高考数学试题汇编(圆锥曲线)参考模板范本.doc
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1、高考数学试题汇编圆锥曲线重庆文(12)已知以F1(2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为(A)(B)(C)(D)(21)(本小题满分12分,()小问4分,()小问8分)如题(21)图,倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F,且与抛物线交于A、B两点。题(21)图()求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;()若a为锐角,作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2a为定值,并求此定值。(21)(本小题12分)()解:设抛物线的标准方程为,则,从而因此焦点的坐标为(2,0).又准线方程的一般式为。从而所求准线l的方程为。答(21)图()解法
2、一:如图(21)图作ACl,BDl,垂足为C、D,则由抛物线的定义知|FA|=|FC|,|FB|=|BD|.记A、B的横坐标分别为xxxz,则|FA|AC|解得,类似地有,解得。记直线m与AB的交点为E,则所以。故。解法二:设,直线AB的斜率为,则直线方程为。将此式代入,得,故。记直线m与AB的交点为,则,故直线m的方程为.令y=0,得P的横坐标故。从而为定值。重庆理(16)过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线,交双曲线于PQ两点,则|FP|FQ|的值为_.(22) (本小题满分12分)如图,中心在原点O的椭圆的右焦点为F(3,0),右准线l的方程为:x = 12。(1)求椭圆的方程;(2)在椭
3、圆上任取三个不同点,使,证明为定值,并求此定值。浙江文(10)已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2,P是准线上一点,且P F1P F2,P F1P F2 4ab,则双曲线的离心率是 (A) (B) (C)2 (D)3(21)(本题15分)如图,直线ykxb与椭圆交于A、B两点,记AOB的面积为S (I)求在k0,0b1的条件下,S的最大值; ()当AB2,S1时,求直线AB的方程(21)本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识,考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力满分15分 (I)解:设点A的坐标为(,点B的坐标为,由,解得所以当且仅当时,S取到最大值1()解:由得AB
4、 又因为O到AB的距离所以代入并整理,得解得,代入式检验,0 故直线AB的方程是 或或或浙江理(9)已知双曲线的左、右焦点分别为,是准线上一点,且,则双曲线的离心率是()天津文(7)设双曲线的离心率为,且它的一条准线与抛物线的准线重合,则此双曲线的方程为()(22)(本小题满分14分)设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点,原点到直线的距离为()证明;()求使得下述命题成立:设圆上任意点处的切线交椭圆于,两点,则(22)本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、两条直线垂直、圆的方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力满分14分()证法一:由题设及,
5、不妨设点,其中,由于点在椭圆上,有,解得,从而得到,直线的方程为,整理得由题设,原点到直线的距离为,即,将代入原式并化简得,即证法二:同证法一,得到点的坐标为,过点作,垂足为,易知,故由椭圆定义得,又,所以,解得,而,得,即()解法一:圆上的任意点处的切线方程为当时,圆上的任意点都在椭圆内,故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和,因此点,的坐标是方程组的解当时,由式得代入式,得,即,于是,若,则所以,由,得在区间内此方程的解为当时,必有,同理求得在区间内的解为另一方面,当时,可推出,从而综上所述,使得所述命题成立天津理22(本小题满分14分)设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点,原点到直
6、线的距离为()证明;()设为椭圆上的两个动点,过原点作直线的垂线,垂足为,求点的轨迹方程22本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识,考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力满分14分()证法一:由题设及,不妨设点,其中由于点在椭圆上,有,即解得,从而得到直线的方程为,整理得由题设,原点到直线的距离为,即,将代入上式并化简得,即证法二:同证法一,得到点的坐标为过点作,垂足为,易知,故由椭圆定义得,又,所以,解得,而,得,即()解法一:设点的坐标为当时,由知,直线的斜率为,所以直线的方程为,或,其中,点的坐标满足方程组将式代入式,得,整理得,于
7、是,由式得由知将式和式代入得,将代入上式,整理得当时,直线的方程为,的坐标满足方程组所以,由知,即,解得这时,点的坐标仍满足综上,点的轨迹方程为解法二:设点的坐标为,直线的方程为,由,垂足为,可知直线的方程为记(显然),点的坐标满足方程组由式得由式得将式代入式得整理得,于是由式得由式得将式代入式得,整理得,于是由知将式和式代入得,将代入上式,得所以,点的轨迹方程为四川文(5)如果双曲线1上一点P到双曲线右焦点的距离是2,那么点P到y轴的距离是(A)(B)(C)(D)(10)已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B,则|AB|等于A.3 B.4 C.3 D.4解析:选C
8、设直线的方程为,由,进而可求出的中点,又由在直线上可求出,由弦长公式可求出本题考查直线与圆锥曲线的位置关系自本题起运算量增大(21)(本小题满分12分)求F1、F2分别是椭圆的左、右焦点.()若r是第一象限内该数轴上的一点,求点P的作标;()设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于同的两点A、B,且ADB为锐角(其中O为作标原点),求直线的斜率的取值范围.解析:本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识,以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力()易知,设则,又,联立,解得,()显然不满足题设条件可设的方程为,设,联立,由,得又为锐角,又综可知,的取值范围是四川理20)(本小题满分12
9、分)设、分别是椭圆的左、右焦点.()若是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;()设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、,且为锐角(其中为坐标原点),求直线的斜率的取值范围.(20)本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识,以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。解:()解法一:易知所以,设,则因为,故当,即点为椭圆短轴端点时,有最小值当,即点为椭圆长轴端点时,有最大值解法二:易知,所以,设,则(以下同解法一)()显然直线不满足题设条件,可设直线,联立,消去,整理得:由得:或又又,即 故由、得或上海理8、已知双曲线,则以双曲线中心为焦点,以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为21、已
10、知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”,其中,是对应的焦点。(1)若三角形是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程;(2)若,求的取值范围;(3)一条直线与果圆交于两点,两点的连线段称为果圆的弦。是否存在实数,使得斜率为的直线交果圆于两点,得到的弦的中点的轨迹方程落在某个椭圆上?若存在,求出所有的值;若不存在,说明理由。21解(1)F0(c,0)F1(0,),F2(0,)| F0F1 |,| F1F2 |于是,所求“果圆”方程为(x0),(x0)4分(2)由题意,得ac2b,即(2b)2b2c2,a2b2(2ba)2,得7分又b2c2a2b2,(3)设“果圆”的方程为(x0)(x0)记平行弦的
11、斜率为k当k0时,直线yt(btb)与半椭圆(x0)的交点是,与半椭圆(x0)的交点是Q()P、Q的中点M(x,y)满足得a2b,综上所述,当k0时,“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆14分当k0时,以k为斜率过B1的直线l与半椭圆(x0)的交点是由此,在直线l右测,以k为斜率的平行弦的中点轨迹在直线上,即不在某一椭圆上17分当k0时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上18分上海文21(本题满分18分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分5分,第3小题满分9分我们把由半椭圆 与半椭圆 合成的曲线称作“果圆”,其中, yO.Mx.如图,设点,是相应椭圆的焦点,和,是“
12、果圆” 与,轴的交点,是线段的中点(1)若是边长为1的等边三角形,求该“果圆”的方程; (2)设是“果圆”的半椭圆上任意一点求证:当取得最小值时,在点或处; (3)若是“果圆”上任意一点,求取得最小值时点的横坐标21解:(1) ,于是,所求“果圆”方程为, (2)设,则 , , 的最小值只能在或处取到 即当取得最小值时,在点或处 (3),且和同时位于“果圆”的半椭圆和半椭圆上,所以,由(2)知,只需研究位于“果圆”的半椭圆上的情形即可 当,即时,的最小值在时取到,此时的横坐标是 当,即时,由于在时是递减的,的最小值在时取到,此时的横坐标是 综上所述,若,当取得最小值时,点的横坐标是;若,当取得
13、最小值时,点的横坐标是或 陕西文3.抛物线的准线方程是(A)(B)(C)(D)9.已知双曲线C0,b0),以C的右焦点为圆心且与C的渐近线相切的圆的半径是(A)a(B)b(C)(D)22. (本小题满分14分)已知椭圆C:=1(ab0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为.()求椭圆C的方程;()设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为,求AOB面积的最大值.22(本小题满分14分)解:()设椭圆的半焦距为,依题意,所求椭圆方程为()设,(1)当轴时,(2)当与轴不垂直时,设直线的方程为由已知,得把代入椭圆方程,整理得,当且仅当,即时等号成立当时,综上所述当最大时,面积取
14、最大值山东理(13)设是坐标原点,是抛物线的焦点,是抛物线上的一点,与轴正向的夹角为,则为 (21)(本小题满分12分)已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在轴上,椭圆上的点到焦点距离的最大值为,最小值为()求椭圆的标准方程;()若直线与椭圆相交于,两点(不是左右顶点),且以为直径的圆过椭圆的右顶点,求证:直线过定点,并求出该定点的坐标【标准答案】(I)由题意设椭圆的标准方程为, (II)设,由得,.以AB为直径的圆过椭圆的右顶点,解得,且满足.当时,直线过定点与已知矛盾;当时,直线过定点综上可知,直线过定点,定点坐标为全国2理11设分别是双曲线的左、右焦点,若双曲线上存在点,使且,则双曲线的离心率
15、为( )ABCD12设为抛物线的焦点,为该抛物线上三点,若,则( )A9B6C4D320(本小题满分12分)在直角坐标系中,以为圆心的圆与直线相切(1)求圆的方程;(2)圆与轴相交于两点,圆内的动点使成等比数列,求的取值范围20解:(1)依题设,圆的半径等于原点到直线的距离,即得圆的方程为(2)不妨设由即得设,由成等比数列,得,即 由于点在圆内,故由此得所以的取值范围为全国2文11已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率等于( )ABCD12设分别是双曲线的左、右焦点若点在双曲线上,且,则( )ABCD全国1理(4)已知双曲线的离心率为,焦点是,则双曲线方程为()ABCD(11)抛物线的
16、焦点为,准线为,经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分相交于点,垂足为,则的面积是()ABCD(21)(本小题满分12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,过的直线交椭圆于两点,过的直线交椭圆于两点,且,垂足为()设点的坐标为,证明:;()求四边形的面积的最小值(21)证明:()椭圆的半焦距,由知点在以线段为直径的圆上,故,所以,()()当的斜率存在且时,的方程为,代入椭圆方程,并化简得设,则,;因为与相交于点,且的斜率为,所以,四边形的面积当时,上式取等号()当的斜率或斜率不存在时,四边形的面积综上,四边形的面积的最小值为宁夏理6已知抛物线的焦点为,点,在抛物线上,且, 则有()13已知双曲线的
17、顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为319(本小题满分12分)在平面直角坐标系中,经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点和(I)求的取值范围;(II)设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为,是否存在常数,使得向量与共线?如果存在,求值;如果不存在,请说明理由19解:()由已知条件,直线的方程为,代入椭圆方程得整理得直线与椭圆有两个不同的交点和等价于,解得或即的取值范围为()设,则,由方程,又而所以与共线等价于,将代入上式,解得由()知或,故没有符合题意的常数辽宁理11设为双曲线上的一点,是该双曲线的两个焦点,若,则的面积为( )ABCD14设椭圆上一点到左准
18、线的距离为10,是该椭圆的左焦点,若点满足,则= 20(本小题满分14分)已知正三角形的三个顶点都在抛物线上,其中为坐标原点,设圆是的内接圆(点为圆心)(I)求圆的方程;(II)设圆的方程为,过圆上任意一点分别作圆的两条切线,切点为,求的最大值和最小值本小题主要考查平面向量,圆与抛物线的方程及几何性质等基本知识,考查综合运用解析几何知识解决问题的能力满分14分(I)解法一:设两点坐标分别为,由题设知解得,所以,或,设圆心的坐标为,则,所以圆的方程为4分解法二:设两点坐标分别为,由题设知又因为,可得即由,可知,故两点关于轴对称,所以圆心在轴上设点的坐标为,则点坐标为,于是有,解得,所以圆的方程为
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