分段函数及映射课件.ppt

1、 分段函数及映射一、分段函数的定义一、分段函数的定义在函数的定义域内，对于自变量在函数的定义域内，对于自变量x x的不同取值范围，有着不同的不同取值范围，有着不同的的_的函数的函数.对应关系对应关系判断：判断：(正确的打正确的打“”，错误的打，错误的打“”)”)(1)(1)分段函数有几段，它的图象就有几段，它们之间不连续分段函数有几段，它的图象就有几段，它们之间不连续.()()(2)(2)若若D D1 1，D D2 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D D1 1DD2 2=.().()(3)(3)函数函数 是分段函数是分段函数.().()1

2、x0,f x1 x0，提示：提示：(1)(1)错误错误.分段函数的图象可以是一条连续的曲线，也可分段函数的图象可以是一条连续的曲线，也可以是点或几段图象以是点或几段图象.(2)(2)错误错误.虽然分段函数在虽然分段函数在x x的不同取值范围，对应不同的对应的不同取值范围，对应不同的对应关系，但关系，但D D1 1DD2 2可能不是空集，如函数可能不是空集，如函数 (3)(3)正确正确.它符合分段函数的定义它符合分段函数的定义.答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)x,0 x1,f xx,1x0.二、映射二、映射非空非空唯一确定唯一确定从集合从集合A A到集合到集合B B思考：思考：映

3、射与函数有什么区别与联系映射与函数有什么区别与联系?提示：提示：区别：映射中集合区别：映射中集合A A，B B可以是数集，也可以是其他集可以是数集，也可以是其他集合，函数中集合合，函数中集合A A，B B必须是数集必须是数集.联系：函数是特殊的映射，映射是函数的推广联系：函数是特殊的映射，映射是函数的推广.【知识点拨【知识点拨】1.1.对分段函数的认识对分段函数的认识(1)(1)对应关系：对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其对应关系：对分段函数来说，在不同自变量的取值范围内其对应关系不同，但分段函数是一个函数对应关系不同，但分段函数是一个函数.(2)(2)定义域：分段函数定义域为各段定义

4、域的并集定义域：分段函数定义域为各段定义域的并集.(3)(3)值域：分段函数值域为各段函数值的并集值域：分段函数值域为各段函数值的并集.(4)(4)图象：其图象由几段曲线构成，在作图时注意衔接点的虚实图象：其图象由几段曲线构成，在作图时注意衔接点的虚实.2.2.对映射概念的理解对映射概念的理解(1)(1)非空集合：集合非空集合：集合A,BA,B可以是数集、点集或其他集合，但一可以是数集、点集或其他集合，但一定是非空的定是非空的.(2)(2)顺序性：集合顺序性：集合A A，B B有先后顺序，从有先后顺序，从A A到到B B的映射和从的映射和从B B到到A A的的映射是不同的映射是不同的.(3)(

5、3)唯一性：唯一性：A A中每一个元素在中每一个元素在B B中都有唯一的元素和它对应，中都有唯一的元素和它对应，即要求对应是即要求对应是“一对一一对一”或或“多对一多对一”.类型类型 一一 分段函数求值问题分段函数求值问题【典型例题【典型例题】1.(20121.(2012江西高考江西高考)设函数设函数 则则f(f(3)=()f(f(3)=()A.B.3 C.D.A.B.3 C.D.2.(20132.(2013温州高一检测温州高一检测)设函数设函数 若若f(af(a)=4,)=4,则则实数实数a=()a=()A.-4A.-4或或-2 B.-4-2 B.-4或或2 2C.-2C.-2或或4 D.-

6、24 D.-2或或2 2 2x1 x1,f x2x1,x，1523139 2x,x0,f xx,x0,【解题探究【解题探究】1.1.形如形如f(f(xf(f(x)的求值问题应如何求？的求值问题应如何求？2.2.在已知分段函数值的情况下如何确定自变量的值？在已知分段函数值的情况下如何确定自变量的值？探究提示：探究提示：1.1.形如形如f(f(xf(f(x)的求值问题可从里向外求，先求的求值问题可从里向外求，先求f(xf(x)的值，再的值，再求求f(f(xf(f(x)的值的值.2.2.在已知分段函数值的情况下，应通过分类讨论来确定自变在已知分段函数值的情况下，应通过分类讨论来确定自变量的值，即在分

7、段函数不同的定义子区间内分别求量的值，即在分段函数不同的定义子区间内分别求.【解析【解析】1.1.选选D.f(3)=f(f(3)=f()=D.f(3)=f(f(3)=f()=2.2.选选B.B.当当a0a0时，由时，由-a=4,-a=4,得得a=-4;a=-4;当当a a0 0时，由时，由a a2 2=4,=4,得得a=2(a=-2a=2(a=-2舍去舍去).).综上综上a=-4a=-4或或2.2.2,32313.9【互动探究【互动探究】题题1 1条件不变，若条件不变，若f(a)+f(-1)=4,f(a)+f(-1)=4,求求a a的值的值.【解析【解析】因为因为-11,-11,所以所以f(-

8、1)=2,f(-1)=2,又又f(a)+f(-1)=4,f(a)+f(-1)=4,所以所以f(af(a)=2,)=2,当当a1a1时，由时，由a a2 2+1=2,+1=2,得得a=a=1;1;当当a a1 1时，由时，由 =2,=2,得得a=1(a=1(舍去舍去)，所以，所以a=a=1.1.综上，综上，a=a=1.1.2a【拓展提升【拓展提升】1.1.求分段函数函数值的方法求分段函数函数值的方法(1)(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间先确定要求值的自变量属于哪一段区间.(2)(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现当出现f(f(xf

9、(f(x0 0)的形式时，应从内到外依次求值的形式时，应从内到外依次求值.2.2.已知函数值求字母取值的步骤已知函数值求字母取值的步骤(1)(1)先对字母的取值范围分类讨论先对字母的取值范围分类讨论.(2)(2)然后代入到不同的解析式中然后代入到不同的解析式中.(3)(3)通过解方程求出字母的值通过解方程求出字母的值.(4)(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内检验所求的值是否在所讨论的区间内.类型类型 二二 分段函数的图象及应用问题分段函数的图象及应用问题 【典型例题【典型例题】1.1.已知函数已知函数f(xf(x)定义在定义在-1,1-1,1上，图象如图所示，那么上，图象如图所示，那么f(

10、xf(x)的解析式是的解析式是()()A.A.B.B.C.C.D.D.x1,x1,0f xx,x(0,1 x1,x1,0f xx,x(0,1 x1,x1,0f xx,x(0,1 x1,x1,0)f xx,x0,1 2.2.某市出租车的计价标准是：某市出租车的计价标准是：4km4km以内以内1010元，超过元，超过4km4km且不超且不超过过18km18km的部分的部分1.21.2元元/km/km，超过，超过18km18km的部分的部分1.81.8元元/km./km.(1)(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式系式.(2)(

11、2)如果某人乘车行驶了如果某人乘车行驶了20km20km，他要付多少车费？，他要付多少车费？【解题探究【解题探究】1.1.已知函数图象，一般用什么方法求其解析式已知函数图象，一般用什么方法求其解析式?2.2.怎样建立题怎样建立题2 2中的函数关系？中的函数关系？探究提示：探究提示：1.1.已知函数图象已知函数图象,一般用待定系数法求其函数解析式一般用待定系数法求其函数解析式.2.2.本题中由于不同里程内的计价标准不同，因此需建立分段本题中由于不同里程内的计价标准不同，因此需建立分段函数来刻画车费和行车里程之间的函数关系函数来刻画车费和行车里程之间的函数关系.【解析【解析】1.1.选选C.C.当

12、当xx-1,0-1,0时，设时，设f(x)=ax+bf(x)=ax+b,由图象过点由图象过点(-1,0)(-1,0)和和(0,1),(0,1),代入求得代入求得a=1,b=1,a=1,b=1,所以所以f(xf(x)=x+1;)=x+1;当当x(0,1x(0,1时，设时，设f(xf(x)=ax,)=ax,由图象过由图象过(1,-1)(1,-1)，得，得a=-1,a=-1,所以所以f(xf(x)=-x.)=-x.所以所以 x1,x1,0f xx,x(0,1.，2.(1)2.(1)设车费为设车费为y y元，行车里程为元，行车里程为xkmxkm.则根据题意得则根据题意得 (2)(2)当当x=20 x=

13、20时，时，y=1.8y=1.820-5.6=30.4,20-5.6=30.4,即当乘车即当乘车20km20km时，要付时，要付车费车费30.430.4元元.10,0 x4,y1.2x5.2,4x181.8x5.6,x18.，【拓展提升【拓展提升】1.1.由分段函数的图象确定函数解析式的方法由分段函数的图象确定函数解析式的方法(1)(1)定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定定类型：根据自变量在不同范围内的图象的特点，先确定函数的类型函数的类型.(2)(2)设函数式：设出函数的解析式设函数式：设出函数的解析式.(3)(3)列方程列方程(组组)：根据图象中的已知点，列出方程：根据图象

14、中的已知点，列出方程(组组)，求出，求出该段内的解析式该段内的解析式.(4)(4)下结论：最后用下结论：最后用“”表示出各段解析式，注意自变量的表示出各段解析式，注意自变量的取值范围取值范围.2.2.利用分段函数求解实际应用题的策略利用分段函数求解实际应用题的策略(1)(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言首要条件：把文字语言转换为数学语言.(2)(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型解题关键：建立恰当的分段函数模型.(3)(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法.类型类型 三三 映射及映射的判断映射及映射的判断 【典型例题【典型例题】1.(

15、20131.(2013安庆高一检测安庆高一检测)设集合设集合A=x|1x2,A=x|1x2,B=y|1y4B=y|1y4，则下述对应关系，则下述对应关系f f中，不能构成中，不能构成A A到到B B的映射的映射的是的是()()A.f:xyA.f:xy=x=x2 2 B.f:xyB.f:xy=3x-2=3x-2C.f:xy=-x+4 D.f:xyC.f:xy=-x+4 D.f:xy=4-x=4-x2 22.2.下列对应是不是从下列对应是不是从A A到到B B的映射，为什么？的映射，为什么？(1)A=(0,+),B=R,(1)A=(0,+),B=R,对应关系是对应关系是“求平方根求平方根”.(2)

16、A=x|-2x2,B=y|0y1,(2)A=x|-2x2,B=y|0y1,对应关系是对应关系是f:xyf:xy=(=(其中其中xA,yBxA,yB).).(3)A=x|0 x2,B=y|0y1,(3)A=x|0 x2,B=y|0y1,对应关系是对应关系是f:xyf:xy=(x-2)=(x-2)2 2(其中其中xA,yBxA,yB).).(4)A=x|xN,B(4)A=x|xN,B=-1,1,=-1,1,对应关系是对应关系是f:xyf:xy=(-1)=(-1)x x(其中其中xAxA,yByB).).2x4【解题探究【解题探究】1.1.从集合从集合A A到到B B的映射中元素是怎样对应的？的映射

17、中元素是怎样对应的？2.2.怎样判断一个对应是映射？怎样判断一个对应是映射？探究提示：探究提示：1.1.映射中要求元素对应是映射中要求元素对应是“一对一一对一”或或“多对一多对一”，即，即A A中的中的元素在集合元素在集合B B中有唯一的元素与之对应中有唯一的元素与之对应.2.2.判断一个对应是映射要根据定义，关键是看集合判断一个对应是映射要根据定义，关键是看集合A A中元素是中元素是不是在集合不是在集合B B中都有唯一的元素与之对应中都有唯一的元素与之对应.【解析【解析】1.1.选选D.D.对于对于D D，当，当x=2x=2时，由对应关系时，由对应关系y=4-xy=4-x2 2,得得y=0,

18、y=0,在在集合集合B B中没有元素与之对应，所以中没有元素与之对应，所以D D选项不能构成选项不能构成A A到到B B的映射的映射.2.(1)2.(1)不是从不是从A A到到B B的映射的映射.因为任何正数的平方根都有两个，所因为任何正数的平方根都有两个，所以对以对A A中任何一个元素，在中任何一个元素，在B B中都有两个元素与之对应中都有两个元素与之对应.(2)(2)是从是从A A到到B B的映射的映射.因为因为A A中每个数的平方除以中每个数的平方除以4 4后，都在后，都在B B中有中有唯一的数与之对应唯一的数与之对应.(3)(3)不是从不是从A A到到B B的映射的映射.因为因为A A

19、中有的元素在中有的元素在B B中无元素与之对应中无元素与之对应.如如0A,0A,而而(0-2)(0-2)2 2=4=4 B.B.(4)(4)是从是从A A到到B B的映射的映射.因为因为A A中每一个元素在中每一个元素在B B中都有唯一的元中都有唯一的元素与之对应素与之对应.【拓展提升【拓展提升】判断一个对应是不是映射的方法判断一个对应是不是映射的方法判断一个对应是不是映射，主要是依据定义，看是否满足：判断一个对应是不是映射，主要是依据定义，看是否满足：(1)(1)集合集合A A中元素在中元素在B B中都有元素与之对应且唯一中都有元素与之对应且唯一.(2)(2)对应是一对一或多对一对应是一对一

20、或多对一.映射与函数的关系映射与函数的关系【典型例题【典型例题】1.1.下列对应为下列对应为A A到到B B的函数的是的函数的是()()A.A=R,B=x|xA.A=R,B=x|x1,f:xy=|x|1,f:xy=|x|B.A=Z,B=NB.A=Z,B=N*,f:xy=x,f:xy=x2 2C.A=Z,B=Z,f:xy=C.A=Z,B=Z,f:xy=D.A=D.A=-1,1-1,1,B=0,f:xy=0,B=0,f:xy=0 x2.2.根据所给的对应关系，回答下面的问题：根据所给的对应关系，回答下面的问题：A=NA=N*,B=Z,f:xy,B=Z,f:xy=3x+1,xA,yB=3x+1,xA

21、,yB；A=x|xA=x|x为高一为高一(2)(2)班班的同学的同学，B=x|xB=x|x为身高为身高,f:,f:每个同学对应自己的身高每个同学对应自己的身高;A=R,A=R,B=N,f:xy=xA,yBB=N,f:xy=xA,yB.上述三个对应关系中，是映射的是上述三个对应关系中，是映射的是_，是函数的是，是函数的是_._.1,xx【解析【解析】1.1.选选D.D.由函数的定义可知，对于由函数的定义可知，对于A A，0R,0R,且且|0|=0|0|=0 B,B,故故A A不是不是A A到到B B的函数；对于的函数；对于B B，0Z,0Z,且且0 02 2=0=0 N N*,故故B B不是不是

22、A A到到B B的函数；的函数；对于对于C C，当，当x x0 0时，如时，如-2Z,-2Z,但但 无意义，故无意义，故C C不是不是A A到到B B的的函数；对于函数；对于D D，是多对一的情形，符合函数的定义，是，是多对一的情形，符合函数的定义，是A A到到B B的函的函数数.2.2.是映射，但是映射，但中中A A不是数集，所以不是数集，所以只能是映射，而不是只能是映射，而不是函数函数.中当中当x=0 x=0时，在集合时，在集合B B中没有元素与之对应中没有元素与之对应.答案：答案：2【拓展提升【拓展提升】判断对应是否为函数的关键点判断对应是否为函数的关键点(1)(1)两个集合是否为非空数

23、集两个集合是否为非空数集.(2)(2)对集合对集合A A中的每一个元素，在集合中的每一个元素，在集合B B中是否都有元素与之对应中是否都有元素与之对应.(3)(3)集合集合A A中任一元素在集合中任一元素在集合B B中的对应是否唯一中的对应是否唯一.【规范解答【规范解答】由分段函数值求自变量的值由分段函数值求自变量的值(范围范围)【规范解答【规范解答】由由f(af(a)=3)=3，结合，结合f(xf(x)的解析式知，按的解析式知，按a-1,a-1,-1-1a a2 2和和a2a2进行讨论进行讨论.1 1分分当当a-1a-1时，时，f(af(a)=a+2,)=a+2,2 2分分由由a+2=3,a

24、+2=3,【典例【典例】【条件分析【条件分析】得得a=1,a=1,与与a-1a-1相矛盾，应舍去相矛盾，应舍去.4 4分分当当-1-1a a2 2时，时，f(af(a)=2a,)=2a,5 5分分由由2a=3,2a=3,得得a=a=满足满足-1-1a a2.2.7 7分分当当a2a2时，时，f(af(a)=)=8 8分分由由 =3,=3,得得a=a=又又a2,a=a2,a=10 10分分综上可知，综上可知，a a的取值为的取值为 或或 .12 12分分3,22a,22a26,6,326【失分警示【失分警示】【防范措施【防范措施】1.1.正确理解分段函数的含义正确理解分段函数的含义分段函数是一个

25、函数，只是在定义域的不同子区间内对应关分段函数是一个函数，只是在定义域的不同子区间内对应关系不同，因此在求值时要注意自变量的取值系不同，因此在求值时要注意自变量的取值.如本例，若不对如本例，若不对自变量取值进行讨论，则易出错自变量取值进行讨论，则易出错.2.2.分类标准要明确分类标准要明确已知分段函数值求自变量的值时，要注意分类讨论，确定讨已知分段函数值求自变量的值时，要注意分类讨论，确定讨论标准是关键，讨论一般是以子区间的端点为标准论标准是关键，讨论一般是以子区间的端点为标准.如本例如本例是以是以-1-1和和2 2为分界点来讨论的为分界点来讨论的.【类题试解【类题试解】1.1.已知函数已知函

26、数 若若f(a)+f(1)=0,f(a)+f(1)=0,则求则求实数实数a a的值的值.【解析【解析】当当a a0 0时，由时，由f(a)+f(1)=0f(a)+f(1)=0得得,2a+2=0,2a+2=0，解得，解得a=-1,a=-1,舍舍去；当去；当a0a0时，由时，由f(a)+f(1)=0f(a)+f(1)=0得得,a+1+2=0,a+1+2=0，解得，解得a=-3.a=-3.2x,x0,f xx1,x0,2.(20132.(2013安庆高一检测安庆高一检测)设集合设集合A=A=0,),B=0,),B=1 1，函，函数数 若若x x0 0A,A,且且f(f(xf(f(x0 0)A,)A,则求则求x x0 0的取值的取值范围范围.【解析【解析】因为因为x x0 0A,A,所以所以0 x0 x0 0 且且f(xf(x0 0)=x)=x0 0+又又 xx0 0+1,1,所以所以(x(x0 0+)B,+)B,所以所以f(f(xf(f(x0 0)=2(1-x)=2(1-x0 0-)=-)=2(-x2(-x0 0),),又又f(f(xf(f(x0 0)A,)A,所以所以02(-x02(-x0 0)所以所以 x x0 0121,2 1x,xA,2f x2 1x,xB,1,21,21,21.212121212121214