西工大计算方法6课件.ppt

1、 6.3 6.3 Newton CotesNewton Cotes求积公式求积公式 6.4 6.4 复化求积公式复化求积公式 6.5 6.5 RombergRomberg求积法求积法 6.6 Gauss6.6 Gauss型求积公式型求积公式 第六章第六章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分 6.2 6.2 数值微分公式数值微分公式 6.1 6.1 引言引言6.6.1 1 引言引言由积分学基本定理知由积分学基本定理知 )()()(aFbFdxxfba但应用中常碰到如下情况：但应用中常碰到如下情况：f(xf(x)的原函数无法用初等函数给出，的原函数无法用初等函数给出，虽然虽然f(x)的原函数能用

2、初等函的原函数能用初等函数表示数表示,但表达式过于复杂，但表达式过于复杂，f(x)用表格形式给出。用表格形式给出。这时积分与求导都必须使用数值的方法。这时积分与求导都必须使用数值的方法。6.2 6.2 数值微分数值微分 以离散数据以离散数据 近似表近似表达达 在节点在节点 处的微分处的微分,通常称这类问通常称这类问题为题为数值微分数值微分。)(,(kkxfx),.2,1,0(nk)(xfy kx一、一、TaylorTaylor展开法展开法根据根据TaylorTaylor展开式可得展开式可得)(!2)()()(12fhhxfxfhxfkkk),(2kkxhx),(1hxxkk)(!2)()()(

3、22fhhxfxfhxfkkk)(2)()()(1fhhxfhxfxfkkk),(1hxxkk)(2)()()(2fhhhxfxfxfkkk),(2kkxhx 则有则有：)(!3)(!2)()()(132fhxfhhxfxfhxfkkkk )(!3)(!2)()()(222fhxfhhxfxfhxfkkkk ),(1hxxkk),(2kkxhx 类似地，由类似地，由可得下面的中点公式：可得下面的中点公式：)(62)()()(32fhhhxfhxfxfkkk )(12)()(2)()(4)4(22fhhhxfxfhxfxfkkkk),(3hxhxkk),(4hxhxkk中点公式：中点公式：展开到

4、展开到3阶可得：阶可得：)()!1()()()(1)1(xnfxpxfnnn由nxx,0 给出列表函数给出列表函数 ，可建立插值多，可建立插值多项式项式 ，取，取 作为作为 的近似函数，的近似函数，则称为则称为 插值型求导公式插值型求导公式。)(xfy)(xpn),()(xpxfn)(xf)(xpn二、插值法二、插值法)()!1()()()!1()()()()1(11)1(nnnnnfdxdnxxnfxpxf得确定节点，确定节点，上的导数值，有余项上的导数值，有余项kx)()!1()()()(1)1(knnknkxnfxpxf为讨论方便，假定所给节点是等距的。为讨论方便，假定所给节点是等距的。

5、1.1.一阶两点公式一阶两点公式),(,)(2)()(1)(!2)()()(1)(102120111010 xxfhxfxfhxff hxfxfhxf 2.2.一阶三点公式一阶三点公式 )(3)()(4)(3(21)(1)3(22100fhxfxfxfhxf22)3(2016)()()(21)(hfxfxfhxf)(3)(3)(4)(21)(3)3(22102fhxfxfxfhxf3,2,1),(20ixxi3.3.二阶三点公式二阶三点公式)(6)()()(2)(1)(2)4(21)3(21020fhhfxfxfxfhxf)(12)()(2)(1)(3)4(221021fhxfxfxfhxf)

6、(6)()()(2)(1)(5)4(24)3(21122fhhfxfxfxfhxf 5,4,3,2,1),(20ixxi三、三、RichardsonRichardson外推法外推法 假设利用某种数值方法得到某一量假设利用某种数值方法得到某一量S与步长与步长h有有关的近似值关的近似值 ，截断误差为：，截断误差为：)(*hSkpkpphahahahSS2121*)(式中式中kppp210，系数，系数,21aa非零，且非零，且),2,1(,iapii均是与步长均是与步长h无关的常数。无关的常数。用用h/2代替上述公式中的步长代替上述公式中的步长h，得：，得：kpkpphahahahSS2222212

7、1*如果将上述两式加权平均，有望消去误差级数如果将上述两式加权平均，有望消去误差级数中的第一项，从而得到精度更高的数值计算公式。中的第一项，从而得到精度更高的数值计算公式。如取如取:*()()(),()2f xhf xhSfxS hh并且根据并且根据(5)24()()()()()23!5!f x hf x hf xfxf xhhh 可得可得(5)*24()()()()()()23!5!f x hf x hfxfxS S hf xhhh用用h/2代替上面公式中的步长代替上面公式中的步长h，有：，有：24(5)*()()()()22()23!25!2hhf xf xhfxhfxhSSf xh 将以

8、上两式线性组合，并消去将以上两式线性组合，并消去 的系数有：的系数有：2h )(2)()(31)2()2(34)(4hOhhxfhxfhhxfhxfxf)()(31)2(344*hOhShSRemark1Remark1：在数值微分计算中，并非步长越小精度：在数值微分计算中，并非步长越小精度越高。这是因为数值微分对舍入误差非常敏感，越高。这是因为数值微分对舍入误差非常敏感，它随步长它随步长h h的缩小而增大，导致计算不稳定。的缩小而增大，导致计算不稳定。Remark2Remark2：在数值微分计算中，当插值多项式收敛：在数值微分计算中，当插值多项式收敛到函数到函数f f(x x)时，时，P P

9、n n（x x）不一定收敛到）不一定收敛到f f (x x)。Remark3Remark3：为了避免上述问题，可以用样条插值函：为了避免上述问题，可以用样条插值函数的导函数来代替数的导函数来代替f f(x x)的导函数。的导函数。bankkkfRxfAdxxfI0)()(在积分区间在积分区间 a,ba,b 上取一系列点上取一系列点 ，设，设),2,1,0(nkxkbxxxxan210 用被积函数在这些点的函数值的线性组合作为积用被积函数在这些点的函数值的线性组合作为积分近似值分近似值其中其中R R f f 称为称为求积公式的余项。求积公式的余项。),2,1,0(nkxk称为称为求求),2,1,

10、0(nkAk积节点积节点。称为称为求积系数。求积系数。的具体形式。的具体形式。kxkA积节点积节点 的选取有关，而不依赖与被积函数的选取有关，而不依赖与被积函数f f(x(x)仅与求仅与求6.36.3 Newton Cotes Newton Cotes 公式公式数值积分需研究的问题：数值积分需研究的问题：F求积公式的具体构造；求积公式的具体构造；F求积公式的精确程度衡量标准；求积公式的精确程度衡量标准；F求积公式的误差估计；求积公式的误差估计；一、一、.Newton.NewtonCotesCotes求积公式求积公式将将 a a，b b 分为分为n n等份，等份，),1,0(nkkhaxknab

11、h)(常用的构造数值求积公式的一种方法是利用插常用的构造数值求积公式的一种方法是利用插值多项式值多项式P Pn n(x x)来构造求积公式来构造求积公式nkkkbanbaxfAdxxPdxxf0)()()(称为称为插值型求积公式插值型求积公式。节点等距分布时的插值型求积。节点等距分布时的插值型求积公式即为公式即为Newton-Cotes求积公式求积公式。，选取节点，选取节点，作作n n次次LagrangeLagrange插值多项式插值多项式babaknknkkdxxxxxdxxlA)()()()(11由由LagrangeLagrange插值公式，可得插值公式，可得bannndxxfnfR)()

12、()!1(11)1(显然系数显然系数 与与f f(x x)无关，只与节点有关。无关，只与节点有关。kAbannnkbakkbanbanbadxxfndxxlxfdxxRdxxLdxxf)()()!1(1)()()()()(1)1(0当当n n=1=1时，时，babfafabdxxf)()(2)()(该公式称为该公式称为梯形公式梯形公式。当当n n=2=2时，时，)b(f)ba(f)a(f)ab(dx)x(fba6126461 它称为它称为辛浦生（辛浦生（SimpsonSimpson）公式公式或或抛物线公式。抛物线公式。当当n n=0=0时，时，babafabdxxf)2()()(该公式称为该公

13、式称为中点公式中点公式。n n=4 Newton=4 NewtonCotesCotes公式为公式为)(907)(9032)(9012)(9032)(90743210 xfxfxfxfxfabdxxfba）（）（其中，其中，)4,1,0(0kkhaxk这个公式特别称为这个公式特别称为柯特斯公式柯特斯公式。类似地我们可以求出类似地我们可以求出n n=5,6,=5,6,时的柯特斯时的柯特斯系数，从而建立相应的求积公式。系数，从而建立相应的求积公式。二、求积公式的代数精确度二、求积公式的代数精确度定义：定义：如果如果 bankkkxfAdxxf0)()(对于一切不高于对于一切不高于m m次的代数多项式

14、准确成立，次的代数多项式准确成立，而对于某个而对于某个m m+1+1次多项式并不准确成立，次多项式并不准确成立，则称上述求积公式则称上述求积公式具有具有m m次代数精确度次代数精确度，简，简称称代数精度代数精度。若某个求积公式对尽可能多的被积函数若某个求积公式对尽可能多的被积函数都准确成立，那么这个公式就具有比较好的使都准确成立，那么这个公式就具有比较好的使用价值。对此，有如下定义：用价值。对此，有如下定义：都能准确成立，而对于都能准确成立，而对于mxxxxf,1)(2Remark1Remark1：求积公式具有求积公式具有m m次代数精确度的充要条件是次代数精确度的充要条件是它对于它对于1)(

15、mxxf不准确成立。不准确成立。Remark2Remark2：梯形公式、辛浦生公式、柯特斯公式分别梯形公式、辛浦生公式、柯特斯公式分别具有具有1 1，3 3，5 5次代数精度。次代数精度。Remark3Remark3：牛顿柯特斯公式是基于牛顿柯特斯公式是基于n n+1+1个节点的插值个节点的插值公式导出的，因而其代数精度不低于公式导出的，因而其代数精度不低于n n次。次。Remark4Remark4：n n为偶数的牛顿柯特斯公式具有为偶数的牛顿柯特斯公式具有n n+1+1次次代数精度，代数精度，n n为奇数的牛顿柯特斯公式具有为奇数的牛顿柯特斯公式具有n n次次代数精度。代数精度。三、求积公式

16、的截断误差三、求积公式的截断误差引理（积分第二中值定理）引理（积分第二中值定理）：如果：如果f f(x x),),g g(x x)在区间在区间 a a,b b 连续，且连续，且g g(x x)在区间在区间(a a,b b)不变号，则存在不变号，则存在(a a,b b),),使得使得babadxxgfdxxgxf)()()()(定理定理6.26.2：若若f(xf(x)在在 a,ba,b 上有二阶连续导数，则梯上有二阶连续导数，则梯形求积公式的截断误差为：形求积公式的截断误差为：bafabbfafabdxxffRba）（）（）（）（）（1223)()(61)()()()(3baabfdxbxaxf

17、dxbxaxfbaba3)(12)(abffR)(f 由于由于 是依赖于是依赖于x x的函数，且在的函数，且在 a a,b b 上连上连续，续，故运用积分故运用积分 中值定理，在中值定理，在 a a,b b 上存在一点上存在一点 使得：使得：,0)(bxax,证：证：,)(!2)(dxbxaxffRba由。依赖于x证毕证毕定理定理6.36.3：若若f(xf(x)在在 a,ba,b 上有四阶连续导数，则辛上有四阶连续导数，则辛浦生求积公式的截断误差为：浦生求积公式的截断误差为：）（）（）（）（）（）（）（）（）（）（454428802180246fabfababbfbafafabdxxffRba

18、ba）（）（bfbHafaH)()(33)2()2(2233bafbaHbafbaH）（）（)()2(4)(63333bHbaHaHabdxHba由于)()2)(!4)()()(2)4(3bxbaxaxfxHxf证明：证明：由于辛浦生公式的代数精度为由于辛浦生公式的代数精度为3 3，为此构造次，为此构造次数小于等于数小于等于3 3的多项式的多项式 ，使满足：，使满足：)(3xH)()2(4)(6)()()2(4)(6)(333bHbaHaHabdxxfbfbafafabdxxffRbababadxxHxf)()(3dxbxbaxaxfba)()2)(!4)(2)4(由于由于 是依赖于是依赖于x

19、 x的函数，在的函数，在 a,ba,b 上连续，上连续，故故 可运用积分中值定理，可运用积分中值定理，在在 a,ba,b 上存在一点上存在一点 ，使，使 ,0)()(2bxcxax)()4(fdxbxcxaxfdxcxbxaxfbaba)()()()()()(2)4(2)4(4)4()2)()(1801ababffR)()(288015)4(baabf证毕证毕 类似地类似地,若若f(xf(x)在在 a,ba,b 上有六阶连续导上有六阶连续导数，则柯特斯求积公式的截断误差为：数，则柯特斯求积公式的截断误差为：）（）（）（66)4(9452fababfRba四、四、NewtonNewtonCote

20、sCotes公式的稳定性公式的稳定性设计算设计算 有绝对误差有绝对误差 ，即即k)(kxf.)()(*kkkxfxf 由由NewtonNewtonCotesCotes公式的代数精确度及余项的结果公式的代数精确度及余项的结果看，看，n n越大越好。而事实上，越大越好。而事实上，n n增大时，计算量也变大，增大时，计算量也变大，误差积累变得越来越严重。另外，求积公式的稳定性误差积累变得越来越严重。另外，求积公式的稳定性及收敛性也没有保证。及收敛性也没有保证。因为牛顿柯特斯公式对于因为牛顿柯特斯公式对于f f(x x)=1)=1必然准确成立，必然准确成立，故有故有10)(nknkC则在实际中用则在实

21、际中用代替代替所产生的误差为所产生的误差为nkknkxfCab0)()(*)(nkknkxfCab0)()()(。nkknkCab0)()(如果如果)(nkC均为正数，令均为正数，令knkmax0，则有，则有 )ab(C)ab(C)ab(C)ab(nk)n(knkk)n(knkk)n(k000用此计算过程是稳定的。如果用此计算过程是稳定的。如果)n(kC有正有负，则有正有负，则 )ab(C)ab(C)ab(nk)n(knk)n(k00此时误差得不到控制，因而稳定性得不到保证。当此时误差得不到控制，因而稳定性得不到保证。当n n很大时，很大时，NewtonNewtonCotesCotes求积公式

22、的系数出现负值，求积公式的系数出现负值，因此实际中很少使用。因此实际中很少使用。五、待定系数法五、待定系数法 利用待定系数法可以得出各种求积公式，而且可利用待定系数法可以得出各种求积公式，而且可以具有尽可能高的代数精度。以具有尽可能高的代数精度。定理：定理：使求积公式至少有使求积公式至少有n n次次在区间在区间 a a,b b 上上,对于给定对于给定n n+1+1个互异节点，个互异节点，,0bxxan，nAAA,10总存在求积系数总存在求积系数nxxxxf,1)(2事实上，只要令求积公式对于事实上，只要令求积公式对于都能准确成立即可得到下式：都能准确成立即可得到下式：代数精度代数精度。bank

23、kAdx0bankkkxAxdx0banknkknxAdxx0 则可通过给定的则可通过给定的n n+1+1个节点得到上述含个节点得到上述含n n+1+1个未知数、个未知数、n n+1+1个方程的方程组。个方程的方程组。若求积节点互异，则若求积节点互异，则0111det1010nnnnnxxxxxxA从而可得唯一解从而可得唯一解),1,0(nkAk从而构造出至少具有从而构造出至少具有n n次代数精度的求积公式。次代数精度的求积公式。例：例：确定求积公式确定求积公式)h(f)(fh)h(f)(fhdx)x(fh 02020解：求积公式中含有一个待定参数，解：求积公式中含有一个待定参数，hhdx01

24、12当当f f(x x)=1,)=1,x x 时时,有有 hhhhxdx02 11 02中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造的求积公式具有的代数精度。所构造的求积公式具有的代数精度。故令求积公式对故令求积公式对f f(x x)=)=x x2 2成立成立,即即 h)h(hhhdxx022220202121得得3)(xxf令令 代入已求得的求积公式，显然代入已求得的求积公式，显然40120232404hhhhdxxhhhffhhffhdxxf02)()0(12)()0(2)(故故 具有三次代数精度。具有三次代数精度。hhhhdxxh22303301

25、202 令令4)(xxf6.4 6.4 复化求积复化求积公式公式 当当n n 7 7时，时，Newton-CotesNewton-Cotes系数均为正，但从系数均为正，但从n=8n=8 开始，开始，Newton-CotesNewton-Cotes系数有正有负，这会使系数有正有负，这会使计算误差得不到控制，稳定性得不到保证。计算误差得不到控制，稳定性得不到保证。因 此，实 际 计 算 时，一 般 不 采 用因 此，实 际 计 算 时，一 般 不 采 用n n较 大 的较 大 的Newton-CotesNewton-Cotes公式，而是将区间公式，而是将区间 a,ba,b 等分为等分为N N个小个

26、小区间，其长度为区间，其长度为h h=(=(b b-a a)/)/N N,在每个小区间上应用低在每个小区间上应用低阶的公式，然后对所有小区间上的计算结果求和，阶的公式，然后对所有小区间上的计算结果求和，这样得出的这样得出的 求积公式称为求积公式称为复化求积公式复化求积公式。一、常用的几种复化求积公式一、常用的几种复化求积公式1.1.复化梯形公式复化梯形公式将将 a,ba,b 等分为等分为N N个子区间个子区间.N,kx,xkk1101 101031122NkNkkkk)(fh)x(f)x(fh)x,x(kkk1 fRT)N(N1 101Nkxxbakkdx)x(fdx)x(fI由由其中其中 1

27、012NkkkN)x(f)x(f(hT 1122Nkk)b(f)x(f)a(fh当当N N 时时，bababaNkkNkkNdx)x(fdx)x(fdx)x(fh)x(fh)x(f(T2121110即即T TN N收敛于收敛于。badx)x(f关于复化梯形公式的余项有如下定理：关于复化梯形公式的余项有如下定理：定理定理6.46.4 设设f f（x x）在区间）在区间 a a,b b 上有连续的二阶上有连续的二阶导数，则复化梯形公式的截断误差为：导数，则复化梯形公式的截断误差为：)b,a()(fh)ab(fR)N(2112证明证明：103112NkkN)N()(fhTIfR若若f f(x x)在

28、在 a,ba,b 连续连续,设设m m为为f f (x x)的最小值的最小值,M,M为为f f (x x)的最大值的最大值,则则.M)(fNmNkk 101故由介值定理故由介值定理,一定在一定在(a a,b b)有一点有一点 使使 101Nkk)(fN)(f)(fhNh)(fhfRNkk)N(210311212故故),(ba)(fh)ab(212RemarkRemark：若：若2)(Mxf，则有误差估计式，则有误差估计式22)(112MhabfRN证毕证毕2.2.复化辛浦生公式复化辛浦生公式。Nabh 将将 a,ba,b 等份成等份成N N个子区间个子区间 x x2 2k k，x x2 2k+

29、k+2 2(k k0 0，1 1，,N N-1)-1)，子区间长度，子区间长度 10222Nkxxbakkdx)x(fdx)x(fI由由fRS)(fhab)b(f)x(f)x(f)a(fh)N(NNkkNkk24411210122880246 10452210122288046Nkk)(kNkkk)(fh)x(f)x(f)x(fh)b,a(),N,k(hkaxk 12212式中式中3.3.复化柯特斯公式复化柯特斯公式。Nabh 将将 a,ba,b 等份成等份成N N个子区间个子区间 x x4 4k k，x x4 4k+k+4 4(k k0 0，1 1，,N N-1)-1)，子区间长度，子区间长

30、度 10444)()(NkxxbakkdxxfdxxfI由由),()()4(945)(2)(7)(14)(32)(12)(32)(7 90)(4)6(6114114124134bafRCfhabbfxfxfxfxfafhNNNkkNkkNkkNkk10)6(644342410144)()4(9452)(7)(32)(12)(32)(790NkkkkkNkkkfhhxfxfxfxfxfh),(),12,2,1(4baNkhkaxk式中例子例子1 1若取若取9 9个节点，用复化梯形公式、复化辛浦生公个节点，用复化梯形公式、复化辛浦生公式和复化柯特斯公式计算积分，其步长以及与式和复化柯特斯公式计算积

31、分，其步长以及与9 9个节点所对应的求积系数分别是多少？个节点所对应的求积系数分别是多少？解解：复化梯形公式：复化梯形公式：N=8N=8，h=(b-a)/8h=(b-a)/8，对应的求，对应的求积系数为积系数为1 1、2 2、2 2、2 2、2 2、2 2、2 2、2 2、1 1。复化辛浦生公式：复化辛浦生公式：N=4N=4，h=(b-a)/4h=(b-a)/4，对应的求积，对应的求积系数为系数为1 1、4 4、2 2、4 4、2 2、4 4、2 2、4 4、1 1。复化柯特斯公式：复化柯特斯公式：N=2N=2，h=(b-a)/2h=(b-a)/2，对应的求积，对应的求积系数为系数为7 7、3

32、232、1212、3232、1414、3232、1212、3232、7 7。#用积分用积分 计算计算lnln2,2,要使所得积分近要使所得积分近似值具有似值具有5 5位有效数字。问用复化梯形公式，复位有效数字。问用复化梯形公式，复化化SimpsonSimpson公式时，至少要取多少个节点公式时，至少要取多少个节点?,2ln2182dxx例子例子2 2解解:由由 且且 821212lndxx375.08381211218282dxdxx故故,计算计算ln2ln2时，要使误差不超过时，要使误差不超过 也即计算也即计算2ln22ln2，其误差不超过，其误差不超过 。,10215510eln2ln37

33、5.0即即22322112121MN)ab(Mh)ab(fR.)N(由由）（其中其中)x(fMmaxbxa 221)(xxf32)(xxf4122233822 xmaxMx5232231104112612 NMN)ab(fR)N(令令.N820393367010412653 故区间应取故区间应取671671个，节点至少应取个，节点至少应取672672。44544)4(4)(22880)(2880)(2880)2(MNabMhabfhabfRN由)(max)4(4xfMbxa其中其中 由由54433224621x)x(f,x)x(f,x)x(f,x)x(f)()(432242455824 xma

34、xMx54544521043288062880 NNM)ab(fR)N(令令21320342110428801036104288036454155.N 故区间故区间N N应取应取2222，即，即4545个节点个节点 。#二、二、区间逐次分半求积法区间逐次分半求积法 1.1.误差的事后估计法误差的事后估计法 复化求积公式是提高精度的一种有效方法，但复化求积公式是提高精度的一种有效方法，但在使用复化求积公式之前，必须根据复化求积公式在使用复化求积公式之前，必须根据复化求积公式的余项进行先验估计，以确定节点数目，从而确定的余项进行先验估计，以确定节点数目，从而确定合适的等分步长。因为余项表达式中包含

35、了被积函合适的等分步长。因为余项表达式中包含了被积函数的导数，而估计各阶导数的最大值往往是很困难数的导数，而估计各阶导数的最大值往往是很困难的，且估计的误差上界往往偏大。所以实际中，常的，且估计的误差上界往往偏大。所以实际中，常常使用常使用“事后估计误差事后估计误差”的方法，通过区间的逐次的方法，通过区间的逐次分半，在步长逐次分半的过程中，反复利用复化求分半，在步长逐次分半的过程中，反复利用复化求积公式进行计算，查看相积公式进行计算，查看相继继两次计算结果的差值是两次计算结果的差值是否达到要求，直到所求得的积分值满足精度要求。否达到要求，直到所求得的积分值满足精度要求。该法也称为该法也称为步长

36、自动选择的变步长求积法步长自动选择的变步长求积法。对梯形公式，假定区间分为对梯形公式，假定区间分为N N等份时，由公式等份时，由公式NNkkbaT)b(f)x(f)a(fhdx)x(fI 1122算出的积分近似值为算出的积分近似值为T TN N,因而有因而有)N,k(khaxk10 )b,a()(fhabTIN 11212 再把各个小区间分别对分，得积分的近似值为再把各个小区间分别对分，得积分的近似值为T T2 2N N，则积分值为，则积分值为)b,a()(f)h(abTIN 2222212其中其中假定假定f f(x(x)有有 a a,b b 上变化不大，即有上变化不大，即有 ，则则)()(2

37、1ff421212222 )h()ab(h)ab(TITINN上式可改写为上式可改写为)TT(T)TT(TINNNNNN 222214131计算时只需检验计算时只需检验 是否满足？若是否满足？若不满足，则再把区间分半进行计算，直到满足不满足，则再把区间分半进行计算，直到满足要求为止要求为止 。NNTT2类似的，还可以得到下面的结论：类似的，还可以得到下面的结论：对于辛浦生公式，假定对于辛浦生公式，假定 在在 a a,b b 上变化上变化不大，则有不大，则有)()4(xf)SS(S)SS(SINNNNNN 22222141151对于对于C Cotesotes公式，假定公式，假定 在在 a,ba,

38、b 上变上变化不大，则有化不大，则有)()6(xf)CC(C)CC(CINNNNNN 23222141631)b(f)x(f)a(fhTNkN 1122由由于于)b(f)hkx(f)a(fhTNkN 12102224 NkkNkkN)hx(f)x(f)b(f)a(fhT11122224故故 NkN)h)k(a(fhT1212221 NkNN)Nab)k(a(fNabTT12212221即即 2.2.区间逐次分半的梯形公式区间逐次分半的梯形公式 据此我们得到复化梯形公式区间逐次分据此我们得到复化梯形公式区间逐次分半时的递推计算公式：半时的递推计算公式：),k;N()Nab)j(a(fNabTT)

39、b(f)a(fabTkNjNN21221222121121 计算时只需检验计算时只需检验 是否满足？若是否满足？若不满足，则再把区间分半进行计算，直到满足不满足，则再把区间分半进行计算，直到满足要求为止要求为止 。NNTT26.6.5 Romberg5 Romberg求积法求积法 一、对低精度公式经过组合构造高精度公式一、对低精度公式经过组合构造高精度公式 从从S SN N及及T T2 2N N,T TN N的计算公式可验证得到：的计算公式可验证得到：NNNNNTTTTS141144313422 事实上事实上，10221226NkkkkN)x(f)x(f)x(fhS)x(f)x(f)x(f)x

40、(f)x(f)x(f)x(f)x(fhNNN21222432104224246 )x(f)x(f)x(f)x(f)x(f)x(fhNN21232102444426 )x(f)x(f)x(f)x(f)x(fhNN2224202226 )x(f)b(f)a(fh)x(f)b(f)a(fhNkkNkk 11212126262NNTT31342 144313422 NNNNNTTTTS即即（1）NNNNNNSSSSSC141144)(151222222（2）NNNNNNCCCCCR141144631323322（3）类似地，可以证明：类似地，可以证明：这个公式（这个公式（3 3）称为）称为Romber

41、gRomberg公式。公式。由（由（1 1）（）（2 2）（）（3 3）组成的方法称为）组成的方法称为RombergRomberg算法。算法。序列序列 T TN N,S SN N,C CN N 和和 R RN N 分别称为分别称为梯形序列梯形序列，SimpsonSimpson序列，序列，CotesCotes序列和序列和RombergRomberg序列。序列。上述用若干个积分近似值推算出更为精确上述用若干个积分近似值推算出更为精确的积分近似值的方法，称为的积分近似值的方法，称为外推算法外推算法。得到。得到RombergRomberg序列后还可以继续外推，得到新的求序列后还可以继续外推，得到新的求

42、积序列，称为积序列，称为RichardsonRichardson外推算法外推算法。但由于在。但由于在新的求积序列中，其线性组合的系数分别为：新的求积序列中，其线性组合的系数分别为：0141,1144mmm 因此，新的求积序列与前一个序列结果相因此，新的求积序列与前一个序列结果相差不大，故通常外推到差不大，故通常外推到RombergRomberg序列为止。序列为止。可以证明，可以证明，梯形序列，梯形序列，SimpsonSimpson序列，序列，CotesCotes序列和序列和RombergRomberg序列均收敛到积分值，且每次外推可使误差阶序列均收敛到积分值，且每次外推可使误差阶提高二阶。提高

43、二阶。二、二、RombergRomberg算法的实现算法的实现 T T数表数表：R4C8S16T3232R2C4S8T1616R1C2S4T88C1S2T44S1T22T11R2k-3C2k-2S2k-1T2k区间等分区间等分数数 n=2k 对上面的对上面的T T数表作计算，一直到数表作计算，一直到RombergRomberg序列中前后两项之差的绝对值不超过给定的序列中前后两项之差的绝对值不超过给定的误差限为止。误差限为止。Remark:Remark:RombergRomberg算法具有占用内存少，精确算法具有占用内存少，精确度高的优点，是实际中最常用的算法之一。度高的优点，是实际中最常用的算

44、法之一。6.66.6 Gauss Gauss型求积公式型求积公式 nkkkba)x(fAdx)x(fI0我们能否通过节点的选择将求积公式的我们能否通过节点的选择将求积公式的代数精度从代数精度从n n 或者或者n n+1+1提高到提高到2 2n n+1+1？),2,1,0(,nkAxkk问题：问题：若求积公式若求积公式中含有中含有2 2n n+2+2个待定参数个待定参数一、一、GaussGauss型求积公式型求积公式bankkkxfAdxxf0)()(定义：定义：把具有把具有n n1 1个节点的具有个节点的具有2 2n n+1+1次代次代数精确度的插值型求积公式数精确度的插值型求积公式 称为称为

45、GaGaussuss型求积公式型求积公式，其求积节点，其求积节点 （k k=0=0，1 1，n n）称为称为高斯点高斯点，系数，系数 称为称为高斯系数高斯系数。kxkARemarkRemark：构造：构造GaussGauss型求积公式的关键在于确定高斯型求积公式的关键在于确定高斯点，再由点，再由n n1 1个高斯点构造基函数，从而得到高斯个高斯点构造基函数，从而得到高斯系数。系数。bandx)x(P)x(01定理：定理：插值插值型求积公式中的节点型求积公式中的节点 是高是高斯点的充要条件是，在斯点的充要条件是，在a,b上，以这些点为零点上，以这些点为零点的的n+1次多项式次多项式 与任意次数不

46、超与任意次数不超过过n的多项式的多项式P(x)正交，即正交，即),1,0(nkxknjjnxxx01)()(证明：证明：必要性必要性 ：设 是高斯点，于是对任意次数不超过n的多项式P(x)，),1,0(nkxk的次数不超过2n+1。)()()(1xxPxfn 故有故有 bankkknkn)x(P)x(Adx)x(P)x(0110充分性充分性 ：设 对于任意次数不超过2n+1的多项式 设 除f(x)的商为p(x),余项为q(x)。bandxxPx0)()(1),(xf)(1xn)()()()(1xqxxPxfn即nxqxP的次数其中)(),(bababandx)x(qdx)x()x(Pdx)x(

47、f1bandxxxP，由条件0)()(1所给的求积公式是插值型的，其代数精度至少为所给的求积公式是插值型的，其代数精度至少为n n。bannkk)x(qAdx)x(q0故故 所以求积公式至少具有所以求积公式至少具有2 2n n1 1次代数精确度。对次代数精确度。对于于2 2n n+2+2次多项式次多项式)x()x(fn21 有有而而故求积公式的代数精确度是故求积公式的代数精确度是2 2n n+1+1。0 badx)x(f0021 nkknk)x(A证毕证毕两条结论：两条结论：高斯型求积公式一定是插值型求积公高斯型求积公式一定是插值型求积公式，其系数由高斯点唯一确定。式，其系数由高斯点唯一确定。

48、高斯型求积公式是代数精度最高的求积高斯型求积公式是代数精度最高的求积公式（公式（2 2n n1 1次）。次）。当高斯点确定以后，高斯系数当高斯点确定以后，高斯系数),1,0(nkAk也可以由也可以由插值插值型求积公式中的系数公式型求积公式中的系数公式bakkdxxlA)(banknkknbankkkbankkxAdxxxAxdxAdx000确定确定.即可由线性方程组即可由线性方程组确定。确定。二、二、LegendreLegendre多项式多项式),2,1,0;1,1()1(2)!1(1)(121111nxxdxdnxPnnnnnn n1 1次次LegendreLegendre多项式为：多项式为

49、：其性质有其性质有1 1、n n+1+1次次LegendreLegendre多项式与任意不超过多项式与任意不超过n n次的多项次的多项式在区间式在区间-1,1-1,1上正交。上正交。2 2、n n+1+1次次LegendreLegendre多项式的多项式的n n+1+1个零点都在区间个零点都在区间-1,11,1内。内。例：例：一次一次LegendreLegendre多项式及其零点为：多项式及其零点为：0,)(01xxxP 二次二次LegendreLegendre多项式及其零点为：多项式及其零点为：33,33),13(21)(1022xxxxP 三次三次LegendreLegendre多项式及其

50、零点为：多项式及其零点为：6.0,0,6.0),35(21)(21033xxxxxxP三、三、Gauss-Gauss-LegendreLegendre求积公式求积公式110)()(nkkkxfAdxxf 为 的零点。),1,0(nkxk121111)1(2)!1(1)(nnnnnxdxdnxP212)()1(2knkkxPxA),1,0(nk一点一点Gauss-Gauss-LegendreLegendre求积公式求积公式为：为：)0(2)(11fdxxf两点两点Gauss-Gauss-LegendreLegendre求积公式求积公式为：为：)33()33()(11ffdxxf 实际上我们可以给