复变函数与积分变换 第五章第一节孤立奇点课件.ppt

1、第一节第一节 孤立奇点孤立奇点一、孤立奇点的概念二、函数的零点与极点的关系三、函数在无穷远点的性态四、小结与思考2一、孤立奇点的概念一、孤立奇点的概念定义定义 如果如果函数函数0z)(zf在在 不解析不解析,但但)(zf在在0z的某一去心邻域的某一去心邻域 00zz内处处解析内处处解析,则称则称0z)(zf为为的孤立奇点的孤立奇点.例例10 z是函数是函数zzezsin,1的孤立奇点的孤立奇点.1 z是函数是函数11 z的孤立奇点的孤立奇点.注意注意:孤立奇点一定是奇点孤立奇点一定是奇点,但奇点不一定是孤但奇点不一定是孤立奇点立奇点.3例例2 2 指出函数指出函数0 z在点在点zzzf1sin

2、)(2 的奇点特性的奇点特性.解解 kzz1,0),2,1(k，因为因为01lim kk即在即在0 z的不论怎样小的去心邻域内的不论怎样小的去心邻域内,的奇点存在的奇点存在,函数的奇点为函数的奇点为)(zf总有总有0 z不是孤立奇点不是孤立奇点.所以所以4孤立奇点的分类孤立奇点的分类依据依据)(zf在其孤立奇点在其孤立奇点0z的去心邻域的去心邻域 00zz内的洛朗级数的情况分为三类内的洛朗级数的情况分为三类:1可去奇点可去奇点;2极点极点;3本性奇点本性奇点.如果洛朗级数中不含如果洛朗级数中不含 的负幂项的负幂项,0zz 0z)(zf那末孤立奇点那末孤立奇点 称为称为 的可去奇点的可去奇点.5

3、 000,)()(zzczzzFzf说明说明:)(lim)(00zfzfzz,)(00czf 无论无论在在是否有定义是否有定义,)(zf0z补充定义补充定义则函数则函数在在0z解析解析.)(zf6(1)由定义判断由定义判断:的洛朗级数无负的洛朗级数无负0z)(zf在在如果如果幂项则幂项则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点.(2)判断极限判断极限:)(lim0zfzz若极限存在且为有限值若极限存在且为有限值,则则0z为为)(zf的可去奇点的可去奇点.7如果补充定义如果补充定义:0 z时时,1sin zz那末那末zzsin在在0 z解析解析.例例3 42!51!311sinzzzz中不含负幂项中

4、不含负幂项,0 z是是zzsin的可去奇点的可去奇点.8例例4 说明说明0 z为为zez1 的可去奇点的可去奇点.解解 zez1,!1!2111 nznz z0所以所以0 z为为的可去奇点的可去奇点.zez1 无负幂项无负幂项另解另解 zzzzeze00lim1lim 因为因为0 z所以所以的可去奇点的可去奇点.为为zez1)1!1!211(12 nznzzz,1 洛必达法则洛必达法则91012020)()()()(zzczzczzczfmm)0,1(mcm )(010zzcc,)()(1)(0zgzzzfm 10)(zz,)(0mzz 其中关于其中关于的最高幂为的最高幂为即即级极点级极点.0

5、z)(zfm那末孤立奇点那末孤立奇点称为函数称为函数的的或写成或写成0zz 如果洛朗级数中只有有限多个如果洛朗级数中只有有限多个的的负幂项负幂项,10说明说明:20201)()()(zzczzcczgmmm1.内内是是解解析析函函数数在在 0zz2.0)(0 zg特点特点:(1)(2)的极点的极点,则则0z)(zf为函数为函数如果如果.)(lim0 zfzz例例5 有理分式函数有理分式函数,)2(23)(2 zzzzf是二级极点是二级极点,0 z2 z是一级极点是一级极点.11)(zf的负幂项为有的负幂项为有0zz 的洛朗展开式中含有的洛朗展开式中含有限项限项.在点在点 的某去心邻域内的某去心

6、邻域内0zmzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的邻域内解析的邻域内解析,且且 )(zg0z.0)(0 zg )(lim0zfzz12课堂练习课堂练习求求1123 zzz的奇点的奇点,如果是极点如果是极点,指出它的指出它的级数级数.答案答案 1123zzz由于由于,1:是是函函数数的的一一级级极极点点所所以以 z.1是是函函数数的的二二级级极极点点 z,)1)(1(12 zz133.如果洛朗级数中含有无穷多个如果洛朗级数中含有无穷多个0zz 那末孤立奇点那末孤立奇点0z称为称为)(zf的本性奇点的本性奇点.的负幂项的负幂项,例如，例如，,!1!211211 nzznzze)0(z含有无

7、穷多个含有无穷多个z的负幂项的负幂项 特点特点:在本性奇点的邻域内在本性奇点的邻域内)(lim0zfzz不存在且不不存在且不为为.为为本本性性奇奇点点，所所以以0 z同时同时zze10lim不存在不存在.14综上所述综上所述:孤立奇点孤立奇点可去奇点可去奇点m级极点级极点本性奇点本性奇点洛朗级数特点洛朗级数特点)(lim0zfzz 存在且为存在且为有限值有限值不存在不存在且不为且不为 无负幂项无负幂项含无穷多个负幂项含无穷多个负幂项含有限个负幂项含有限个负幂项10)(zzmzz )(0关于关于的最高幂的最高幂为为15二、函数的零点与极点的关系二、函数的零点与极点的关系1.零点的定义零点的定义不

8、恒等于零的解析函数不恒等于零的解析函数)(zf如果如果能表示成能表示成),()()(0zzzzfm )(z 0z其中其中在在,0)(0 z 解析且解析且m为某一正整数为某一正整数,那末那末0z称为称为)(zf的的 m 级零点级零点.例例6的一级零点，的一级零点，是函数是函数3)1()(0 zzzfz注意注意:不恒等于零的解析函数的零点是孤立的不恒等于零的解析函数的零点是孤立的.)1()(13的三级零点的三级零点是函数是函数 zzzfz162.零点的判定零点的判定零点的充要条件是零点的充要条件是证证 (必要性必要性)由定义由定义:)()()(0zzzzfm 设设0)(zz 在在 的泰勒展开式为的

9、泰勒展开式为:,)()()(202010 zzczzccz 0zm0z如果如果在在解析解析,那末那末为为的的级级)(zf)(zfm0z如果如果为为的的级零点级零点)(zf;)1,2,1,0(,0)(0)(mnzfn.0)(0)(zfm17的的泰泰勒勒展展开开式式为为在在从从而而0)(zzf10100)()()(mmzzczzczf 202)(mzzc其中其中,0)(00 zc 展开式的前展开式的前m项系数都为零项系数都为零,由泰勒级数的系数由泰勒级数的系数公式知公式知:);1,2,1,0(,0)(0)(mnzfn并且并且.0!)(00)(cmzfm充分性证明略充分性证明略.1803)(2 kz

10、zkzzf知知kzz 是是)(zf的一级零点的一级零点.课堂练习课堂练习0 z是五级零点是五级零点,iz 是二级零点是二级零点.知知是是)(zf的一级零点的一级零点.kz 解解(2)由于由于kzzkf cos)(答案答案例例7 求以下函数的零点及级数求以下函数的零点及级数:,1)(3 zzf(1)(2).sin)(zzf 225)1()(zzzf的零点及级数的零点及级数.求求,0)1(k,231,10)()1(izzzf 得得令令19定理定理如果如果0z是是)(zf的的 m 级极点级极点,那末那末0z就是就是)(1zf的的 m 级零点级零点.反过来也成立反过来也成立.证证如果如果0z是是)(z

11、f的的 m 级极点级极点,则有则有)()(1)(0zgzzzfm )0)(0 zg当当 时时,0zz )(1)()(10zgzzzfm )()(0zhzzm )(0zh.0)(0 zh函数函数在在0z解析且解析且20由于由于,0)(1lim0 zfzz只要令只要令,0)(10 zf 那末那末0z)(1zf的的 m 级零点级零点.就是就是反之如果反之如果 0z)(1zf的的 m 级零点级零点,是是那末那末),()()(10zzzzfm 当当 时时,0zz ),()(1)(0zzzzfm )(1)(zz 解析且解析且0)(0 z 所以所以0z是是)(zf的的 m 级极点级极点.21说明说明 此定理

12、为判断函数的极点提供了一个较为此定理为判断函数的极点提供了一个较为简便的方法简便的方法.例例8 函数函数zsin1有些什么奇点有些什么奇点,如果是极点如果是极点,指出指出它的级它的级.解解 函数的奇点是使函数的奇点是使0sin z的点的点,这些奇点是这些奇点是.)2,1,0(kkz是孤立奇点是孤立奇点.kzkzzzcos)(sin因因为为的一级零点，的一级零点，是是所以所以zkzsin ,0)1(kzsin1的一级极点的一级极点.即即22),(1!3!211zzzz 解解 0221!11nnznzzze解析且解析且0)0(所以所以0 z不是二级极点不是二级极点,而是一级极点而是一级极点.0 z

13、是是3sinhzz的几级极点的几级极点?思考思考例例9 问问0 z是是21zez 的二级极点吗的二级极点吗?注意注意:不能以函数的表面形式作出结论不能以函数的表面形式作出结论.23四、小结与思考四、小结与思考 理解孤立奇点的概念及其分类理解孤立奇点的概念及其分类;掌握可去奇掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征点、极点与本性奇点的特征;熟悉零点与极点的熟悉零点与极点的关系关系.24.)1(1)(33的孤立奇点的类型的孤立奇点的类型确定函数确定函数 zezzf思考题思考题25,60级零点级零点是分母的是分母的 z思考题答案思考题答案.6)(级极点级极点的的也即是函数也即是函数zf放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.