高中数学人教A版必修第一册第二册综合拔高试卷4.docx
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1、高中数学人教A版必修第一册第二册综合拔高试卷4第I卷(选择题)请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1已知平面向量,且,向量满足,则的最小值为( )ABCD2若函数的定义域与区间的交集由个开区间组成,则的值为( )ABCD3已知正三棱锥的底面是边长为6的正三角形,其外接球球的表面积为,且点到平面的距离小于球的半径,为的中点,则异面直线与所成角的余弦值为( )ABCD4已知函数在区间上有且仅有4条对称轴,给出下列四个结论:在区间上有且仅有3个不同的零点;的最小正周期可能是;的取值范围是;在区间上单调递增其中所有正确结论的序号是( )ABCD5设是实系数一元二次方程的两个根,若是虚数,是实数,则(
2、)ABCD6已知,是以为直径的圆上的动点,且,则的最大值是( )A2BCD二、多选题7定义“正对数”:,若,则下列结论中正确的是.ABCD8定义在上的函数的导函数为,且恒成立,则必有( )ABCD第II卷(非选择题)请点击修改第II卷的文字说明三、填空题9已知(其中,为自然对数的底数),若在上有三个不同的零点,则的取值范围是_.10已知函数,则下列四组关于的函数关系:;,其中能使得函数取相同最大值的函数关系为_.11九章算术中记载:将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵,将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开,得到一个阳马(底面是长方形,且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥)和一个鳖臑(四个面均为直角三角形
3、的四面体).在如图所示的堑堵中,且有鳖臑C1-ABB1和鳖臑,现将鳖臑沿线BC1翻折,使点C与点B1重合,则鳖臑经翻折后,与鳖臑拼接成的几何体的外接球的表面积是_.12定义函数,表示函数与较小的函数设函数,p为正实数,若关于x的方程恰有三个不同的解,则这三个解的和是_四、解答题13已知函数,其中a为实数(1)当时,求函数的最小值;(2)若在上为严格增函数,求实数a的取值范围;(3)对于,若存在两个不相等的实数使得,求的取值范围(结果用a表示)14已知二次函数()若,且在上的最大值为,求函数的解析式;()若对任意的实数b,都存在实数,使得不等式成立,求实数c的取值范围15已知关于的函数为上的偶函
4、数,且在区间上的最大值为10.设.(1)求函数的解析式.(2)若不等式在上恒成立,求实数的取值范围.(3)是否存在实数,使得关于的方程有四个不相等的实数根?如果存在,求出实数的范围,如果不存在,说明理由.16对于集合.集合中的元素个数记为.规定:若集合满足,则称集合具有性质.(1)已知集合,写出,并求出此时的值;(2)已知均有性质,且,求的最小值.试卷第3页,共4页参考答案1B【分析】由题设可得,又,易知,将问题转化为平面点线距离关系:向量的终点为圆心,2为半径的圆上的点到向量所在射线的距离最短,即可求的最小值.【详解】,而,又,即,如上图示,若,则,在以为圆心,2为半径的圆上,若,则,问题转
5、化为求在圆上哪一点时,使最小,又,当且仅当三点共线且时,最小为.故选:B.【点睛】关键点点睛:由已知确定, 构成等边三角形,即可将问题转化为圆上动点到射线的距离最短问题.2C【分析】先求解函数在区间的零点,将区间进行分区,在每一个区间内利用函数的图象研究函数的正负,从而得出结果。【详解】函数的定义域需要满足,可以先考虑,因为所以当时,或;当时,或或;当时,或或或;当时,或或或或; 这时区间自然就被分为六个区间,分别为,然后对每一个区域分析函数的符号,根据图象可得,当时,所以,故满足题意;同理可得时,故不满足题意;时,故满足题意;时,故满足题意;时,故不满足题意;时,故满足题意.故选:C【点睛】
6、本题考查了对数函数的定义域问题,考查了分类讨论的思想方法,还考查了函数的图象的画法。3A【分析】利用外接球的表面积求出外接球半径为,再根据勾股定理求出点到平面的距离,找到异面直线与所成的角,然后在三角形中利用余弦定理进行分析求解,即可得到答案.【详解】因为外接球的表面积为,设外接球半径为,则,则,设点到平面的距离为, 的中心为,则,由勾股定理得,解得:或(舍去)取的中点,则由中位线性质知,所以异面直线与所成的角为或其补角,在中,勾股定理知,即,又,故所以异面直线与所成角的余弦值为故选:A【点睛】思路点睛:平移线段法是求异面直线所成角的常用方法,其基本思路是通过平移直线,把异面直线的问题化归为共
7、面直线问题来解决,具体步骤如下:(1)平移:平移异面直线中的一条或两条,作出异面直线所成的角;(2)认定:证明作出的角就是所求异面直线所成的角;(3)计算:求该角的值,常利用解三角形;(4)取舍:由异面直线所成的角的取值范围是,当所作的角为钝角时,应取它的补角作为两条异面直线所成的角4B【分析】令,则,由函数在区间上有且仅有4条对称轴,即有4个整数符合,可求出判断,再利用三角函数的性质可依次判断.【详解】由函数, 令,则函数在区间上有且仅有4条对称轴,即有4个整数符合,由,得,则,即,故正确;对于,当时,在区间上有且仅有3个不同的零点;当时,在区间上有且仅有4个不同的零点;故错误;对于,周期,
8、由,则,又,所以的最小正周期可能是,故正确;对于,又,又,所以在区间上不一定单调递增,故错误故正确结论的序号是:故选:B【点睛】方法点睛:函数的性质:(1) .(2)周期(3)由 求对称轴,由求对称中心.(4)由求增区间;由求减区间.5C【分析】是实系数一元二次方程的两个根,是共轭虚数,是实数,结合共轭复数的运算性质,可得是1的立方虚根,再由1的立方虚根的特性,可得答案.【详解】是实系数一元二次方程的两个虚数根,是实数, ,即或,而.故选:C【点睛】本题考查实系数一元二次方程虚数根的关系,以及共轭复数的运算关系.对特殊复数的性质的灵活应用是解题的关键,属于难题.6A【分析】建系,把表示出来,结
9、合辅助角公式及三角函数的有界性,即可求得最大值【详解】解:如图,以圆心为原点,直径所在的直线为轴,建立平面直角坐标系,则,设,设,则,即的最大值是2.故选:A.【点睛】本题考查平面向量及辅助角公式的综合运用,旨在考查学生的数形结合思想7AD【分析】根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断,由于在不同的定义域中函数的解析式不一样,故需要对进行分类讨论,判断出每个命题的真假.【详解】对A,当,时,有,从而,所以;当,时,有,从而,所以所以当,时,故A正确对B,当,时满足,而,所以,故B错误;对C,令,则,显然,故C错误;对D,由“正对数”的定义知,当时,有,当,时,有,从而,所以;当,时,
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