八年级竞赛培优训练直角三角形含解析.doc

1、 直角三角形 【思维入门】 1在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60 ，则另一个锐角的度数是 ( ) A120 B90 C60 D30 2如图 151，ABC 中，ABAC10，BC8，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 的中点，连结 DE，则CDE 的周长为 ( ) A20 B12 C14 D13 图 151 3如图 152，RtABC 中，ACB90，点 D 为斜边 AB 的中点，AB10 cm， 则 CD 的长为_cm. 图 152 4将一副三角板拼成如图 153 所示的图形，过点 C 作 CF 平分DCE 交 DE 于点 F. (1)求证：CFAB； (2)求DF

2、C 的度数 图 153 5如图 154，在ABC 中，ABCB，ABC90，D 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边上，且 BEBD，连结 AE，DE，DC. (1)求证：ABECBD； (2)若CAE30，求BDC 的度数 【思维拓展】 6如图 155，在 RtABC 中，D，E 为斜边 AB 上的两个点，且 BDBC，AE AC，则DCE 的大小为_. 图 155 7如图 156，ABC 中，ABAC，DE 垂直平分 AB，BEAC，AFBC，则 EFC_ 图 156 8如图 157，ABC90，D，E 分别在 BC，AC 上，ADDE，且 ADDE，点 F 是 AE 的中点，FD

3、 与 AB 延长线相交于点 M. (1)求证：FMCFCM； (2)AD 与 MC 垂直吗？并说明理由 图 154 图 157 9如图158，在ABC中，ACB90，ACBC，E为AC边的中点，过点A作 ADAB 交 BE 的延长线于点 图 158 DCG 平分ACB 交 BD 于点 G，F 为 AB 边上一点，连结 CF，且ACFCBG. 求证： (1)AFCG； (2)CF2DE. 【思维升华】 10如图 159，有一块直角三角板 XYZ 放置在ABC 上，恰好三角板 XYZ 的两条直 角边 XY，XZ 分别经过点 B，C，若A40，则ABXACX ( ) 图 159 A25 B30 C4

4、5 D50 11如图 1510，直线 l 平行于射线 AM，要在直线 l 与射线 AM 上各找一点 B 和 C， 使得以 A，B，C 为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_ 个 图 1510 12如图 1511，点 P 在ABC 的 BC 边上，且 PC2PB，若ABC45，APC 60，则ACB 的度数是_ 图 1511 13如图 1512，在ABC 中，ACBC，且ACB90，点 D 是 AC 上一点，AE BD，交 BD 的延长线于点 E，且 AE1 2BD，则ABD_ 图 1512 14如图 1513，在ABC 中，ACB90，M 是CAB 的平分线 AL 的中点，延

5、长 CM 交 AB 于 K，BKBC，则CAB_，ACK KCB_ 图 1513 15如图 1514，已知BAD 和BCE 均为等腰直角三角形，BADBCE 90，点 M 为 DE 的中点过点 E 与 AD 平行的直线交射线 AM 于点 N. (1)当 A，B，C 三点在同一直线上时(如图 1514)，求证：M 为 AN 的中点； (2)将图 1514中BCE 绕点 B 旋转，当 A，B，E 三点在同一直线上时(如图 1 514)，求证：CAN 为等腰直角三角形； (3)将图 1514中BCE 绕点 B 旋转到图的位置时，(2)中的结论是否仍然成 立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由 图

6、 1514 第 5 讲 直角三角形 【思维入门】 1在一个直角三角形中，有一个锐角等于 60 ，则另一个锐角的度数是 ( D ) A120 B90 C60 D30 2如图 151，ABC 中，ABAC10，BC8，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，点 E 为 AC 的中点，连结 DE，则CDE 的周长为 ( C ) A20 B12 C14 D13 图 151 【解析】 ABAC，AD 平分BAC，BC8， ADBC，CDBD1 2BC4， 点 E 为 AC 的中点， DECE1 2AC5， CDE 的周长CDDECE45514. 3如图 152，RtABC 中，ACB90，点 D 为斜边

7、AB 的中点，AB10 cm， 则 CD 的长为_5_cm. 图 152 4将一副三角板拼成如图 153 所示的图形，过点 C 作 CF 平分DCE 交 DE 于点 F. (1)求证：CFAB； (2)求DFC 的度数 图 153 解：(1)证明：DCE90，CF 平分DCE， DCF45， ABC 是等腰直角三角形， BAC45，BACDCF，CFAB； (2)D30， DFC1803045105. 5如图 154，在ABC 中，ABCB，ABC90，D 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边上，且 BEBD，连结 AE，DE，DC. (1)求证：ABECBD； (2)若CAE30，求

8、BDC 的度数 解：(1)证明：ABC90， DBE180ABC1809090， ABECBD. 在ABE 和CBD 中， ABCB， ABECBD， EBDB， ABECBD； (2)ABCB，ABC90， ABC 是等腰直角三角形， ECA45. CAE30，BEAECAEAC， BEA453075. 由知BDCBEA. 图 154 BDC75. 【思维拓展】 6如图 155，在 RtABC 中，D，E 为斜边 AB 上的两个点，且 BDBC，AE AC，则DCE 的大小为_45_. 图 155 【解析】 设DCEx，ACDy，则ACExy，BCE90ACE90 xy. AEAC， ACE

9、AECxy， BDBC， BDCBCDBCEDCE90xyx90 y. 在DCE 中，DCECDEDEC180， x(90 y)(xy)180， 解得 x45， DCE45. 7如图 156，ABC 中，ABAC，DE 垂直平分 AB，BEAC，AFBC，则 EFC_45_ 图 156 8如图 157，ABC90，D，E 分别在 BC，AC 上，ADDE，且 ADDE，点 F 是 AE 的中点，FD 与 AB 延长线相交于点 M. (1)求证：FMCFCM； (2)AD 与 MC 垂直吗？并说明理由 图 157 解：(1)证明：ADE 是等腰直角三角形，F 是 AE 的中点， DFAE，DFA

10、FEF. 又ABC90，DCF，AMF 都与MAC 互余， DCFAMF. 又DFCAFM90， DFCAFM. CFMF. FMCFCM； (2)ADMC. 由(1)知MFC90，FDFE，FMFC， FDEFMC45， DECM， ADMC. 9如图158，在ABC中，ACB90，ACBC，E为AC边的中点，过点A作 ADAB 交 BE 的延长线于点 图 158 DCG 平分ACB 交 BD 于点 G，F 为 AB 边上一点，连结 CF，且ACFCBG. 求证： (1)AFCG； (2)CF2DE. 证明：(1)ACB90，CG 平分ACB，ACBC. BCGCAB45， 又ACFCBG，

11、ACBC， ACFCBG(ASA)，AFCG； (2)如答图，延长 CG 交 AB 于点 H. ACBC，CG 平分ACB，CHAB，H 为 AB 的中点， 又ADAB，CHAD， G 为 BD 的中点，DEGC， E 为 AC 的中点，AEEC， 又AEDCEG， AEDCEG， DEEG， DG2DE，BGDG2DE， 由(1)得 CFBG，CF2DE. 第 9 题答图 【思维升华】 10如图 159，有一块直角三角板 XYZ 放置在ABC 上，恰好三角板 XYZ 的两条直 角边 XY，XZ 分别经过点 B，C，若A40，则ABXACX ( D ) 图 159 A25 B30 C45 D5

12、0 11如图 1510，直线 l 平行于射线 AM，要在直线 l 与射线 AM 上各找一点 B 和 C， 使得以 A，B，C 为顶点的三角形是等腰直角三角形，这样的三角形最多能画_3_ 个 图 1510 【解析】 如答图 AC 为直角边时，符合的等腰直角三角形有 2 个，一个是以BAC 为直角，一个是 以ACB 为直角； AC 为斜边时，符合的等腰直角三角形有 1 个 这样的三角形最多能画 3 个， 12如图 1511，点 P 在ABC 的 BC 边上，且 PC 2PB，若ABC45，APC60，则ACB 的度数是_75_ 图 1511 【解析】 过C作AP的垂线CD，垂足为点D，连结BD.P

13、CD中，APC60， DCP30，PC2PD， PC2PB，BPPD， BPD 是等腰三角形，BDPDBP30， ABP45，ABD15， BAPAPCABC604515， ABDBAD15，BDAD， DBPDCP30， BDDC，BDC 是等腰三角形， 第 11 题答图 第 12 题答图 BDAD，ADDC， CDA90，ACD45， ACBDCPACD75. 13如图 1512，在ABC 中，ACBC，且ACB90，点 D 是 AC 上一点，AE BD，交 BD 的延长线于点 E，且 AE1 2BD，则ABD_22.5_ 图 1512 第 13 题答图 【解析】 延长 AE，BC 交于点

14、 F.AEBE， BEF90，又ACFACB90， DBCAFCFACAFC90， DBCFAC， 在ACF 和BCD 中， ACFBCD90， ACBC， FACDBC， ACFBCD(ASA)， AFBD. 又AE1 2BD， AEEF，即点 E 是 AF 的中点 ABBF，BD 是ABC 的角平分线 ABD22.5. 14如图 1513，在ABC 中，ACB90，M 是CAB 的平分线 AL 的中点，延 长 CM 交 AB 于 K，BKBC，则CAB_45_，ACK KCB_ 1 3_ 图 1513 【解析】 设CAB2. AMML，且ACB90，CMMA， ACMMAC. CKBCAK

15、ACM3， KCB90ACM90. BKBC， CKBKCB. 390，即 22.5. CAB45，ACK KCB 22.5 67.5 1 3. 15如图 1514，已知BAD 和BCE 均为等腰直角三角形，BADBCE 90，点 M 为 DE 的中点过点 E 与 AD 平行的直线交射线 AM 于点 N. (1)当 A，B，C 三点在同一直线上时(如图 1514)，求证：M 为 AN 的中点； (2)将图 1514中BCE 绕点 B 旋转，当 A，B，E 三点在同一直线上时(如图 1 514)，求证：CAN 为等腰直角三角形； (3)将图 1514中BCE 绕点 B 旋转到图的位置时，(2)中

16、的结论是否仍然成 立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由 图 1514 证明：(1)点 M 为 DE 的中点，DMME. ADEN，ADMNEM， 又DMAEMN， DMAEMN， AMMN，即 M 为 AN 的中点； (2)由(1)中DMAEMN 可知 DAEN， 又DAAB，ABNE， ABCNEC135，BCCE， ABCNEC， ACCN，ACBNCE， BCEBCNNCE90， BCNACB90， ACN90，CAN 为等腰直角三角形 (3)由(2)可知 ABNE，BCCE. 又ABC3604545DBE270DBE270(180 BDEBED) 90BDEBED90ADM45BED45MENBED CEN， ABCNEC， 再同(2)可证CAN 为等腰直角三角形， (2)中的结论仍然成立.