复变函数习题课课件.ppt

1、第七章第七章 FourierFourier变换变换一、求古典傅里叶变换、积分一、求古典傅里叶变换、积分二、广义傅里叶变换广义傅里叶变换三、利用性质计算傅里叶变换利用性质计算傅里叶变换机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 四、综合应用机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 2FourierFourier积分定理积分定理FourierFourier变换变换性质性质线性性质线性性质位移性质位移性质积分性质积分性质*对称性质对称性质相似性质相似性质 函数函数广义广义FourierFourier变换变换微分性质微分性质Fourier变换的应用机动机动 目录目录

2、上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 3一、求古典傅里叶变换、积分并验证广义积分结果一、求古典傅里叶变换、积分并验证广义积分结果tetfFtid)()(d)(21)(tieFtf 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 4例例1 求下列函数的傅立叶变换求下列函数的傅立叶变换.tttttf1,010,101,11,0)()1(.,0,1)()2(其他其他 ttf解解（1）tetfFtid)()(1001ddtetetiti i)cos1(2 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 5(2)tetfFtid)()(tetid1 .sin2 在连续点处在连续

3、点处 dsin221)(tietf 0tdcossin2 所以所以机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 6 0tdcossin .,0,4,2,4,0 ttttt机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 7.|,0|,sin2d1sinsin,|,0|,sin)(202 ttttFourierttttf并并证证明明变变换换的的计计算算函函数数例例解解 所给函数是奇函数所给函数是奇函数,其其Fourier变换为变换为机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 8 tetftfFtid)()()(F F 00dsinsin2dsin)(2tt

4、titttfi.1sin22 i再由再由Fourier积分公式得，在连续点处积分公式得，在连续点处机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 9 d)(21)(tieFtf tdsin)(0 Fi d1sinsin202 t.|,0|,sin2d1sinsin02 tttt即即机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 10.cos2dcos42,cos)(3|042|tetFouriertetftt 并并证证明明变变换换的的计计算算函函数数例例解解所给函数所给函数Fourier变换为变换为 tetftfFtid)()()(F F tteetitdcos|tee

5、eetiitittd2|机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 11 0)1(0)1(0)1(0)1(dddd21tetetetetiitiitiitii|0)1(0)1(0)1(0)1(111121 iieiieiieiietiitiitiitii机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 12 iiiiii)1(11)1(11111121 .44242 d)(21)(tieFtf 再由再由Fourier积分公式得积分公式得机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 13 dcos)(10tF .dcos4421042 t dcos4204

6、2 t即即.cos2|tet 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 14例例4 已知某函数的傅氏变换为已知某函数的傅氏变换为,sin)(F求该函数求该函数.解解 dsin21)(tietf dcossin10 t d)1sin(21d)1sin(2100 tt机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 15 1,01,21,2211,01,21,221tttttt 1|,21|,1|,021ttt 所以所以.1|,411|,211|,0)(ttttf机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 16.)(,0,0,)(,0)1(变变换换为为的

7、的则则函函数数设设Fouriertftetetfaatat .)(,13)()2(2 tftf则则设设 F F222)()1(aatf|)(te 232答案：答案：练习：练习：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 17二、二、广义傅里叶变换广义傅里叶变换一些常见函数的广义一些常见函数的广义Fourier变换变换:.)(1)(.1变变换换对对构构成成一一个个和和Fourieritu .)(21.3变变换换对对构构成成一一个个和和Fourier .)(2.400变变换换对对构构成成一一个个和和Fouriereti .1)(.2变变换换对对构构成成一一个个和和Fouriert.

8、)(.500变变换换对对构构成成一一个个和和Fourierettit 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 18).(2d0)(0 teti).(2d0)(0ttetti 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 19)()(),()()1(0 tftttfF F则则设设 00)()(2)(1)(titieDeCBA )()(,cos)()2(0 tfttfF F则则设设)()()()()()()()()()()()(00000000 iDiCBA练习：练习：DA机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 20)()(,)2()()3(0

9、 tfettftiF F则则设设 )(2)()(2)()(2)()(2)(02020202 iiiieDeCeBeA)()4(下下列列变变换换中中不不正正确确的的是是 itDtCBituA2)sgn()(1)(2)()(21)()(1)()(F FF FF FF FAC机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 21三、三、利用性质计算傅里叶变换利用性质计算傅里叶变换1.线性性质线性性质).()()()(2121 FFtftf 设设F1()=f1(t),F2()=f2(t),是常数).()()()(2121tftfFF -1 12.位移性质位移性质)()(00tfettftiF

10、 FF F .)()(00tietfF -1F F3.微分性质微分性质).()(tfitfF FF F ).()()()(tfitfnnF FF F 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 22).()(ddtitfF F F ).()()(ddnntftiFnnF F 4.积分性质积分性质).(1d)(tfittftF FF F 6.相似性质相似性质).(|1)(aFaatf F F)(|1)(aFeabatfabi F F推推广广：机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 23.|)(5变变换换的的计计算算函函数数例例Fourierttf 解解并并且且

11、由由于于,1)(2sgn|tutttt1)(21)(2F FF FF F tutu)(2)(22 i.2 i 由由Fourier变换的微分性质变换的微分性质,得得.2)(|2 FitF F机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 24练习：练习：求函数求函数tt0cos|的傅里叶变换的傅里叶变换.解解 cos|0tt F Fcossgn0ttt F Fcoscos)(200tttttu F FF F )()(100 iii)()(100 iii)()(00 ii.)(1)(1020 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 25例例6 求函数求函数(t 2)

12、f(2t)的傅里叶变换的傅里叶变换,其中其中).()(tfFF F 解解)2(2 )(2121)2()2(2tfttftft F FF FF F)2(212)2(4 FFi )2()2(4 FFi)2(dd2 Fi)2(F机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 26练习练习 求函数求函数(1 t)f(1 t)的傅里叶变换的傅里叶变换,其中其中).()(tfFF F 解：解：tetftFtid)1()1()(d)(1)1(ieft d)()(iiefe )(ttfeiF F)(Fiei d)(d Fiei机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 27)()(

13、,)()3(0 tftetftiF F则则设设)(2)()(2)()(2)()(2)(0000 iDiCBA.)(,sin)()4(2 tfttfF F则则设设D)2()2(2)(机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 28.sin)()(70变变换换的的计计算算函函数数例例Fouriertettutft 解解 法一法一 ,1)(ietut F F由由利用位移性质利用位移性质,)(21)(21sin)(000tittitteetuieetuitetu F FF FF F机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 29,)(2200 i 再由微分性质再由微分性

14、质 22000)(ddsin)(iitettutF F22200)(2）（ii )(121)(12100 iiii机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 30法二法二2)(1)(dd)(iFiettut F F,)(21)(21sin)(000tittitteettuieettuitettu F FF FF F,由由位位移移性性质质2020)(121)(121 iiii22200)(2）（ii 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 31并并推推证证变变换换的的求求函函数数例例,)(82Fouriertetft .2dsin22041ttete .,42

15、2 eeFouriertF F变换知变换知由钟型脉冲函数的由钟型脉冲函数的解解再再由由微微分分性性质质可可得得.2422 eitetF F四、四、综合运用综合运用机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 32为为奇奇函函数数注注意意到到)(tf d)(21)(tietftfF F d221tiei dsin4142tiei即有即有.2)(2dsin2204ttetftie 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 33).(),0(|,1|,0)()(9tfFFouriertf求求变变换换为为的的已已知知函函数数例例 解解 d)(21)()(1tieFFtf

16、 F F d21tie ).sin(sintttt 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 34.,)()(.)0(,0),()(,sin)(波波中中发发挥挥了了重重要要作作用用间间信信号号恢恢复复以以及及信信号号滤滤、离离散散时时它它在在连连续续时时间间的的离离散散化化抽抽样样信信号号称称为为或或者者信信号号定定义义时时当当则则记记tSatSafttSatftttSa t)(tf 2 2 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 35 ).0(1d)()(102222babtaty 求求解解积积分分方方程程例例解解满满足足的的方方程程为为由由卷卷积积定定

17、理理可可得得像像函函数数并并记记变变换换对对方方程程两两边边取取即即的的卷卷积积与与方方程程两两边边是是未未知知函函数数)().()(,.1*)(,1)(2222 YYtyFourierattyatty F F.11*)(2222btatty F FF F机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 36.11)(2222btatY F FF F.11)(2222atbtY F FF F 即即 tateattid12222 F F而而 022dcos2tatt,Res2d22|22|aiateitatetiti 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 37.2

18、2|aaittieatei .1|22 bebbt F F同同理理.)(|)(|ababebaeaebY 所所以以机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 38再取再取Fourier逆变换得方程的解逆变换得方程的解)()(|)(abeababbaYty 1-1-F FF F.)(1)(22abtbaba (附录附录I公式公式31)机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 39.)()()()(dd1122为为已已知知函函数数的的解解，其其中中分分方方程程求求常常系系数数非非齐齐次次线线性性微微例例tftftytyt ).()(),()(FtfYty F FF

19、 F设设解解利用利用Fourier变换的线性性质和微分性质，对上述变换的线性性质和微分性质，对上述微分方程两端取微分方程两端取Fourier变换得变换得),()()()(2 FYYi ).(11)(2 FY 所所以以机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 40 d)(21)(tieYty从从而而.d)(11212 tieF由由卷卷积积定定理理可可得得因因此此变变换换对对构构成成一一个个与与又又,11212|Fourieret )(*21(|tfetyt ）.d)(21|tef机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 41.,)(d)()()(12均均为为常常数数的的解解，其其中中求求解解微微分分积积分分方方程程例例cbatthttxctbxtxat 解解利用利用Fourier变换的线性性质、微分性质和积分变换的线性性质、微分性质和积分性质，性质，对上述微分方程两端取对上述微分方程两端取Fourier变换得变换得).()(),()(HthXtx F FF F且且设设),()()()(HXicbXXai 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 42.)()()(caibHX 而上式的而上式的Fourier逆变换为逆变换为 d)(21)(tieXtx.d)()(21 tiecaibH放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.