导数的概念学习培训模板课件.ppt

1、2.1 导数(132)32.1.1 导数的概念导数的概念1.1.瞬时速度瞬时速度0tt,0时时刻刻的的瞬瞬时时速速度度求求tt如图如图,0tt 的的时时刻刻取取一一邻邻近近于于,t 运动时间运动时间svt 平平均均速速度度00ttss ).(20ttg ,0时时当当tt 取极限得取极限得00()lim2ttg ttv .0gt 瞬时速度瞬时速度2.1 导数(132)42.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放2.1 导数(132)52.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.1 导数(132)62.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位

2、置切线位置切线位置2.1 导数(132)72.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.1 导数(132)82.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.1 导数(132)92.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.1 导数(132)102.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.1 导数(132)112.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.1 导数(132)122.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.1 导数(132)132.切线问题切线问题割

3、线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.1 导数(132)142.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置2.1 导数(132)152.切线问题切线问题割线的极限位置割线的极限位置切线位置切线位置播放播放2.1 导数(132)16 T0 xxoxy)(xfy CNM如图如图,如果割线如果割线MN绕点绕点M旋转而趋向极限位置旋转而趋向极限位置MT,直线直线MT就称为曲线就称为曲线C在点在点M处的处的切线切线.极限位置即极限位置即.0,0 NMTMN).,(),(00yxNyxM设设的的斜斜率率为为割割线线MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxM

4、NC沿沿曲曲线线的斜率为的斜率为切线切线MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 2.1 导数(132)173.3.导数的定义导数的定义,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 记为记为处的导数处的导数在点在点并称该极限为函数并称该极限为函数处可导处可导在点在点则称函数则称函数时的极限存在时的极限存在当当之比之比与与如果如果取得增量取得增量相应地函数相应地函数时时仍在该邻域内仍在该邻域内点点处取得增量处取得增量在在当自变量当自变量的某个邻域内有定义的某个邻域内有定义在点在点设函数设函数2.1 导数(132)

5、18.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim0000000dd(),ddxxxxyf xxx或或即即2.1 导数(132)19.,0慢程度慢程度而变化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点 x.)(,)(内内可可导导在在开开区区间间就就称称函函数数处处都都可可导导内内的的每每点点在在开开区区间间如如果果函函数数IxfIxfy 4.关于导数的说明关于导数的说明2.1 导数(132)20

6、xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意:.)()(00 xxxfxf 2.1 导数(132)212.右导数右导数:单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函函数数)(xf在在点点0 x处处可可导导左左导导数数)(0 xf 和和右右导导数数)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.2.1 导数(132)22如如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及

7、)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导.,),(),()(000可可导导性性的的讨讨论论在在点点设设函函数数xxxxxxxxf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)(0存存在在xf 2.1 导数(132)23则则)(xf在在点点0 x可可导导，,)(0存存在在xf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)()(00axfxf 且且.)(0axf 且且2.1 导数(132)245.5.由定义求导数由定义求导数步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xx

8、fxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限例例 1 1.)()(的导数的导数为常数为常数求函数求函数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim.0.0)(C即即2.1 导数(132)25例例 2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设设函函数数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x.cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 2.1 导数(132)26例例 3 3.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxyn 解解hxhx

9、xnnhn )(lim)(0!2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )(x例如例如,12121 x.21x)(1 x11)1(x.12x 2.1 导数(132)27例例 4 4.)1,0()(的的导导数数求求函函数数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax.ln)(aaaxx 即即.e)e(xx 2.1 导数(132)28例例 5 5.)1,0(log的导数的导数求函数求函数 aaxya解解hxhxyaahlog)(loglim0 .ln1elog1)(logaxxxaa

10、 即即.1)(lnxx xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .elog1ax 2.1 导数(132)29例例 6 6.0)(处的可导性处的可导性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim,1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim.1 ),0()0(ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy2.1 导数(132)30oxy)(xfy T0 xM6.几何意义几何意义(动画动画)(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的

11、在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxf切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 2.1 导数(132)31例例7 7.,)2,21(1方方程程和和法法线线方方程程并并写写出出在在该该点点处处的的切切线线斜斜率率处处的的切切线线的的在在点点求求等等边边双双曲曲线线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义,得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1(xx2121 xx.4 所求切线方程为所求切线方程为法线方程为法线方程为),21(42 xy),21(412 xy.044 yx即即.01582 yx即即2.1 导数(132)

12、328.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动:路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路:电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(0dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体:质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.2.1 导数(132)339.9.可导与连续的关系可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数.证证,)(0可可导导在在点点设设函函数数xxf)(l

13、im00 xfxyx )(0 xfxyxxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0.)(0连连续续在在点点函函数数xxf)0(0 x 2.1 导数(132)34连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(.1000函数在角点不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的的角角点点为为处处不不可可导导在在xfxx 注意注意:该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.(1)2.1 导数(132)3531xyxy01)(.)(,)()(l

14、imlim,)(.2000000不可导不可导有无穷导数有无穷导数在点在点称函数称函数但但连续连续在点在点设函数设函数xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如,1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x(2)2.1 导数(132)36.,)()(.30点点不不可可导导则则指指摆摆动动不不定定不不存存在在在在连连续续点点的的左左右右导导数数都都函函数数xxf,0,00,1sin)(xxxxxf例如例如,.0处不可导处不可导在在 x011/1/xy(3)2.1 导数(132)37.)()(,)(.4000不可导点不可导点的尖点的尖点为函数为函数则称点则称点符号相反符号相反的两个单侧导数的两个单侧

15、导数且在点且在点若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy (4)2.1 导数(132)38例例 8 8.0,0,00,1sin)(处的连续性与可导性处的连续性与可导性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解,1sin是是有有界界函函数数x01sinlim0 xxx.0)(处连续处连续在在 xxf处处有有但但在在0 xxxxxy 001sin)0(x 1sin.11,0之间振荡而极限不存在之间振荡而极限不存在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf0)(lim)0(0 xffx2.1 导数(132)392.1.5 小结与思考题小结与思考题11.导数的实质导数

16、的实质:增量比的极限增量比的极限;2.axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3.导数的几何意义导数的几何意义:切线的斜率切线的斜率;4.函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5.求导数最基本的方法求导数最基本的方法:由定义求导数由定义求导数;2.1 导数(132)406.判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.2.1 导数(132)41思考题思考题 函数函数)(xf在某点在某点0 x处的导数处的导数)(0 xf 与导函数与导函数)(xf 有什么区别与联系？有什么

17、区别与联系？2.1 导数(132)42思考题解答思考题解答2.1 导数(132)43课堂练习题课堂练习题2.1 导数(132)442.1 导数(132)45课堂课堂练习题答案练习题答案2.1 导数(132)462.1.2、求导的法则、求导的法则定理定理 1并并且且可可导导处处也也在在点点分分母母不不为为零零们们的的和和、差差、积积、商商则则它它处处可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()()3();()()()()()()2();()()()()1(2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu1.1.函数

18、的和、差、积、商的导数函数的和、差、积、商的导数2.1 导数(132)47证证(3)(3),0)(,)()()(xvxvxuxf设设hxfhxfxfh)()(lim)(0 hxvhxvhxvxuxvhxuh)()()()()()(lim0 hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0 证证(1)(1)、(2)(2)略略.2.1 导数(132)48hxvhxvxvhxvxuxvxuhxuh)()()()()()()()(lim0 )()()()()()()()(lim0 xvhxvhxvhxvxuxvhxuhxuh 2)()()()()(xvxvxuxvxu .)(处处可可导导且且公公式式成

19、成立立在在xxf2.1 导数(132)49推论推论;)()()1(11 niiniixfxf);()()2(xfCxCf .)()()()()()()()()()3(1121211 ninikkkinnniixfxfxfxfxfxfxfxfxf2.1 导数(132)50例例 9 9.sin223的导数的导数求求xxxy 解解23xy x4 例例 1010.ln2sin的的导导数数求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 xxx1cossin2 .cos x.2sin1ln2cos2xxxx 2.1 导数(132)51例例 1111.t

20、an的的导导数数求求xy 解解)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .sec)(tan2xx 即即.csc)(cot2xx 同理可得同理可得2.1 导数(132)52例例 1212.sec的的导导数数求求xy 解解)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin.cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得例例 1313.sinh的导数的导数求求xy 解解)ee(21)(sinh xxxy)ee(21xx .coshx 同理可得同理可得xxsi

21、nh)(cosh xx2cosh1)(tanh 2.1 导数(132)53例例 1414).(,0),1ln(0,)(xfxxxxxf 求求设设解解,1)(xf,0时时当当 x,0时时当当 xhxhxxfh)1ln()1ln(lim)(0 )11ln(1lim0 xhhh ,11x 2.1 导数(132)54,0时时当当 xhhfh)01ln()0(lim)0(0 ,1 hhfh)01ln()0(1lnlim)0(0 ,1.1)0(f.0,110,1)(xxxxf2.1 导数(132)552.反函数的求导法则反函数的求导法则定理定理2.)(1)(,)(,0)()(yxfIxfyyIyxxy 且

22、且有有内内也也单单调调、可可导导在在对对应应区区间间那那末末它它的的反反函函数数且且内内单单调调、可可导导在在某某区区间间如如果果函函数数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.2.1 导数(132)56证证,xIx 任任取取xx 以以增增量量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy ,0 y于是有于是有,1yxxy ,)(连连续续xf),0(0 xy0)(y 又又知知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y .)(1)(yxf 即即),0(xIxxx 2.1 导数(132)57例例 1515.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,0c

23、os)(sin yy且且内有内有在在)1,1(x1(sin)y ycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc2.1 导数(132)58例例 1616.log的导数的导数求函数求函数xya,0ln)(aaayy且且,),0(内有内有在在 x)(1)(log yaaxaayln1.ln1ax 解解,),(内单调、可导内单调、可导在在 yaxy特别地特别地.1)(lnxx 2.1 导数(132)593.复合函数的求导法则复合函数的求导法则定理定理3即即,因变量对自变量求导因变量对

24、自变量求导,等于因变量对中间变等于因变量对中间变量求导量求导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)000d()().dx xyfuxx 2.1 导数(132)60证证,)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)(00()().fux 2.1 导数(132)61推广推广),(),(),(xvvuufy 设设dddd.ddddyyuvxuvx例例 1717.sinln的导数的导数求函数求函

25、数xy 解解.sin,lnxuuy ddddddyyuxuxxucos1 xxsincos xcot 2.1 导数(132)62例例 1818.)1(102的的导导数数求求函函数数 xy解解292d10(1)(1)dyxxx xx2)1(1092 .)1(2092 xx例例 1919.arcsin22222的的导导数数求求函函数数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0(a2.1 导数(132)63例例 2020.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy

26、)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例 2121.e1sin的导数的导数求函数求函数xy 解解)1(sine1sin xyx)1(1cose1sin xxx.1cose11sin2xxx 2.1 导数(132)644.4.初等函数的求导初等函数的求导xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 （1）基本初等函数的导数）基本初等函数的导数xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 axxaaaaxxln1)(logln)(xxxx1)(lne)e(2.1 导数(132)652211)(arctan11)

27、(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc（2）函数的和、差、积、商的求导法则）函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1）vuvu )(,（2）uCCu )(（3）vuvuuv )(,（4）)0()(2 vvvuvuvu.(是常数是常数)C 2.1 导数(132)66（3）复合函数的求导法则）复合函数的求导法则ddd()()().dddyyuy xfuxxux 或或利用上述公式及法则利用上述公式及法则,初等函数求导初等函数求导问题可完全问题可完全解决解决.注意注意:初等函数的导数仍为初等函数初等函数的导数仍为初等函数.2

28、.1 导数(132)67例例 2222.的的导导数数求求函函数数xxxy 解解)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 2.1 导数(132)68例例 2323解解1(sin)(sin)nnnnnynfxfx 1(sin)(sin)nnnnxx 1cos nnnxx311cos(sin)nnnnnnxxfx 1(sin)(sin)(sin).nnnnnxfxx 2.1 导数(132)695.5.双曲函数的导数双曲函数的导数xxcosh)(sinh xxsinh)(cosh xxxcoshsinhtanh xx

29、xx222coshsinhcosh)(tanh 即即xx2cosh1)(tanh 2.1 导数(132)70同理同理)11(1122xxxx 211x 112 x211x )1ln(sinh2xxx ar221)1()sinh(xxxxx ar)coshar(xar)tanh(x2.1 导数(132)71例例 2424.)harctan(tan的的导导数数求求函函数数xy 解解)(tanhtanh112 xxyxx22cosh1tanh11 xxx222cosh1coshsinh11 xx22sinhcosh1 .sinh2112x 2.1 导数(132)72注意注意:);()()()(xvx

30、uxvxu .)()()()(xvxuxvxu 分段函数分段函数求导时求导时,分界点导数用左右导数求分界点导数用左右导数求.2.1.5 2.1.5 小结与思考题小结与思考题2 22.1 导数(132)73思考题思考题 求曲线求曲线 上与上与 轴平行轴平行的切线方程的切线方程.32xxy x2.1 导数(132)74思考题解答思考题解答232xy 令令0 y0322 x321 x322 x切点为切点为 964,32 964,32所求切线方程为所求切线方程为964 y964 y和和2.1 导数(132)75课堂练习题课堂练习题2.1 导数(132)762.1 导数(132)77课堂练习题答案课堂练

31、习题答案2.1 导数(132)78反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链合理分解正确使用链导法）导法）;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常或常数与基本初等函数的和、差、积、商数与基本初等函数的和、差、积、商.2.1.5 2.1.5 小结与思考题小结与思考题2 22.1 导数(132)79思考题思考题2.1 导数(132)80思考题解答思考题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例|)(uuf 在在 处不可导，处不可导，0 u取取xx

32、gusin)(在在 处可导，处可导，0 x|sin|)(xxgf 在在 处不可导，处不可导，0 x)1(取取4)(xxgu 在在 处可导，处可导，0 x44|)(xxxgf 在在 处可导，处可导，0 x)2(2.1 导数(132)81课堂课堂练习题练习题2.1 导数(132)822.1 导数(132)83课堂课堂练习题答案练习题答案2.1 导数(132)84任何初等函数的导数都可以按常数和基本初任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出等函数的求导公式和上述求导法则求出.关键关键:正确分解初等函数的复合结构正确分解初等函数的复合结构.2.1.5 2.1.5 小结与

33、思考题小结与思考题2 22.1 导数(132)85思考题思考题幂函数在其定义域内（幂函数在其定义域内（）.2.1 导数(132)86思考题解答思考题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例32)(xxf),(x在在 处不可导，处不可导，0 x)1(2)(xxf),(x在定义域内处处可导，在定义域内处处可导，)2(2.1 导数(132)87课堂练习题课堂练习题2.1 导数(132)88课堂练习题答案课堂练习题答案2.1 导数(132)891.1.隐函数的导数隐函数的导数.)(.)(0),(形形式式称称为为显显函函数数称称为为隐隐函函数数所所确确定定的的函函数数由由方方程程xfyxyyyxF 0),

34、(yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则直接对方程两边求导用复合函数求导法则直接对方程两边求导.2.1.3 由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定的函数的导数2.1 导数(132)90例例 2525.dddd0ee0 xyxxyxyyxy和和的的导导数数所所确确定定的的隐隐函函数数求求由由方方程程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0ddeedd xyxyxyyx解得解得,eeddyxxyxy ,0,0 yx由原方程知由原方程知000eedd yxyxxxyxy.1

35、 2.1 导数(132)91例例 2626.,)23,23(,333线线通通过过原原点点在在该该点点的的法法并并证证明明曲曲线线的的切切线线方方程程点点上上求求过过的的方方程程为为设设曲曲线线CCxyyxC 解解,求导求导方程两边对方程两边对xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy .1 所求切线方程为所求切线方程为)23(23 xy.03 yx即即2323 xy法线方程为法线方程为,xy 即即显然通过原点显然通过原点.2.1 导数(132)92例例 2727.)1,0(,144处处的的值值在在点点求求设设yyxyx 解解求求导导得得方方程程两两边边对对x3344

36、0.xyxyy y 得得代入代入1,0 yx;4110 yxy04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy,1,0 yx代代入入.16110 yxy将上式两边对将上式两边对 x 求导，得求导，得2.1 导数(132)932.对数求导法对数求导法观察函数观察函数3sin2(1)1,.(4)exxxxyyxx 方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu2.1 导数(132)94例例 2828解解

37、 142)1(3111e)4(1)1(23 xxxxxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,e)4(1)1(23yxxxyx 求求设设2.1 导数(132)95例例 2929解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求求导导得得上上式式两两边边对对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 2.1 导数(132)96一般地一般地)0)()()()(xux

38、uxfxv)(dd)(1)(lnddxfxxfxfx 又又)(ln)(dd)()(lndd)()(ddxuxvxxfxfxxfxfx )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 2.1 导数(132)97.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题:消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t3.3.由参数方程确定的函数的导数由参数方程确定

39、的函数的导数2.1 导数(132)98),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy ,0)(,)(),(ttytx 且且都都可可导导再再设设函函数数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得xttyxydddddd txtydd1dd )()(tt txtyxydddddd 即即,)()(中中在在方方程程 tytx 2.1 导数(132)99,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx )dd(dddd22xyxxy xttttdd)()(dd )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(dd322tttttxy

40、 即即2.1 导数(132)100例例 3030解解txtyxydddddd ttcos1sin taatacossin 2sind2d1cos2tyx .1.方方程程和和法法线线方方程程处处的的切切线线在在求求摆摆线线2)cos1()sin(ttayttax2.1 导数(132)101,(1),.22txaya 所求切线方程为所求切线方程为(1)2yaxa(2)2yxa即即 所求法线方程为所求法线方程为(1)2yaxa 2yxa即即若若 则则2.1 导数(132)102例例 3131解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮弹在时刻炮弹在时刻的运动方向的运动

41、方向炮弹在时刻炮弹在时刻求求其运动方程为其运动方程为发射炮弹发射炮弹发射角发射角以初速度以初速度不计空气的阻力不计空气的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v2.1 导数(132)103)cos()21sin(dd020 tvgttvxy cossin00vgtv .cossindd0000 vgtvxytt 轴方向的分速度为轴方向的分速度为时刻沿时刻沿炮弹在炮弹在yxt,)2(000)cos(dd0ttttxtvtxv cos0v 00)21sin(dd20ttttygttvtyv 00singtv 时刻炮弹的速度为时刻炮弹的速度为在在0t22yxvvv 2020020sin2tg

42、gtvv 2.1 导数(132)104例例 3232解解txtyxydddddd)sin(cos3cossin322ttatta ttan )dd(dddd22xyxxy)cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 tta4cossin31 2.1 导数(132)1054.相关变化率相关变化率.,dddd,)()(变化率称为相关变化率变化率称为相关变化率这样两个相互依赖的这样两个相互依赖的之间也存在一定关系之间也存在一定关系与与从而它们的变化率从而它们的变化率之间存在某种关系之间存在某种关系与与而变量而变量都是可导函数都是可导函数及及设设tytxyxt

43、yytxx 问题问题:已知一个变化率时如何求出另一个变化率已知一个变化率时如何求出另一个变化率?2.1 导数(132)106例例3333解解?,500./140,500率率是是多多少少观观察察员员视视线线的的仰仰角角增增加加米米时时当当气气球球高高度度为为秒秒米米其其速速率率为为上上升升米米处处离离地地面面铅铅直直一一汽汽球球从从离离开开观观察察员员则则的仰角为的仰角为观察员视线观察员视线其高度为其高度为秒后秒后设气球上升设气球上升,ht500tanh 求导得求导得上式两边对上式两边对t2d1dsecd500 dhtt ,/140dd秒秒米米 th2sec,5002 米米时时当当h)/(14.

44、0dd分分弧弧度度 t 仰角增加率仰角增加率 米米500米米5002.1 导数(132)107例例3434解解?,20,120,4000,/803水水面面每每小小时时上上升升几几米米米米时时问问水水深深的的水水槽槽顶顶角角为为米米形形状状是是长长为为水水库库秒秒的的体体流流量量流流入入水水库库中中米米河河水水以以则则水库内水量为水库内水量为水深为水深为设时刻设时刻),(),(tVtht234000)(htV 求导得求导得上式两边对上式两边对tdtdhhtV 38000dd,/28800dd3小时小时米米 tV小小时时米米/104.0dd th水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米

45、米时时当当 h2.1 导数(132)108隐函数求导法则隐函数求导法则:直接对方程两边求导直接对方程两边求导;对数求导法对数求导法:对方程两边取对数对方程两边取对数,按隐函数的求按隐函数的求导法则求导导法则求导;参数方程求导参数方程求导:实质上是利用复合函数求导法则实质上是利用复合函数求导法则;相关变化率相关变化率:通过函数关系确定两个相互依赖的通过函数关系确定两个相互依赖的变化率变化率;解法解法:通过建立两者之间的关系通过建立两者之间的关系,用链用链式求导法求解式求导法求解.2.1.5 2.1.5 小结与思考题小结与思考题3 32.1 导数(132)109思考题思考题设设 )()(tytx

46、，由由)()(ttyx )0)(t 可可知知)()(ttyx ，对对吗吗？2.1 导数(132)110思考题解答思考题解答不对不对 xxyxy ddxttyxdddd )(1)()(tttt 2.1 导数(132)111课堂练习题课堂练习题2.1 导数(132)1122.1 导数(132)113课堂练习题答案课堂练习题答案2.1 导数(132)1142.1.4 高阶导数高阶导数1.1.高阶导数的概念高阶导数的概念),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva()()().a tv tft2.1 导数(132)1150()(

47、)()limxfxxfxfxx 2222dd()(),.ddyf xfxyxx或或33d(),.dyfxyx 二阶导数的导数为三阶导数二阶导数的导数为三阶导数,2.1 导数(132)116记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数一一般般地地,)(1)(,nxfnxf()()dd()(),.ddnnnnnnyf xfxyxx或或三阶导数的导数为四阶导数三阶导数的导数为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.4(4)(4)4d(),.dyfxyx2.1 导数(132)1172.2.高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例353

48、5).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0(xxxf0322)1()13(2)0(xxxf;0.2 （1 1）直接法）直接法:由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.2.1 导数(132)118例例3636.),R()(nyxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1(x3)2)(1(x)1(2 xy)1()1()1()(nxnynn则则为自然数为自然数若若,n)()()(nnnxy,!n)!()1(nyn.0 2.1 导数(132)119例例37

49、37.),1ln()(nyxy求求设设 解解注意注意:xy 112)1(1xy 3)1(!2xy 4)4()1(!3xy )1!0,1()1()!1()1(1)(nxnynnn 求高阶导数时求高阶导数时,先求出的结果不要急于合并先求出的结果不要急于合并,分析其规律性分析其规律性,写出高阶导数写出高阶导数(进行归纳证明进行归纳证明).2.1 导数(132)120例例3838.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin(x)2cos(xy)22sin(x)22sin(x)22cos(xy)23sin(x)2sin()(nxyn)2cos()(cos)(nxxn同理可得同理可得2.1

50、导数(132)121例例3939.),(sine)(naxybabxy求求为为常常数数设设 解解bxbbxayaxaxcosesine )cossin(ebxbbxaax )arctan()sin(e22abbxbaax )cos(e)sin(e22 bxbbxabayaxax)2sin(e2222 bxbabaax)sin(e)(222)(nbxbayaxnn )arctan(ab 2.1 导数(132)122（2）高阶导数的运算法则）高阶导数的运算法则则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu()()()()()nnniuvuv ()()()()nniiCuCu()()()0()()