高中数学北师大版 必修第一册第三章指数运算与指数函数培优专练2.docx

1、高中数学北师大版（2019）必修第一册第三章指数运算与指数函数培优专练2第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1已知函数（），函数（）.若任意的，存在，使得，则实数的取值范围为（ ）ABCD2定义在上的函数满足，当时，若在上的最小值为23，则A4B5C6D73设，且，则下列关系式中不可能成立的是（ ）ABCD4已知函数，若对于任意的、，以、为长度的线段都可以围成三角形，则的取值范围为（ ）ABCD5对于给定的正数，定义函数，若对于函数的定义域内的任意实数，恒有，则A的最大值为B的最小值为C的最大值为1D的最小值为16已知a，b，c0且，则AabcBbcaCcbaDacb二、多选题

2、7下列函数对任意的正数，满足的有ABCD8设，函数的图象可能是（ ）ABCD第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是_10设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”.已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围是_11已知函数，其中表示中最大的数，若对恒成立，则实数的取值范围是_.12对于函数中的任意有如下结论：； ； ； .当时，上述结论正确的是_.四、解答题13设，函数.（1）若，求证：函数是奇函数；（2）若，判断并证明函数的单调性；（3）设，若存在实数m，n（），使得函数在区间m，n

3、上的取值范围是，求的取值范围.14已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且.（1）求的解析式；（2）若时，对一切，使得恒成立，求实数的取值范围.15设函数（，且）是定义域为R的奇函数.（1）求t的值；（2）若，求使不等式对一切恒成立的实数k的取值范围；（3）若函数的图象过点，是否存在正数m（），使函数在上的最大值为0，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.16已知函数的定义域为，其中为实数（）求的取值范围；（）当时，是否存在实数满足对任意，都存在，使得成立？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由试卷第3页，共4页参考答案1D【分析】问题转化为函数的值域是值域的子集，分别求出和的值域，

4、得到关于m的不等式组，解出即可.【详解】对任意的，存在，使得，即在上的值域是在上的值域的子集，当时，在上单调递增，的值域为，又在上单调递减，的值域为：， ，方程无解当时，在上单调递减，的值域为的值域为：，解得当时，显然不满足题意.综上，实数的取值范围为故选：D.【点睛】关键点睛：解决此题的关键是将所求问题转化为函数的值域是值域的子集.2B【分析】根据，时，研究其最小值，再考虑当，、，时，相应函数的最小值，总结规律即可得到结论【详解】当，时，当，时，；当，即，时，有，当，时，当，即，有，则，即时，取得最小值2；同理可得当，即，的最小值为，当，即，的最小值为，当，即，的最小值为故选：【点睛】本题考

5、查函数的最值的求法，注意运用指数函数和二次函数的性质，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度3D【分析】由条件，且分析出的大小关系，再讨论函数的单调性即可逐一判断作答【详解】因，且，则有且，于是得，函数，则在上递减，在上递增，当时，有成立，A选项可能成立；当时，有成立，C选项可能成立；由知，即取某个数，存在，使得成立，如图，即B选项可能成立；对于D，由成立知，必有，由成立知，必有，即出现矛盾，D选项不可能成立，所以不可能成立的是D.故选：D4C【分析】设，可得，设，由对任意的求得，进而可求得函数在区间的值域，由题意可得出关于的不等式，由此可解得实数的取值范围.【详解】令，则，令，由双勾函数的

6、单调性可知，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，当时，则，则，构造函数，其中，由，可得，由于函数在区间上单调递减，则，可得.二次函数的对称轴为直线，则函数在区间上单调递增，当时，即.由于以、为长度的线段都可以围成三角形，所以，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【点睛】本题主要考查了参数取值范围的求解，以及构成三角形的条件和利用函数单调性求函数值域，属于难题.5B【分析】先根据得到与最值的关系，然后利用换元法求解函数的值域，即可确定的取值范围，则的最值可确定.【详解】因为，所以由定义知，因为，所以，则函数的定义域为，令 ，则 ， ，所以 ，因此 .故选B.【点睛】指数型函数值域的

7、求解方法：利用换元法令，求解出的值域即为的取值范围，根据指数函数的单调性即可求解出的值域.6C【解析】【分析】先确定a，b，c范围，再将a，b转化为函数y=2x，y=y=的图象对应交点的横坐标，结合图象确定选项.【详解】a，b，c0，且，0a1，0b1分别画出函数y=2x，y=，y=的图象，则0ab1综上可得abc故选C【点睛】本题考查判断大小关系、指对数函数图象，考查数形结合思想解决数学问题的能力.7ABD【分析】根据四个选项中的函数证明不等式成立或举反例说明不成立(举反例时中让)【详解】A，A正确；B，B正确；C时，C错；D，D正确故选：ABD【点睛】本题考查正弦函数、幂函数、指数函数、对

8、数函数的性质，对于函数的性质，正确的需进行证明，错误的可举一反例说明8BD【分析】令，得到抛物线的开口向上，对称轴的方程为，再根据和三种情形分类讨论，结合复合函数的单调性，即可求解.【详解】由题意，函数，令，可得抛物线的开口向上，对称轴的方程为，当时，即时，可得，此时函数在单调递减，在上单调递增，且可得在递减，在上递增，且；当时，即时，可得，此时函数在单调递减，在上单调递增，由复合函数的单调性，可得在递减，在上递增，且，此时选项B符合题意；当当时，即时，此时函数有两个零点，不妨设另个零点分别为且，此时函数在单调递减，在上单调递增，可得在递减，在上递增，且， 则在递减，在上递增，且，此时选项D符

9、合题意.综上可得，函数的图象可能是选项BD.故选：BD.【点睛】本题主要考查了根据函数的解析式识别函数的图象，其中解答中熟记指数幂的运算性质，二次函数的图象与性质，以及复合函数的单调性的判定方法是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，以及分类讨论思想的应用.9【分析】由题意可得函数在2，）时的值域包含于函数在（，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数在x2，）时的值域，当x（，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，因为对任意的，都存在唯一的，满足，则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.当时，因为，当且仅当

10、，即时，等号成立，所以，当时，当时，此时，解得，当时，此时在上是减函数，取值范围是，在上是增函数，取值范围是，解得，综合得.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想.10【分析】题目等价于函数与函数在区间上同增或者同减，分别讨论两个函数同增或同减的情况列出不等式可求解.【详解】函数在上单调递减，函数在上单调递增，若区间为函数的“稳定区间”，则函数与函数在区间上同增或者同减，若两函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，即，所以；若两函数在区间上单调递减，则在区间上恒成立，即，不等式无解；综

11、上所述：，故答案为：.11【分析】在同一坐标系中作出和图象，的图象是由和图象中较大部分构成，当时，而当时，故只需即可，利用数形结合即可得出结果【详解】当时，所以由成立；当时，所以只要即可，如图将的图象向左平移1个单位(如图)，得到函数的图象，此时有，若图象再向左平移(如图)则满足，所以故答案为：【点睛】本题主要考查利用数形结合处理恒成立问题，属于中档题12【分析】由函数解析式代入各个结论检验直接代入变形判断，分类讨论，按的正负分类，中时，左边的式子就是中的式子，由可得，中作差比较，由负指数幂的定义可得【详解】由于，所以，正确；，错误；当时，当时，正确，在中若令，则，错误，因为，正确，正确，故答

12、案为：【点睛】本题考查指数函数的性质，考查幂的运算法则问题不难只是内容较多反映了指数函数的凹凸性，说明指数函数是下凸的函数（凹下去的）13（1）证明见详解；（2）定义域上单调递增，证明见详解；（3）【分析】（1）代入解析式，根据函数式知定义域为且，即为奇函数；（2）利用单调性定义令，判断的符号，即可知大小关系，从而可得结论.（3）因为，分a0，a0两种情况讨论函数在区间m，n（mn）上的取值范围是kR），进而得出结论（1）时，有且定义域为，综上有：的定义域关于原点对称且，即为奇函数；（2）时，有，即定义域为R，结论为：在R上单调递增.设对任意两个实数：，则，而，即得证.（3），所以或，当时，由

13、（2）知在R上单调递增，结合题意有，得，即是的两个不同的实根，令，则在上有两个不同实根，故，可得，当时，在上都递减，若，有，则与矛盾，舍去；若，有，即有，即，所以，两式相减得，又，故，从而，综上所述，的取值范围.14（1）；（2）或.【分析】（1）用替换后,根据题中奇偶性,利用奇偶性性质得到方程组,即可解得答案;（2）代入解析式化简后换元，将问题转化成恒成立问题，通过讨论对称轴和区间的关系研究最值解决恒成立问题.【详解】解：（1），分别是定义在上的奇函数和偶函数，由可知（2）当时，令，即，恒成立，在恒成立令（i）当时，(舍)；（ii）法一：当时，或或解得法二：由于，所以或解得()当时，解得综上

14、或【点睛】解决恒成立问题的常用方法：数形结合法：画图像，对关键点限制条件；分离参数法：转化成参数与函数最值的关系；构造函数法：转化成函数最值（含参数）的范围.15（1），（2），（3）不存在，理由见解析【分析】（1）结合函数奇偶性，利用可求；（2）根据可得，结合奇偶性和单调性把所求解的不等式转化为二次不等式，然后进行求解；（3）根据函数图象过点可得，利用换元法进行求解.【详解】（1）是定义域为R的奇函数，；经检验知符合题意.（2）由（1）得，得，又，由得，为奇函数，为R上的增函数，对一切恒成立，即对一切恒成立，故解得.（3）函数的图象过点，假设存在正数m，且符合题意，由得，设则，记，函数在上的

15、最大值为0，（i）若时，则函数在有最小值为1，由于对称轴，不合题意.（ii）若时，则函数在上恒成立，且最大值为1，最小值大于0，而此时，又，故在无意义，所以应舍去;m无解，综上所述：故不存在正数m，使函数在上的最大值为0.【点睛】本题主要考查函数性质的应用及函数最值问题，综合性较强，复杂函数的最值问题求解，通常利用换元法进行转化，把复杂函数转化为熟知的函数来进行，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.16（）；（）存在，【分析】（）由题意可得对任意都成立，分与讨论即可得出答案.（）由题意，根据题意可得即可. 令,则,令，由对称轴与定义域区间的位置关系讨论即可.【详解】（）由题意，函数的定义域为，则不等式对任意都成立当时，显然成立；当时，欲使不等式对任意都成立，则，解得综上，实数的取值范围为（）当时，当时，令显然在上递增，则令，若存在实数满足对任意，都存在，使得成立，则只需当即时，函数在上单调递增则解得，与矛盾；当即时，函数在上单调递减，在上单调递增则解得；当即时，函数在上单调递减则解得，与矛盾综上，存在实数满足条件，其取值范围为【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，总有成立，故；（2）若，有成立，故；（3）若，有成立，故；（4）若，有，则的值域是值域的子集 答案第17页，共17页