北师大版高中数学必修一课件：第二章 本章整合.pptx

1、本章整合专题一专题二专题一求函数最值的方法一、观察法当函数的解析式中仅含有x2或|x|或 时,通常利用常见的结论x20,|x|0,0等,直接观察并写出函数的最值.应用1求函数y=|x|+1的最小值.提示:利用绝对值的性质|x|0,结合不等式的性质求得最小值.解:函数的定义域是R.|x|0,|x|+11.函数y=|x|+1的最小值是1.专题一专题二二、配方法有关二次函数的值域或最值问题可用配方的方法.若函数定义域为R,则自变量取 时函数值最大或最小.若函数定义域为某个区间a,b,当对称轴方程x=t在这个区间内时,则在f(a),f(b),f(t)中,最大者即为最大值,最小者即为最小值;当对称轴方程

2、x=t不在这个区间内时,则只需比较f(a)与f(b),它们中较大者为最大值,较小者为最小值.专题一专题二应用2求函数y=x2-2x-3,x-2,5的最值.提示:这是二次函数在给定区间内求最值的问题,可用配方法,结合二次函数的图像来求.解:y=x2-2x-3=(x-1)2-4,画函数图像的草图如图,当x-2,5时,函数图像的最高点为(5,12),最低点为(1,-4).故所求函数的最大值为12,最小值为-4.专题一专题二应用3已知函数f(x)=x2+ax+3在区间-1,1上的最小值为-3,求实数a.提示:所给二次函数图像的对称轴为直线x=,它是变化的,而区间-1,1是固定的,因而只需确定二次函数对

3、称轴与区间-1,1的关系,即可求得a.专题一专题二f(x)在区间-1,1上是增加的,所以f(-1)=-3,即1-a+3=-3,所以a=7.f(x)在区间-1,1上是减少的,f(1)=1+a+3=-3,所以a=-7.专题一专题二专题一专题二三、图像法画出函数图像,最高点的纵坐标是函数的最大值,最低点的纵坐标是函数的最小值.应用4函数y=|x+1|-|x-1|的最大值是.提示:化为分段函数,并画出其图像,利用图像求解.由图可知,函数图像最高点的纵坐标为2,则该函数的最大值为2.答案:2专题一专题二四、单调性法先判断函数的单调性,再利用其单调性求最值.常用到下面的结论:已知y=f(x)是定义在区间(

4、a,c)上的函数,如果函数y=f(x)在区间(a,b上是增加的,在区间b,c)上是减少的,那么函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间(a,b上是减少的,在区间b,c)上是增加的,那么函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).应用5求函数y=x2+的最值.提示:该函数在定义域上是增加的,利用单调性求解.解:函数y=x2+的定义域是0,+),可以证明函数y=x2+在定义域内是增函数,则有f(x)f(0)=0+0=0,即函数y=x2+有最小值0,无最大值.专题一专题二五、换元法求形如 利用换元法转化为求二次函数等常见函数的最值问题,这种求最值的方法称为换元法.此时要

5、注意换元后函数的定义域.应用6求函数 的最大值.专题一专题二专题二抽象函数问题抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式,只是给出一些特殊关系式的函数,它是高中数学中的一个难点,高考中经常出现关于抽象函数的试题.因为抽象,解题时思维常常受阻,思路难以展开.抽象函数问题一般是由所给的性质,讨论函数的单调性、奇偶性、图像的对称性,或是求函数值、解析式等.主要处理方法是“赋值法”,通常是抓住函数特性,特别是定义域上的恒等式,利用变量代换解题.应用函数f(x)对一切实数x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x0时,f(x)0,试判断函数f(x)的单调性,并说明理由.提示:可利用单调性的定义去

6、求函数f(x)的单调性,设x2=(x2-x1)+x1,则有f(x2)=f(x2-x1)+f(x1),再根据x0时,f(x)0,即可判断其单调性.专题一专题二解:(方法一)设任意的x1,x2R,且x10.x0时,f(x)0,f(x2-x1)0.又f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x2-x1)+x1=f(x1)-f(x2-x1)-f(x1)=-f(x2-x1)0,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0),则x10时,f(a)0,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x)为R上的增函数.123456A.bacB.abcC.bcaD.cab答案:A 1234562(2016

7、山东高考)已知函数f(x)的定义域为R.当x0时,f(x)=x3-1;当 A.-2B.-1C.0D.2 解析:由题意可知,当-1x1时,f(x)为奇函数;所以f(6)=f(51+1)=f(1).而f(1)=-f(-1)=-(-1)3-1=2.所以f(6)=2.故选D.答案:D1234563(2017全国高考)已知函数f(x)在(-,+)上是减函数,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1f(x-2)1的x的取值范围是()A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=1,于是-1f(x-2)1等价于f(1)f(x-2)f(-1).又f(x)在(-,+)上是减函数,所以-1x-21,即1x3.所以x的取值范围是1,3.答案:D123456f(x)的最大值为2.答案:2123456123456综上可得,m的取值范围是(0,13,+).故选B.答案:B1234566(2017浙江高考)若函数f(x)=x2+ax+b在区间0,1上的最大值是M,最小值是m,则M-m()A.与a有关,且与b有关B.与a有关,但与b无关C.与a无关,且与b无关D.与a无关,但与b有关之差一定与a有关,与b无关,故选B.答案:B