PB4，PC5，则 PD2的值为 _ 图 1611 16两条直角边分别是整数 a，b(其中 b2 011)，斜边长是 b1 的直角三角形的个数为 _ 17如图 1612 已知 A，B，C，D，E 为平面内的 5 个点，AB8 cm，BC2 cm， AD5 cm，DE1 cm，AC10 cm，AE6 cm，CD与 BE 交于点 F，EAB 的面积为 24 cm2. (1)求证：EAC90； (2)求线段 AF 的长； (3)设FAC 的平分线交 CD 于点 P，

6、DAF 的平分线交 CD 于点 N，求证：AN PN.(可能用到的结论：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那 么 a2b2c2.) 第 6 讲 勾股定理及其逆定理 【思维入门】 1在ABC 中，若 AC 17，BC 10，AB 13，则ABC 的面积为 ( C ) A. 10 B2 3 C.11 2 D6 2如图 161，点 E 在正方形 ABCD 内，满足AEB90.AE6，BE8，则阴影 部分的面积是 ( C ) A48 B60 C76 D80 图 161 3如图162，在ABC中，ABAC，ADBC于点D.若AB6，CD4，则ABC 的周长是_20_ 图 162

7、4等腰ABC 中，ABAC10 cm，BC12 cm，则 BC 边上的高是_8_cm. 【解析】 设 AD 是 BC 边上的高 ABAC10 cm，BC12 cm，BDCD6 cm， 图 1612 在直角ABD 中，由勾股定理得 AD AB2BD2 102628(cm) 5如图163，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一 个小正方形密铺成的大正方形若小正方形与大正方形的面积之比为113，则直角 三角形较短的直角边 a 与较长的直角边 b 的比值为_23_ 【解析】 小正方形与大正方形的面积之比为 113， 设大正方形的面积是 13，边长为 c， c213，a2b2c21

8、3， 直角三角形的面积是131 4 3， 又直角三角形的面积是1 2ab3，ab6， (ab)2a2b22abc22ab13261312 25，ab5. 小正方形的面积为(ba)21， b3，a2，a b 2 3. 6如图 164，RtABC 中，C90，AD 平分CAB，DEAB 于 E，若 AC 6，BC8，CD3. (1)求 DE 的长； (2)求ADB 的面积 图 164 解：(1)在 RtABC 中，C90， ACCD.又AD 平分CAB，DEAB， 图 163 DECD，又CD3， DE3； (2)在 RtABC 中，C90，AC6，BC8， AB AC2BC2 628210. S

9、ADB1 2ABDE 1 210315. 【思维拓展】 7如图 165，在矩形 ABCD 中，AB2，BC3，AE 是BAD 的平分线，EF AE，则 AF 的长为 ( D ) 图 165 A3 2 B4 C2 5 D. 10 8如图 166，已知直角三角形的一直角边长是 4，以这个直角三角形的三边为直径 作三个半圆，已知两个月牙形(带斜线的阴影图形)的面积之和是 10，那么以下四个 整数中，最接近图中两个弓形(带点的阴影图形)面积之和的是 ( A ) 图 166 A6 B7 C8 D9 【解析】 如答图， 第 8 题答图 AC4，S1S210，设 BCa， S1S2S3S41 22 21 2

10、 1 4a 22 8 a2， S3S42 8 a210. 又AB242a216a2， S3S41 2 16a2 4 1 24a 8 a222a. 得，2 8 a210 8 a222a， 解得 a5， S3S42 8 a2102 8 25106.1. 9如图 167，矩形纸片 ABCD 中，AB3，AD9，将其折叠，使点 D 与点 B 重 合，得折痕 EF，则 EF 的长为 ( C ) 图 167 A. 3 B2 3 C. 10 D.3 10 2 【解析】 因为 BEED，AD9，所以 BEAE9，根据勾股定理得 AE2AB2 BE2，得 AE4，BE5，易得 BFBE，过点 E 作 EGBF

11、于 G，GF541，EF EG2FG2 10. 10如图 168，在平行四边形 ABCD 中，M，N 分别是 BC，DC 的中点，AM4， AN3，且MAN60，则 AB 的长是_14 3 _ 【解析】 延长 AM 交 DC 的延长线于 F，则 AMBFMC. 则 CFAB，则 NF3 2AB，过 N 作 NH 垂直 AF 于 H， 则 AH1 2AN 3 2，NH 3 3 2 ，故 HF243 2 13 2 ， NF 3 3 2 2 13 2 2 7.所以 AB2 3NF 14 3 . 11如图169，矩形ABCD中，E是AB的中点，将ADE沿DE折叠后得到GDE， 且点 G 在矩形 ABC

12、D 的内部，延长 DG 交 BC 于点 F，若 F 恰是 BC 的中点，则AB AD的 值是_ 2_ 【解析】 设 AEa，BFb，易知EGFEBF，故 GFBFb，又 ADDG 2b，故 DF3b，由勾股定理得(2a)2b2(3b)2，解得 a 2b，故AB AD 2. 12在长方形纸片 ABCD 中，AB1，BC2，设 E 为 AB 的中点，现将纸片折叠，使 A，E 重合，则折痕将长方形纸片分成两部分，那么较大部分面积与较小部分面积之 比的值为_3_ 【解析】 如答图， E 为边 AB 的中点， AEBE1 2AB 1 2. 设折痕与 AB 的交点为 F， 由折叠的性质得，AFEF1 2A

13、E 1 2 1 2 1 4， 图 169 第 12 题答图 图 168 BF1 2 1 4 3 4，又BC2， 较大部分面积为3 42 3 2， 较小部分面积为1 42 1 2， 故较大部分面积与较小部分面积之比为 31. 13如图 1610，在ABC 中，ACB90.ACBC，延长 AB 至点 D，使 DB AB，连结 CD，以 CD 为直角边作等腰三角形 CDE，其中DCE90，连结 BE. (1)求证：ACDBCE； (2)若 AC3 cm，则 BE_6 2_cm. 图 1610 解：(1)证明：等腰三角形 CDE 中，DCE90， CDCE.ACB90， DCEBCDACBBCD， 即

14、BCEACD. 又ACBC，ACDBCE； (2)AC3 cm，AB3 2 cm， 则 BEAD2AB6 2 cm. 【思维升华】 14已知ABC 中，ABAC2，点 D 在 BC 边的延长线上，AD4，则 BD CD ( D ) A16 B15 C13 D12 【解析】 作 AHBC 于点 H，则 H 为 BC 的中点，所以 BDCD(BHDH)(DHCH)(DHCH) (DHCH)DH2CH2DH2AH2 (AH2CH2)AD2AC2422212. 15如图 1611 所示，P 是长方形 ABCD 内一点，已知 PA3，PB4，PC5，则 PD2的值为 _18_ 图 1611 【解析】 如

15、答图，过 P 作 AD，AB 的平行线，原矩形被分成四个小矩形 由勾股定理得 PA2a2b2，PC2c2d2， PB2b2c2，PD2a2d2. 因此，PA2PC2PB2PD2， 即 325242PD2，解得 PD218. 16两条直角边分别是整数 a，b(其中 b2 011)，斜 边长是 b1 的直角三角形的个数为_31_ 【解析】 两条直角边长分别是整数 a，b(其中 b2 011)，斜边长是 b1， a2(b1)2b22b1，a2为奇数， b 是整数，b2 011， a2是 1 到 4 023 之间的奇数，而且是完全平方数，这样的数共有 31 个，即 32， 52，632. a 可以为

16、3，5，63， 满足条件的直角三角形的个数为 31. 17如图 1612 已知 A，B，C，D，E 为平面内的 5 个点，AB8 cm，BC2 cm， AD5 cm，DE1 cm，AC10 cm，AE6 cm，CD 与 BE 交于点 F，EAB 的面积 为 24 cm2. (1)求证：EAC90； (2)求线段 AF 的长； 第 15 题答图 图 1612 (3)设FAC 的平分线交 CD 于点 P，DAF 的平分线交 CD 于点 N，求证：AN PN.(可能用到的结论：如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那 么 a2b2c2.) 解：(1)证明：由 ADDEAE，知 A

17、，D，E 共线 由 ABBCAC，知 A，B，C 共线 如答图，从点 E 作 AB 的垂线 EH，垂足为 H，则由 EAB 的面积为 24 cm2，得1 2 EH AB24. 即 8EH48，所以 EH6 cmEA. 故 A 点与 H 点重合， 因此 EAAB.即EAC90 ； (2)如答图，从点 F 分别作 AE，AC 的垂线，垂足分别是点 G，K.设 FGx cm，FK y cm，则 S AEFS AFBS AEB， S ADFS AFCS ADC， 即 6x8y48， 5x10y50. 解得 x4，y3. 在直角 AFK 中，AKFG4 cm，FK3 cm， 由 AK2FK2AF2得 AF2423225， 所以 AF5 cm； (3)由 ADAF5，可得ADFAFD， 因为 AN 平分DAF，所以DANFAN. 于是ADFDAN AFDFAN1 2 180 90 ， 所以DNA180 90 90 . 又因为 AP 平分FAC，所以FAPCAP， 于是NAPFANFAP DANPAC1 2EAC45 ， 可得APN180 ANFNAP45 ， 第 17 题答图 第 17 题答图 所以NAPAPN.故 ANPN.